【公众号dc008免费分享】0601 —三角形中位线定理—1教案.docx

教 案 教学基本信息 课题 三角形中位线定理 学科 数学 学段： 初中 年级 初二 教材 书名：北京教育科学研究院编 《北京课改版义务教育教科书 数学》八年级下册 出版社：北京出版社 出版日期：2015年1月 教学设计参与人员 姓名 单位 设计者 何苗 北京市昌平区第一中学 实施者 何苗 北京市昌平区第一中学 指导者 吴春霞 北京市昌平区教师进修学校 李娟 北京市昌平区回龙观学校 课件制作者 张全合 北京市昌平区第一中学 其他参与者 郝红蕾 王丽霞 北京市昌平区第一中学 教学目标及教学重点、难点 本节课的内容是三角形中位线的定义和性质定理，定理的特点是：在同一个题设下，有两个结论，一个结论是位置关系，一个结论是数量关系．本节内容是在平行四边形性质的基础上进一步研究三角形的性质．要经历观察、实验、猜想、证明的过程，体会转化思想，提高几何直观、推理能力． 教学重点：三角形中位线定理的证明及应用． 教学难点：辅助线的合理添加，三角形中位线定理的证明． 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 三角形中位线定理是在平行四边形性质的基础上进一步研究的，是三角形的一个重要性质定理．如何展开对三角形中位线定理的学习呢？ 我们知道，数学来源于生活，又服务于生活，我们可以从生活中的实例入手． 从整体上感知三角形中位线定理的地位与作用． 新课 一、创设情境、提出问题 A E C B D 实例：如图，B，C两地被池塘隔开，如何测量B，C间的距离？ 解决方案：在池塘外适当的位置选一点A，连接AB，AC，分别找出AB，AC的中点D，E，连接DE，测量出线段DE的长度，就能知道B，C间的距离了． 这种解决方案的理由是什么呢？学习完本节课的内容后，我们就可以揭示它的道理了． 教师引导：由于线段DE是连接△ABC的两边AB，AC的中点得到的，我们把线段DE叫做△ABC的中位线． 三角形的中位线的定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线． 辨析概念： (1) 三角形中位线是一条线段，它的两个端点分别是三角形两边中点． 一个三角形有三条中位线． (2) 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．一个三角形有三条中线． (3)三角形的中线与中位线的区别与联系． 三角形的中线 三角形的中位线 区别 顶点、对边中点为端点 两边中点为端点 联系 都是线段，都与三角形的边的中点有关 使学生体会数学与生活密切相关，培养学生发现、提出问题的能力，引出三角形中位线的定义及研究三角形中位线定理的必要性与重要性． 理解三角形中线与中位线的概念，明确它们之间的区别与联系． 二、作图实践、得出猜想 B A C D E 问题1：如图，如果在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，那么线段DE，BC的关系是什么？ 说明：这里，我们把线段BC叫做第三边． 教师引导：根据以往经验，一提到两条线段的关系，就要从数量关系和位置关系这两个角度进行思考． 【学生活动】画△ABC和它的中位线，借助刻度尺，量角器，测一测，量一量，进行猜想． (1)画任意△ABC，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE． (2)利用绘图工具的测量功能，测量出线段DE，BC的长度，然后任意拖动点A (或点B，点C)随意改变△ABC的形状，你能发现线段DE， BC这两条线段可能存在着怎样的数量关系？ (3) 测量出∠ADE，∠ABC的度数，线段DE，BC有怎样的位置关系？ 猜想：无论△ABC形状如何改变， 位置关系：DE∥BC ； 数量关系：． 猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 任意改变△ABC的形状，学生观察线段DE，BC长度，∠ADE和∠ ABC的度数的相应变化，感知线段DE与BC的关系，经历观察、归纳、猜想的过程，体会从特殊到一般研究问题的方法． 绘图工具的恰当使用，使抽象深奥的知识变得形象直观，激发学生主动去发现规律、探索结论． 三、证明猜想，得到定理 B A C D E 已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点． 求证：DE∥BC 且． 课前任务：准备一把剪刀，三角形纸片（记为△ABC）． 你能剪一剪，拼一拼，把一个三角形拼成一个平行四边形吗？试一试． 问题2：由拼图启发，你能得到怎样的证明方法呢？ 把问题转化为平行四边形问题去解决．把问题转化为平行四边形去解决．得到DF∥BC ，DF=BC，进而DE∥BC ，． 因此，通过添加辅助线构造平行四边形是证明的关键．如何添加辅助线呢？由拼图实验得到启发，我们可以从数量关系与位置关系这两个角度入手． 思路一：如图，延长DE到点F，使FE =DE，连接FC．通过证明△AED≌△CEF和四边形BCFD是平行四边形，得出结论． 分析： 点E是AC的中点 AE =CE △AED≌△CEF DA= FC ∠1=∠2 DA = DB 四边形BCFD是平行四边形 DE =FE ∠3=∠F DA∥FC B A C D E F 1 2 3 证明：如图，延长DE到点F，使FE =DE①，连接FC． ∵点E是AC的中点， ∴AE =CE②． 又∵∠1=∠2③， ∴由①③②可得 △AED≌△CEF (SAS) ． ∴∠3=∠F，DA =FC． ∴DA∥FC． 又∵点D是AB的中点， ∴DA = DB． ∴． ∴四边形BCFD是平行四边形． ∴． ∴DE∥BC 且． 思路二：从位置关系入手：如图，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F． 通过证明△AED≌△CEF，和四边形BCFD是平行四边形，得出结论． 分析： △AED≌△CEF ∠1=∠2 FC∥AB ∠A=∠4 AE =CE DA=FC DB=DA 四边形BCFD是平行四边形 ED=EF FC∥DB 以下同上面分析． 证明：如图，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F． ∴∠A=∠4① ． ∵点E是AC的中点， ∴AE =CE②． 又∵∠1=∠2③， ∴由①②③可得△AED≌△CEF (ASA) ． ∴ED=EF，DA=FC． 又∵点D是AB的中点， ∴DB=DA． ∴． ∴四边形BCFD是平行四边形． ∴． ∴DE∥BC 且． 方法1，2小结：方法一是从线段的数量关系角度，倍长短线段添加辅助线，方法二是从线段的位置关系角度，构造平行线添加辅助线，虽然入手角度不同，但殊途同归，都是构造平行四边形解决问题． 思路三：如图，延长DE到点F，使FE=DE，连接FC，AF ，DC． 通过先证四边形ADCF是平行四边形，再证四边形BCFD是平行四边形得出结论． 四边形BCFD是平行四边形 AE =CE FE=DE 四边形ADCF是平行四边形 AD =DB 分析 证明：略 思路四：如图，过点E作AB的平行线交BC于点N，交过点A与BC平行的直线于点M． 通过证明△AEM≌△CEN，四边形ABNM是平行四边形，四边形ADEM是平行四边形，得出结论． B A C D E M N 2 3 1 证明：略 思路五：如图，过点A，B，C分别作DE所在直线的垂线，垂足分别为P，M，N． 1 2 3 4 B A C D E M N P 通过证明△BMD≌△APD，△CNE≌△APE，四边形MBCN是平行四边形， 得出结论． 证明：略 五种证明方法共性小结： 注意：当一个命题的证明方法很多时，我们要选择比较简单的证明方法进行证明． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． B A C D E 图形语言 符号语言： ∵在△ABC中，点D，E 分别是AB，AC的中点． ∴DE∥BC 且． 增强学生的动手操作能力，提高学生学习兴趣，为如何添加辅助线构造平行四边形提供思路． 由拼图使学生得到启发，体会从数量关系角度，倍长短线段添加辅助线，构造平行四边形． 由拼图使学生得到启发，体会从位置关系角度，构造平行线添加辅助线，构造平行四边形． 引导学生及时归纳小结，发现通过添加辅助线构造平行四边形是解决问题的关键． 体会添加辅助线构造平行四边形，进而解决问题． 思路四、思路五，体会添加辅助线构造平行四边形，进而解决问题．证明思路与拼图结合，体会拼图的重要性． 多种思路的启发，培养学生的发散思维． 提炼添加辅助线的方法，培养学生归纳、总结的能力．培养学生演绎推理能力，发散学生思维，培养学生的创新思维．使学生养成把新问题转化归纳为旧知识的能力与经验．教师示范思路一、思路二的证明过程，使学生体会几何推理的方法步骤，并正确理解定理． 体会文字语言，图形语言，符号语言三者之间的转化，加深对三角形中位线定理的理解． 例题 解决上课开始提出的问题： A E C B D 实例：如图，B，C两地被池塘隔开，如何测量B，C间的距离？ 解决方案：在池塘外适当的位置选一点A，连接AB，AC，分别找出AB，AC的中点D，E，连接DE，测量出线段DE的长度，就能知道B，C间的距离了．这种解决方案的依据是什么呢？ B A C D F E 例1 已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC． 求证：AE，DF互相平分． B A C D F E O 思路一：连接DE，EF．通过证明四边形ADEF是平行四边形，得到AE，DF互相平分． 分析：连接DE，FE．证明四边形ADEF是平行四边形． AD=DB BE=EC FE∥AB DE∥AC 四边形ADEF是平行四边形 AE，DF互相平分 证明：连接DE，FE． ∵AD=DB，BE=EC， ∴DE是△ABC的中位线． ∴DE∥AC． 同理可证FE∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴AE，DF互相平分． 思路二：如图，设AE，DF相交于点O．要证明AE，DF互相平分，也就是证明AO=EO，DO=FO．线段相等可以通过三角形全等来证明，所以连接DE，FE．通过证明△DAO≌△FEO来解决问题． AD=FE AD∥FE AE，DF互相平分 ∠1=∠2 ∠3=∠4 △DAO≌△FEO 分析： 证明：设AE，DF相交于点O，连接DE，FE． ∵BE=EC，AF=FC，AD=DB， ∴FE是△ABC的中位线． ∴FE∥AB，①． ∴∠1=∠2②，∠3=∠4③． ∴由②①③可得△DAO≌△FEO(ASA) ∴AO=EO，DO=FO． ∴AE，DF互相平分． 例2 如何将一个任意三角形分成四个全等的三角形？ B A C E F D 1 解：如图，取△ABC的三边AB，BC，CA的中点E，D，F．连接ED，DF，FE，就得到了四个全等三角形． 理由如下： ∵点E， F，D分别是AB，AC，BC的中点， ∴AE=EB①，EF∥BC, ②． ∴∠1=∠B③． ∴由①③②可得△AEF≌△EBD(SAS) ． 同理可证△AEF≌△FDC(SAS) ． 由三角形中位线定理得AE=DF，AF=ED， 又∵EF=FE， ∴△AEF≌△DFE(SSS) ． ∴就得到了四个全等三角形． B A C E F D 练习 已知三角形的各边长分别是6cm，8cm，10cm．求连接各边中点所成的三角形的周长． 分析：由题意画出对应图形． 由三角形中位线定理，即可 求出连接各边中点所成的三 角形的周长． 解：由三角形中位线定理可得，连接各边中点所成的三角形的周长为． 答：连接各边中点所成的三角形的周长为12cm． 体会数学来源于生活，又服务于生活，体现数学的应用价值． 巩固三角形中位线定理，较熟练地应用定理解决问题． 体会构造平行四边形证明两条对角线互相平分． 体会通过两个三角形全等，证明对应边相等，进而证明两条线段互相平分． 利用三角形中位线定理构造线段相等和平行关系． 巩固三角形中位线定理，较熟练地应用定理解决问题． 总结 五、课堂小结、凝练提升 本节课，你有哪些收获？请从以下角度进行思考． （一）知识角度： 1.三角形中位线的概念； 2.三角形中位线定理； 3.三角形中位线定理的证明及应用． （二）能力角度：合理添加辅助线，识图、画图、用图， 演绎推理． （三）思想角度：转化思想． （四）应用角度：判断两条线段的位置关系与数量关系． 通过教师引领下的反思与小结，提升学生对所学知识与思想方法的理解与掌握，优化学生的认知结构． 作业 B A C 1．如图，△ABC的三边长分别是a，b，c，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形．求这个小三角形的周长． 2．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边BC，CA，AB的中点．看一看，数一数，在整个图形中，有多少个等边三角形？多少个平行四边形？多少个菱形？ 复习巩固三角形中位线定理．