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2019
黑龙江
绥化
中考
数学试题
解析
jiaoyupan
com
教育
第 21 页 共 21 页
{来源}2019年黑龙江绥化中考数学试卷
{适用范围:3. 九年级}
{标题}二〇一九年绥化市初中毕业学业考试
数学试卷
考试时间:120分钟 满分:120分
{题型:1-选择题}一、单项选择题:本大题共 10个小题,每小题3分,共30分.
{题目}1.(2019年黑龙江绥化T1)我们的祖国地域辽阔,某中领水面积约为370 000km2.把370 000这个数用科学记数法表示为( )
A.37×104 B.3.7×105 C.0.37×106 D.3.7×106
{答案}B
{解析}本题考查了科学记数法表示数的知识.科学记数法a×10n中,a的整数位数只有1位.当原数的绝对值≥10时,确定n的方法是:①把已知数的小数点向左移动的位数即为n值;②n等于原数的整数位数减1.当原数的绝对值<1时,确定n的方法是:①把已知数的小数点向右移动几位数,n就为负几;②n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)的相反数.
对于含有计数单位并需转换单位的科学记数法,利用1亿=1×108,1万=1×104,1千=1×103来表示,可使问题简化.本题中370 000=3.7×105.
{分值}3
{章节:[1-1-5-2]科学计数法}
{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}
{类别:常考题}
{类别:易错题}
{难度:1-最简单}
{题目}2.(2019年黑龙江绥化T2)下列图形中,属于中心对称图形的是( )
A B C D
{答案}C
{解析}本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形关键是要寻找对称中心,图形旋转180°后与原图重合.选项A、B、D旋转180°后与本身不重合,故不是中心对称图形;选项D,旋转180°后与本身重合,是中心对称图形;故选C.
{分值}3
{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}
{考点:中心对称图形}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}3.(2019年黑龙江绥化T3)下列计算正确的是( )
A. B.(-1)0=0 C. D.
{答案}D
{解析}本题考查了平方根、立方根、零指数、二次根式加减的知识.表示9的算术平方根,所以;任何一个不等于0的零次幂等于1,所以(-1)0=1;、不是同类二次根式,因此不能运算;一个正数有一个正的立方根,一个负数有一个负的立方根,0的立方根是0,因为23=8,所以正确,故选D.
{分值}3
{章节:[1-6-2]立方根}
{考点:算术平方根的平方}
{考点:零次幂}
{考点:二次根式的加减法}
{考点:立方根}
{类别:常考题}
{类别:易错题}
{难度:1-最简单}
{题目}4.(2019年黑龙江绥化T4)若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆,则这个几何体是( )
A.球体 B.圆锥 C.圆柱 D.正方体
{答案}A
{解析}本题考查了由视图识别几何体.因为球的主视图、左视图、俯视图都是圆,故该几何体应为球体,故选A.
{分值}3
{章节:[1-29-2]三视图}
{考点:由三视图判断几何体}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}5.(2019年黑龙江绥化T5)下列因式分解正确的是( )
A.x2-x=x(x+1) B.a2-3a-4=(a+4) (a-1) C.a2-2ab-b2=(a+b) 2 D.x2-y2=(x+y) (x-y)
{答案}D
{解析}本题考查了因式分解.把一个多项式分解因式时一般先提公因式,然后再考虑套用公式,分解因式一定要彻底.选项A分解后应是x(x+1),选项B分解后应是(a-4) (a+1),选项C中应为(a-b) 2 ,选项D是平方差公式,x2-y2=(x+y) (x-y),故D正确.
{分值}3
{章节:[1-14-3]因式分解}
{考点:因式分解-提公因式法}
{考点:因式分解-平方差公式}
{考点:因式分解-完全平方公式}
{考点:因式分解-十字相乘式}
{类别:常考题}
{类别:易错题}
{难度:2-简单}
{题目}6.(2019年黑龙江绥化T6)不透明袋子中有2个红球和4个蓝球,这些球除颜色外无其他差别,从袋子中随机取出1个球是红球的概率是( )
A. B. C. D.
{答案}A
{解析}本题考查了概率的求法.求随机事件发生的概率,常用的方法有直接列举法、列表法与画树状图法.从袋子中随机取出1个球是红球的概率是:P(红球).
{分值}3
{章节:[1-25-1-2]概率}
{考点:一步事件的概率}
{类别:常考题}
{类别:易错题}
{难度:2-简单}
{题目}7.(2019年黑龙江绥化T7)下列命题是假命题的是( )
A.三角形两边的和大于第三边 B.正六边形的每个中心角都等于60°
C.半径为R的圆内接正方形的边长等于 D.只有正方形的外角和等于360°
{答案}D
{解析}本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解三角形的三边关系、正多边形的中心角、半径、多边形的外角和等知识.三角形的任意两边之和都大于第三边,故A正确,是真命题;正六边形的每个中心角都等于=60°,故B是真命题;半径为R的圆内接正方形的边长等于,故C是真命题;任何多边形的外角和等于360°,故选项D错误,是假命题.
{分值}3
{章节:[1-5-4] 命题、定理、证明}
{考点:三角形三边关系}
{考点:正多边形和圆}
{考点:多边形的外角和}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}8.(2019年黑龙江绥化T8)小明去商店购买A、B两种玩具,共用了10元钱,A种玩具每件1元,B种玩具每件2元.若每种玩具至少买一件,且A种玩具的数量多于B种玩具的数量,则小明的购买方案有( )
A.5种 B.4种 C.3种 D.2种
{答案}C
{解析}此题主要考查了二元一次方程的应用,解题的关键是弄清楚题意,找到题中的等量关系,列出方程解答问题.设买A种文具为x件,B种文具为y件,依题意得: x+2y=10,则.∵x、y为正整数,∴当x=1时,y=4.5(舍去);当x=2时,y=4;当x=3时,y=3.5(舍去);当x=4时,y=3;当x=5时,y=2.5(舍去);当x=6时,y=2;当x=7时,y=1.5(舍去);当x=8时,y=1;当x=9时,y=0.5(舍去);当x=10时,y=0(舍去);综上所述,共有4种购买方案.故选B.
{分值}3
{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组}
{考点:二元一次方程组的应用}
{考点:二元一次方程的解}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}9.(2019年黑龙江绥化T9)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
{答案}B
{解析}本题考查了不等式组的解法及在数轴上表示其解集.,解①得x≥1;解②得x<2,故不等式组的解集为1≤x<2,在数轴上表示应包含1,但不包含2,故表示正确的是选项B.
{分值}3
{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}
{考点:解一元一次不等式组}
{考点:在数轴上表示不等式的解集}
{类别:常考题}
{类别:易错题}
{难度:2-简单}
{题目}10.(2019年黑龙江绥化T10)如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB=4,EF=2,设AE=x,当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是:①当x=0(即E、A两点重合)时,P点有6个;②当0<x<4-2时,P点最多有9个;③当P点有8个时,x=2-2;④当△PEF是等边三角形时,P点有4个.其中结论正确的是( )
A.①③ B.①④ C.②④ D.②③
{答案}B
{解析}本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.①如图1,当x=0(即E、A两点重合)时,P点有6个,故①正确;
③当P点有8个时,当0<x<-1或-1<x<4-4或2<x<4--1或4--1<x<4-2时,P点有8个.故③错误
④如图,当△PEF是等边三角形时,P点有4个;故④正确;
②当0<x<4-2时,P点最多有8个.故②错误.故选B.
{分值}3
{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}
{考点:等边三角形的判定与性质}
{考点:正方形的性质}
{考点:等腰三角形的判定与性质}
{类别:易错题}
{难度:4-较高难度}
{题型:2-填空题}二、填空题(本题共11个小题,每小题3分,共33分)
{题目}11.(2019年黑龙江绥化T11)某年一月份,哈尔滨市的平均气温均为-20℃,绥化市的平均气温约为-23℃,则两地的温差为 ℃.
{答案} 3
{解析}本本题考查了有理数的减法,熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键.-20-(-23)=-20+23=3(℃).
{分值}3
{章节:[1-1-3-2]有理数的减法}
{考点:两个有理数的减法}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}12.(2019年黑龙江绥化T12)若分式有意义,则x的取值范围是 .
{答案}x≠4
{解析}本题考查分式有意义的条件,从以下三个方面透彻理解分式的概念:(1)分式无意义⇔分母为零;(2)分式有意义⇔分母不为零;(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零.当分母x-4≠0,即x≠4时,分式有意义.
{分值}3
{章节:[1-15-1]分式}
{考点:分式的意义}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}13.(2019年黑龙江绥化T13)计算:(-m3)2÷m4= .
{答案} m2
{解析}本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法.(-m3)2÷m4=m6÷m4= m2.
{分值}3
{章节:[1-14-1]整式的乘法}
{考点:幂的乘方}
{考点:同底数幂的除法}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}14.(2019年黑龙江绥化T14)当已知一组数据1,3,5,7,9,则这组数据的方差是 .
{答案}8
{解析}本题考查方差的定义与意义:一般地设个数据,,,的平均数为,则方差,它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.、3、5、7、9的平均数是,方差.
{分值}3
{章节:[1-20-2-1]方差}
{考点:方差}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}15.(2019年黑龙江绥化T15)当a=2018时,代数式的值是 .
{答案}2019
{解析}本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.,当时,原式.
{分值}3
{章节:[1-15-1]分式}
{考点:分式的混合运算}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}16.(2019年黑龙江绥化T16)用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面,若这个圆锥的底面半径恰好等于4,则这个圆锥的母线长为 .
{答案}12
{解析}本题考查了扇形的弧长公式;圆的周长公式;用到的知识点为:圆锥的弧长等于底面周长.设圆锥的母线长为,根据题意得:,解得:.
{分值}3
{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}
{考点:弧长的计算}
{考点:圆锥侧面展开图}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}17.(2019年黑龙江绥化T17)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A= 度 .
{答案}36°
{解析}本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理;根据三角形的边的关系,转化为角之间的关系,从而利用方程求解是正确解答本题的关键.设,,,,,,,在中,,.
{分值}3
{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}
{考点:三角形内角和定理}
{考点:等腰三角形的性质}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}18.(2019年黑龙江绥化T18)一次函数y1= -x+6与反比例函数的图象如图所示.当时,自变量的取值范围是 .
{答案}
{解析}本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点.当时,反映在图象上是的图象在的图象上方对应的范围,此时.
{分值}3
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}
{考点:反比例函数与一次函数的综合}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}19.(2019年黑龙江绥化T19)甲、乙两辆汽车同时从地出发,开往相距的地,甲、乙两车的速度之比是,结果乙车比甲车早30分钟到达地,则甲车的速度为 .
{答案}80
{解析}本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.设甲车的速度为,则乙车的速度为,依题意,得:,解得:,经检验,是原方程的解,且符合题意.
{分值}3
{章节:[1-15-3]分式方程}
{考点:分式方程的应用(行程问题)}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}20.(2019年黑龙江绥化T20)半径为5的是锐角三角形的外接圆,,连接、,延长交弦于点.若是直角三角形,则弦的长为 .
{答案}或
{解析}本题考查了三角形的外接圆与外心,等边三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,正确的作出图形是解题的关键.如图1,当时,即,,,
,是等边三角形,,,,,如图2,当,,是等腰直角三角形,
,综上所述:若是直角三角形,则弦的长为或.
{分值}3
{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径}
{考点:垂径定理}
{考点:三角形的外接圆与外心}
{考点:等边三角形的判定与性质}
{考点:等腰直角三角形}
{类别:易错题}
{难度:3-中等难度}
{题目}21.(2019年黑龙江绥化T21)在平面直角坐标系中,若干个边长为1个单位长度的等边三角形,按下图中的规律摆放.点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5……”的路线运动.设第n秒运动到点Pn(n为正整数),则点P2019的坐标是 .
{答案}(,)
{解析}本题是有关点的坐标的规律题.等边三角形的边长为1,则高线为,观察图象可知点P每6秒走一个循环,第n个循环的端点坐标为(3n,0),∵2019÷6=336……3,∴P2019的坐标应为(,).
{分值}3
{章节:[1-7-2]平面直角坐标系}
{考点:点的坐标}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题型:4-解答题}三、解答题:(本大题共8小题,合计57分.)
{题目}22.(2019年烟台T22)(本题满分6分)如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,-4),B(0,4),C(1,-1).
(1)请在网格中,画出线段BC关于原点对称的线段B1C1.
(2)请在网格中,过点C画一直线CD,将△ABC分成面积相等的两部分,与线段AB相交于点D,写出点D的坐标;
(3)若有另一点P(-3,-3),连接PC,tan∠BCP=________.
{解析}本题考查了以网格图为背景利用数学知识画图、计算的问题.
(1)根据中心对称知识画图或利用关于原点对称的点的坐标的特点画图;
(2)利用三角形的中线把三角形分成相等的两部分画图;
(3)链接BP,利用勾股定理的逆定理可知△BCP是等腰直角三角形,从而可知tan∠BCP的值。
{答案}解:如图(1)做出线段B1C1,标出字母B1和C1.
(2)画出线段CD写出D(-1,-4).
(3)1.
{分值}6
{章节:[1-23-2-1]中心对称}
{考点:中心对称}{考点:正切}{考点:勾股定理逆定理}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}23.(2019年烟台T23)(本题满分6分)小明为了了解本校学生的假期活动方式,随机对本校部分学生进行了调查,收集整理数据后,小明将假期活动方式分为五类:A.读书看报;B.健身活动;C.做家务;D.外出游玩;E.其他方式,并绘制了不完整的统计图如下.统计后发现,“做家务”的学生人数占调查总人数的20%.请根据图中的信息解答下列问题:
(1)本次调查的总人数是________;
(2)补全条形统计图;
(3)根据调查结果,估计本校,2360名学生中“假期活动方式”是“读书看报”的有多少人?
{解析}本题考查了条形统计图及用样本估计总体的知识.
(1)先用选C的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数;
(2)用总数减去其他各小组的人数即可求得选D的人数,从而补全条形统计图;
(3)用样本估计总体即可确定全校“假期活动方式”是“读书看报”的学生人数.
{答案}解:(1)40
(2)补全条形图
(3)解:(人)
答:根据调查结果,本校假期活动方式是“读书看报”的人数约为354人.
{分值}6
{章节:[1-10-2]直方图}
{考点:条形统计图}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}24.(2019年烟台T24)(本题满分6分)按要求解答下列各题:(1)如图①,求做一点P,使点P到∠ABC的两边距离相等,且在△ABC的边AC上.(用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明);(2)如图②,B、C表示两个港口,港口C在港口B的正东方向上.海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上,且在港口C的北偏西45°方向上.测得AB=40海里,求小岛A与港口C之间的距离.(结果可保留根号.)
{解析}本题考查角平分线的尺规作图和解直角三角形的实际应用.
(1)根据到角的两边距离相等的点在角平分线上,作∠ABC的角平分线;
(2)由题意得∠ABD=30°,∠ACD=45°,过点A作AD⊥BC于点D,构造直角三角形,利用∠ABD的正弦值求出AD,然后再利用∠ACD的正弦值求出AC即可.
{答案}解:(1)如右图:作出∠ABC的平分线标出点P.
(2)过点A作AD⊥BC于点D,由题意得,∠ABD=30°,∠ACD=45°.在Rt△ADB中,∵AB=40,AD=ABsin30°=20.在Rt△ADC中,∵.∴AC=(海里).(取近似值也可)答:小岛A与港口C之间的距离是海里.
{分值}6
{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}
{考点:线段尺规作图}
{考点:解直角三角形-方位角}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}25.(2019年烟台T25)(本题满分6分)已知关于x的方程kx2-3x+1=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2.当x1+x2+x1x2=4时,求k的值.
{解析}本题考查了方程的解的个数和一元二次方程的根与系数的关系。
(1)x2的系数是字母k,需要分类讨论k是否为0,当k=0时,方程是一元一次方程有实根,当k≠0时,利用判别式≥0即可求k的取值范围.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=,x1x2=,再结合k的取值范围即可求k的值.
{答案}解:(1)当k=0时,方程是一元一次方程,有实根,符合题意.
当k≠0时,方程是一元二次方程,由题意得,= b2-4ac=9-4k≥0,解得.综上k的取值范围是.
(2)∵x1和x2是方程kx2-3x+1=0两个根,∴x1+x2=,x1x2=,∵x1+x2+x1x2=4,∴+=4,解得k=1,经检验:k=1是分式方程的解,且.答:k的值为1.
{分值}6
{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系}
{考点:根的判别式}
{考点:根与系数关系}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}26.(2019年烟台T26)(本题满分7分)如图,AB为⊙O的直径,AC平分∠BAD交弦BD于点G,连接半径OC交BD于点E.过点C的一条直线交AB的延长线于点F.∠AFC=∠ACD.
(1)求证:直线CF是⊙O的切线.
(2)若DE=2CE=2.
①求AD的长.
②求△ACF的周长.(结果可保留根号.)
{解析}本题考查了垂径定理的推论、圆周角与弧的关系、平行线的性质、切线的判定、勾股定理及其逆定理、中位线定理.
(1)FC过⊙O上一点C,若证FC是⊙O的切线,只要证明FC与OC垂直即可,由AC平分∠BAD,可知C是弧BD的中点,利用垂径定理的推论得出OC⊥BD,再利用∠AFC=∠ACD,∠ACD=∠ABD,得出∠AFC=∠ABD,可知BD∥CF,进而得出OC⊥CF,∴直线CF是⊙O的切线;(2)①由中位线定理可知AD=2OE,在直角△OBE中,设OC=R,OE=R-1,利用勾股定理求出R的值;②利用BD∥CF可知∴,求出CF、OF,可知AF,在Rt△BCE中利用勾股定理求出求出BC的长,Rt△ABC中利用勾股定理求出求出AC的长,最后得出△ACF周长。
{答案}解:(1)证明:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∴C是弧BD的中点,∴OC⊥BD,∴BE=DE.∵∠AFC=∠ACD,∠ACD=∠ABD,∴∠AFC=∠ABD,∴BD∥CF.∴OC⊥CF.∵OC是半径,∴FC是⊙O的切线.
(2)解:①设OC=R,∵DE=2CE=2,∴BE=DE=2,CE=1,OE=R-1,在直角△OBE中,,解得R=.∴OE=-1=.由(1)得,OA=OB,BE=DE,
∴AD=2OE=3.
②连接BC,∵BD∥CF,∴.∵BE=2,, ,∴CF=,OF=,∴AF=OF+OA=.在Rt△BCE中,CE=1,BE=2,∴BC=.
∵AB是直径,∴△ABC为直角三角形,∴AC=.
△ACF周长=AC+FC+AF=10+(取近似值也可).
{分值}7
{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}
{考点:切线的判定}
{考点:相似三角形的性质}
{考点:勾股定理定理}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}27.(2019年烟台T27)(本题满分7分)甲、乙两台机器共同加工一批零件,一共用了6小时.在加工过程中乙器因故障停止工作,排除故障后,乙机器提高了工作效率且保持不变,继续加工.甲机器在加工过程中工作效率保持不变.甲、乙两台机器加工零件的总数y(个)与甲加工时间x(H)之间的函数图象为折线OA-AB-BC,如图所示.
(1)这批零件一共有________个,甲机器每小时加工________个零件,乙机器排除故障后每小时加工________个零件;
(2)当3≤x≤6时,求y与x之间的函数解析式;
(3)在整个加工过程中.甲加工多长时间时,甲与乙加工的零件个数相等?
{解析}本题考查了看函数图象收集信息、待定系数法求函数解析式、分类讨论思想、列方程解应用题.
(1)由函数图象可知,这批零件一共有270个,折线OA-AB-BC中AB段是只有甲机器工作,甲机器每小时加工(90-50)÷(3-1)=20, OA段是乙机器出故障前甲、乙合作的1小时共同完成50个零件,可知乙机器每小时完成30个零件。BC段是乙机器排除故障后,甲、乙合作的3小时共同完成270-90=180个零件,甲、乙合作的1小时共同完成60个零件,乙每小时加工60-20=40个零件;
(2)根据B、C两个点的坐标,用待定系数法即可求解;
(3)以乙机器出故障前后为界分类讨论,列方程求解。
{答案}解:(1)270;20;40
(2)当3≤x≤6时,y与x之间的函数解析式为,
把B(3,90),C(6,270)代入解析式,得,解得,∴(3≤x≤6);
(3)解:设甲加工x小时时,甲与乙加工的零件个数相等.
①20x=30,x=1.5;
②50-20=30, 20x=30+40(x-3), x=4.5.
答:甲加工1.5h或4.5h时,甲与乙加工的零件个数相等.
{分值}7
{章节:[1-19-2-2]一次函数}
{考点:分段函数的应用}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}28.(2019年烟台T28)(本题满分9分)如图①, 在正方形ABCD中,AB=6,M为对角线BD上任意一点.(不与B、D重合)连接CM,过点M做MN⊥CM,交线段AB于点N.
(1)求证:MN=MC;
(2)若DM:DB=2: 5,求证:AN=4BN;
(3)如图2,连接NC交BD于点G,若BG:MG=3: 5,求NG×CG的值.
{解析}本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、平行线成比例定理、相似三角形的性质与判定、勾股定理.
(1)由CM⊥MN可知∠CMN=90°,利用∠CMN=90°构造相等的角和全等三角形,过M分别做ME∥AB交BC于点E,MF∥BC交AB于点F,则四边形ABCD是正方形,△MFN≌△MEC得出MN=MC;(2)根据平行线成比例定理可知,得出AF=CE=2.4,
由△MFN≌△MEC可知FN=CE=2.4,进一步求出AN=4.8,BN=1.2,∴AN=4BN.(3)欲求CGNG,观察图形可知△MGC∽△NGB,所以CGNG=BGMG,把△DMC绕点C逆时针旋转90°,得到△BHC,连接GH.有旋转性质可知△DMC≌△BHC,根据(1)可知△MNC是等腰直角三角形,∠MNC=∠NCH=45°,得出△MCG≌△HCG,可知MG=HG,因为BG:MG=3: 5,所以设BG=3a,则MG=GH=5a.在Rt△BGH中,由勾股定理得BH=4a,则MD=4a.正方形ABCD的对角线BD=,由DM+MG+BG=12a=,可知.所以, .所以CGNG=BGMG
{答案}解:(1)证明:如图,过M分别做ME∥AB交BC于点E,MF∥BC交AB于点F,
则四边形BEMF是平行四边形.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=∠CBD=∠BME=45°.∴ME=BE.∴平行四边形MEBF是正方形.∴ME=MF.∵CM⊥MN,∴∠CMN=90°.∵∠FME=90°.∴∠CME=∠FMN.∴△MFN≌△MEC.∴MN=MC.
(2)证明:由(1)得:MF∥AD,ME∥CD,∴.∴AF=2.4,CE=2.4.∵△MFN≌△MEC,FN=CE=2.4,∴AN=4.8,BN=6-4.8=1.2,∴AN=4BN.
(3)解:把△DMC绕点C逆时针旋转90°,得到△BHC,连接GH.∵△DMC≌△BHC,∠BCD=90°,∴MC=HC,DM=BH,∠CDM=∠CBH,∠DCM=∠BCH=45°.∴∠MBH=90°,∠MCH=90°.∵MC=MN,MC⊥MN,∴△MNC是等腰直角△.∴∠MNC=45°.∴∠NCH=45°.∴△MCG≌△HCG,∴MG=HG,∵BG:MG=3: 5,∴设BG=3a,则MG=GH=5a.
在Rt△BGH中,BH=,则MD=4a.∵正方形ABCD的边长为6,∴BD=.∴DM+MG+BG=12a=,∴.∴, .
∵∠MGC=∠NGB,∠MNG=∠GBC=45°.∴△MGC∽△NGB. .∴CGNG=BGMG
{分值}9
{章节:[1-18-2-3] 正方形}
{考点:正方形的性质}
{考点:全等三角形的性质}
{考点:由平行判定相似}{考点:相似三角形的性质}
{类别:常考题}
{难度:4-较高难度}
{题目}29.(2019年烟台T29)(本题满分10分)已知抛物线对称轴为直线,交x轴于点A、B,交y轴于点C,且点A坐标为A(-2,0).直线y=-mx-n (m>0)与抛物线交于点P、Q(点P在点Q的右边),交y轴于点H.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)若n=-5,且△CPQ的面积为3,求m的值;
(3)当m≠1时,若n=-3m,直线AG交y轴与点K.设△PQK的面积为S,求S与m之间的函数解析式.
{解析}本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与一次函数交点坐标的求法、一元二次方程跟与系数的关系、完全平方公式.
(1)根据抛物线对称轴是又经过点A(-2,0),待定系数法求出二次函数解析式;(2)由△CPQ的面积为3,且S△CPQ= S△CHP- S△CHQ,可知需要求出点P、Q的横坐标,设点Q横坐标为x1,点P横坐标为x2,S△CPQ= ,点P和点Q是与交点,求得m 的值为2.
(3)当n=-3m时,直线y=-mx-n (m>0)与抛物线交点P、Q的横坐标为3和2m-2.因为点P在点Q的右边,需要讨论3和2m-2的大小,当2m-2<3时,有.由.需要讨论m-1的正负,①当0<m<1时, S△PQ K= ;②当1<m<时,S△PHK=;③当2m-2>3时,S△PQK=.
综上,可得答案.
{答案}解:(1)∵抛物线对称轴是又经过点A(-2,0),由题意得解得,∴抛物线解析式为.
(2)设点Q横坐标为x1,点P横坐标为x2,则有x1<x2,把n=-5代入y=-mx-n得y=-mx+5.
∵与交于点P和点Q,∴-mx+5=.
整理得.∴x1+x2=2m+1,x1x2=4.∵△CPQ的面积为3,∴S△CPQ= S△CHP- S△CHQ 即,∴x2-x1=3.∴(x1+x2)2-4 x1x2=9 ,.∴m1=2,m2=-3,∵m>0,∴m =2.
(3)当n=-3m时,PQ:y=-mx+3m,∴H(0,3m),∵y=-mx+3m与 交于点P和点Q,∴-mx+3m=,,
∴x1=3,x2=2m-2.当2m-2<3时,有.∵点P在点Q的右边,∴P(3,0),Q (2m -2,).∴.∴K(0,5-2m).
∴.
当0<m<1时,如图① ,HK=5-5m,∴ S△CPQ = S△PHK+ S△QHK=
;
②当1<m<时,如图②,HK=5-5m,∴S△PHK=.
③当2m-2>3时,如图③,有m>,∴P(2m-2,),K(3,0),K(0,0).
∴S△PQK=.
综上,
{分值}10
{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}
{考点:抛物线与一元二次方程的关系}
{类别:常考题}
{难度:4-较高难度}
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