2019年江苏常州中考数学试题（解析版）【jiaoyupan.com教育盘】.doc

{来源}2019年常州中考数学 {适用范围：3．九年级} 2019年江苏省常州市中考数学试题 时间：120分钟 满分：120分 {题型：1-选择题}一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的） {题目}1．（2019年常州）－3的相反数是（ ） A． B．－ C．3 D．－3 {答案}C {解析}本题考查了相反数的定义，和为0的两个数互为相反数，由于－3＋3＝0，从而－3的相反数是3，因此本题选C． {分值}2 {章节：[1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义} {类别:常考题} {难度：1-最简单} {题目}2．（2019年常州）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A．x＝－1 B．x＝3 C．x≠－1 D．x≠3 {答案}D {解析}本题考查了分式有意义的条件，只要分母不为0，分式就有意义，由x－3≠0得x≠3，因此本题选D． {分值}2 {章节:[1-15-1]分式} {考点:分式的意义} {类别:常考题} {难度：1-最简单} {题目}3．（2019年常州）下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A．3圆柱 B．正方体 C．圆锥 D．球 第3题图 {答案}A {解析}本题考查了由几何体的三视图认识几何体，因为该几何体的主视图与左视图都是矩形，所以该几何体是柱体；又因为该几何体的俯视图是圆，所以该几何体是圆柱，因此本题选A． {分值}2 {章节：[1-29-2]三视图} {考点：几何体的三视图} {类别:常考题} {难度：1-最简单} {题目}4．（2019年常州）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ） A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD 第4题图 {答案}B {解析}本题考查了垂线的性质及点到直线的距离，根据“垂线段最短”，易知在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是PB，因此本题选B． {分值}2 {章节:[1-5-1-2]垂线} {考点:垂线的性质} {考点:点到直线的距离} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}5．（2019年常州）若△ABC∽△，相似比为1﹕2，则△ABC与△的周长的比为（ ） A．2﹕1 B．1﹕2 C．4﹕1 D．1﹕4 {答案}B {解析}本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，知△ABC与△的周长的比为1﹕2，因此本题选B． {分值}2 {章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:相似三角形的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}6．（2019年常州）下列各数中与2＋的积是有理数的是（ ） A．2＋ B．2 C． D．2－ {答案}D {解析}本题考查了分母有理化及二次根式的乘法法则，因数(2＋)(2－)＝1，因此本题选D． {分值}2 {章节:[1-16-2]二次根式的乘除} {考点:分母有理化} {考点:二次根式的乘法法则} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}7．（2019年常州）判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以 为（ ） A．－2 B．－ C．0 D． {答案}A {解析}本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“－2＜1，而(－2)2－1＝3＞1”，从而反例中的n可以为－2，因此本题选A． {分值}2 {章节:[1-5-4] 命题、定理、证明} {考点:推理与证明} {考点:反证法} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}8．（2019年常州）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切． 某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随着时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0到t时PM2.5的值的极 差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（ ） A． B． C．2 D． 第8题图 A． B． C． D． {答案}B {解析}本题考查了极差的意义及函数图像的应用，将一天24小时分成三段：0≤t≤10、10≤t≤20、20≤t≤24，在0≤t≤10，y2随t的增大而增大；在10≤t≤20，y2随t的增大而不变（恒为85－42＝43），在20≤t≤24，y2随t的增大而增大，因此本题选B． {分值}2 {章节:[1-19-1-2] 函数的图象} {考点:函数的图象} {考点:极差} {考点:分段函数的应用} {考点:代数选择压轴} {类别:思想方法}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义} {难度:5-高难度} {题型:2-填空题}二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） {题目}9．（2019年常州）计算：a3÷a＝__________． {答案}a2 {解析}本题考查了同底幂的除法法则：同底幂相除，底数不变，指数相减，而a3÷a＝a3－1＝a2，因此本题答案为a2． {分值}2 {章节:[1-15-2-3]整数指数幂} {考点:同底数幂的除法} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}10．（2019年常州）4的算术平方根是__________． {答案}2 {解析}本题考查了算术平方根的定义，因为22＝4，所以4的算术平方根为2，因此本题答案为2． {分值}2 {章节:[1-6-1]平方根} {考点:算术平方根} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:1-最简单} {题目}11．（2019年常州）分解因式：ax2－4a＝__________． {答案}a(x＋2)(x＋2) {解析}本题考查了因式分解的常用方法，根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行分解，ax2－4a＝a(x2－4)＝a(x＋2)(x＋2)，因此本题答案为a(x＋2)(x＋2)． {分值}2 {章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:2-简单} {题目}12．（2019年常州）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于__________°． {答案}55° {解析}本题考查了余角的定义，根据和为90°的两个角称为互为余角，∵35°＋55°＝90°，∴∠α的余角等于55°，因此本题答案为55°． {分值}2 {章节:[1-4-3-3]余角和补角} {考点:互余} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}13．（2019年常州）如果a－b－2＝0，那么代数式1＋2a－2b的值是__________． {答案}5 {解析}本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值．∵a－b－2＝0，∴a－b＝2．∴1＋2a－2b＝1＋2(a－b)＝1＋2×2＝5，因此本题答案为5． {分值}2 {章节:[1-2-2]整式的加减} {考点:代数式求值} {类别:思想方法} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}14．（2019年常州）平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是__________． {答案}5 {解析}本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，可求得点P(－3，4)到原点的距离是＝5，因此本题答案为5． {分值}2 {章节:[1-7-2]平面直角坐标系} {考点:平面直角坐标系} {考点:点的坐标} {考点:点的坐标的应用} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:2-简单} {题目}15．（2019年常州）若是关于x、y的二元一次方程ax＋y＝3的解，则a＝__________． {答案}1 {解析}本题考查了二元一次方程的解的定义，将代入方程ax＋y＝3，得a＋2＝3，a＝1，因此本题答案为1． {分值}2 {章节:[1-8-1]二元一次方程组} {考点:二元一次方程的解} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}16．（2019年常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝__________°． 第16题图 {答案}30 {解析}本题考查了圆周角定理，∵AB是⊙O的直径，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°．∴∠CDB＝30°．因此本题答案为30． {分值}2 {章节:[1-24-1-4]圆周角} {考点:圆周角定理} {考点:直径所对的圆周角} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}17．（2019年常州）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切．连接OC，则tan∠OCB＝__________． 第17题图 {答案} {解析}本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识．设⊙O与BC边相切于点D，连接OB、OD．由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，再由切线长定理易求∠OBC＝30°，而OD＝，从而由tan∠OBD＝，得BD＝＝3，于是CD＝BC－BD＝8－3＝5．在Rt△OCD中，由正切函数定义，得tan∠OCB＝＝．因此本题答案为． 第17题答图 {分值}2 {章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:切线长定理} {考点:正切} {考点:解直角三角形} {类别:高度原创} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:3-中等难度} {题目}18．（2019年常州）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3．点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝__________． 第18题图 {答案}6 {解析}本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点．首先由勾股定理，求得BD＝10，然后由“AD＝3AB＝3．点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE”，求得PD＝，CE＝2，这样由tan∠DEC＝；第四步过点P作PH⊥BD于点H，在BD上依次取点M、N，使MH＝NH＝2PH，于是因此△PMN是所求符合条件的图形；第五步由△DPH∽△DBA，得，即，得PH＝，于是MN＝4PH＝6，本题答案为6． 第18题答图 {分值}2 {章节:[1-17-1]勾股定理} {章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {章节:[1-18-2-1]矩形} {章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:勾股定理} {考点:等边三角形的性质} {考点:等边三角形的判定} {考点:矩形的性质} {考点:相似三角形的性质} {考点:由平行判定相似} {考点:正切} {考点:几何填空压轴} {类别:思想方法} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:5-高难度} {题型:4-解答题}三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） {题目}19．（2019年常州）（8分）计算：（1）；（2）(x－1)(x＋1)－x(x－1) ． {解析}本题考查了实数的运算、整式的加减乘除法运算，解题的关键是按实数的运算法则与运算顺序、整式的乘法法则及加减法法则进行计算即可． {答案}解：（1）原式＝1＋2－3＝0； （2）原式＝x2－1－x2＋x＝x－1． {分值}8 {章节:[1-6-3]实数} {章节:[1-2-2]整式的加减} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:单项式乘以多项式} {考点:平方差公式} {题目}20．（2019年常州）（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． {解析}本题考查了一元一次不等式组的解法及在数轴上表示法，解题先分别求每一个不等式的解集，然后借助数轴找它们解集的公共部分即为原不等式组的解集，另外，画出数轴按相关要求将其解集表示出来． {答案}解：不等式①的解集为x＞－1； 不等式②的解集为：3x＋x≤8， 4x≤8， x≤2． ∴原不等式组的解集为－1＜x≤2，在数轴上表示如下： 第20题答图 {分值}6 {章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:解一元一次不等式组} {考点:在数轴上表示不等式的解集} {题目}21．（2019年常州）（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在处，与AD相交于点E． （1）连接，则与BD的位置关系是_________； （2）EB与ED相等吗?证明你的结论． 第21题图 {解析}本题考查了折叠、平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点，连接，从图形上容易看出并证明四边形是等腰梯形，故∥BD．由折叠（轴对称性质）及平行四边形的性质、等角对等边可证明EB＝ED． 第21题答图 {答案}解：（1）∥BD； （2）EB＝ED．理由如下： 由折叠可知∠CBD＝∠EBD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠CBD＝∠EDB． ∴∠EBD＝∠EDB． ∴EB＝ED． {分值}8 {章节:[1-13-1-1]轴对称} {章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质} {章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:折叠问题} {考点:等角对等边} {考点:平行四边形角的性质} {题目}22．（2019年常州）（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图． （1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元； （2）求这组数据的平均数； （3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数． 第22题图 {解析}本题考查了统计中的条形图的应用，众数、平均数的求法及用样本估计总体的统计核心思想．将条形图的四组数据相加即可样本容量；由图可知这组数据的众数为10元；利用加权平均数计算公式即可求出这组数据的平均数；最后用样本平均数去乘数据总个数即可计该校学生的捐款总数． {答案}解：（1）30，10； （2）＝＝＝12（元）； （3）∵12×600＝7200（元）， ∴估计该校学生的捐款总数为7200元． {分值}8 {章节:[1-10-1]统计调查} {章节:[1-20-1-1]平均数} {章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {难度:2-简单} {类别:思想方法} {类别:常考题} {类别:易错题} {考点:总体、个体、样本、样本容量} {考点:用样本估计总体} {考点:条形统计图} {考点:加权平均数（频数为权重）} {题目}23．（2019年常州）（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中． 根据以上信息，解决下列问题： （1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________； （2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接） 第23题图 {解析}本题考查了概率的求法，第（1）问用简单枚举法及概率的意义较易求出；第（2）问用列表法或画树状图法可以解决． {答案}解：（1）； （2）现画树状图如下： 第23题答图 由图可知共有6种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种，故P(拼成的图形是轴对称图形)＝＝． {分值}8 {章节:[1-25-1-2]概率} {章节:[1-25-2]用列举法求概率} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:概率的意义} {考点:一步事件的概率} {考点:两步事件不放回} {题目}24．（2019年常州）（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？ {解析}本题考查了分式方程的应用，解题时按列分式方程解应用的步骤进行操作即可，本题的等量关系是：甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等． {答案}解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(30－x)个零件，根据题意，得 ，解得x＝18． 经检验，x＝18是原方程的解，则30－x＝12． 答：甲、乙两人每小时分别做18个和12个零件． {分值}8 {章节:[1-15-3]分式方程} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {类别:易错题} {考点:分式方程的应用（工程问题）} {题目}25．（2019年常州）（8分）如图，在□ABCD中，OA＝2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图像经过点A、D． （1）求k的值； （2）求点D的坐标． 第25题图 {解析}本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数等知识点．（1）如答图，延长BA交x轴于点F，取OA的中点E，连接DE．由OA＝2，∠AOC＝45°，利用等腰直角三角形的边角关系易求OF＝AF＝2，从而A(2，2)，并代入双曲线的解析式即可得k＝4．（2）由中点公式，易求点E的坐标，从而D点的横坐标与E点相同，在y＝，将点E的横坐标代入可求y的值，从而求出点D的坐标． {答案}解：（1）如答图，延长BA交x轴于点F，取OA的中点E，连接DE，则AF⊥x轴于点F． 在Rt△AOF中，OA＝2，∠AOC＝45°，可得OF＝AF＝2，从而A(2，2)． ∵反比例函数y＝（x＞0）的图像经过点A、D， ∴k＝2×2＝4． （2）∵O(0，0)，A(2，2)， ∴线段OA的中点E的坐标为 (1，1)． ∵在y＝中，当x＝1，y＝4， ∴点D的坐标为(1，4)． 第25题答图 {分值}8 {章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质} {章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {难度:3-中等难度} {类别:思想方法} {类别:常考题} {类别:易错题} {考点:反比例函数的解析式} {考点:反比例函数的图象} {考点:等腰直角三角形} {考点:平行四边形边的性质} {题目}26．（2019年常州）（10分） 【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】 （1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； （2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得到等式：n2＝___________________________． 图26—1 图26—2 【运用】 （3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以(m＋n)点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7． ①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝______；当n＝5，m＝_______时，y＝9； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳思想，可得y＝__________（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 图26—3 图26—4 {解析}本题考查了勾股定理的验证、数列的求和公式推导、规律探究等知识点．（1）利用梯形面积的两种不同的计算方式，得到关于直角三角形三边a、b、c的数量关系：a2＋b2＝c2，从而得到结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）根据图2中n行n列个点的计算方式，得到n2＝1＋3＋5＋…＋2n－1（n为正整数）．（3）先观察图3和图4，不难解决第①问；②利用多边形的内角和公式，得到在n边形内有不共线的m个点，最多能剪出y个三角形，这些y个三角形的内角和的总和为(180y)°，也等于n边形的内角和与m个周角的和，即可得到y与m、n的数量关系式． {答案}解：（1）∵S梯形＝(a＋b)(a＋b)＝(a2＋2ab＋b2)， 又∵S梯形＝2×ab＋c2， ∴(a2＋2ab＋b2)＝2×ab＋c2． ∴a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2． ∴a2＋b2＝c2． 结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． （2）1＋3＋5＋…＋2n－1（n为正整数）． （3）①6，3； ②n＋2m－2，理由如下：如答图，在n边形内有不共线的m个点，最多能剪出y个三角形，这些y个三角形的内角和的总和为(180y)°，也等于n边形的内角和与m个周角的和，即180°•(n－2)＋m •360°，故180y＝180(n－2)＋360 m，故y＝n＋2m－2． 第26题答图 {分值}10 {章节:[1-11-3]多边形及其内角和} {章节:[1-17-1]勾股定理} {难度:5-高难度} {类别:思想方法} {类别:数学文化} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {类别:易错题} {类别:新定义} {考点:多边形的内角和} {考点:勾股定理的证明} {考点:新定义} {题目}27．（2019年常州）（10分）如图，二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A坐标为(－1，0)，点D为OC的中点，点P在抛物线上． （1）b＝_____； （2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标． 第27题图 第27题备用图 {解析}本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点有：用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、相似三角形的性质与判定等．（1）直接将点A坐标代入抛物线解析式，得到关于b的一元一次方程，解之即可；（2）先求直线BC、BD的解析式，然后令P(m，－m2＋2m＋3)，则M(m，－m＋3)、N(m，－m＋)，再利用PM＝MN＝NH，得到m的一元二次方程解之即可锁定符合条件的点P坐标；（3）如答图2，过点P作PK⊥AB于点K，过点Q作QJ⊥AB于点J，则PK∥QJ．通过面积关系及相似三角形知识，将问题转化为点P的纵坐标为点Q纵坐标3倍关系，最后利用坐标法仿照（2）得到符合条件的点P的坐标． {答案}解：（1）∵二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像过点A(－1，0)， ∴0＝－(－1)2－b＋3． ∴b＝2． （2）如答图1，连接BD、BC，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC、BD分别于点M、N． 第27题答图2 第27题答图1 ∵抛物线y＝－x2＋2x＋3交x轴于点A(－1，0)、B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，且点D为OC的中点， ∴D(0，)． 易求直线BC的解析式为y＝－x＋3，直线BD的解析式为y＝－x＋． 假设存在符合条件点P(m，－m2＋2m＋3)，则M(m，－m＋3)、N(m，－m＋)． ∵PM＝MN＝NH， ∴－m＋＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)． 整理，得2m2－7m＋3＝0，解得m1＝，m2＝3（不合题意，舍去）． ∴P(，)即为所求的符合条件的点． （3）如答图2，过点P作PK⊥AB于点K，过点Q作QJ⊥AB于点J，则PK∥QJ． ∵过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB， ∴PQ＝2QR，从而PR＝3QR． ∵PK∥QJ， ∴△RQJ∽△RPK． ∴． ∴PK＝3QJ． 设P(n，－n2＋2n＋3)，由BD的解析式为y＝－x＋，且直线PQ⊥BD，可令直线PQ的解析式为y＝2x＋t，则－n2＋2n＋3＝2n＋t，解得t＝3－n2，于是，PQ：y＝2x＋3－n2． 由，解得，从而Q(，)．由PK＝3QJ，得－n2＋2n＋3＝3()，整理，得n2－5n＋6＝0，解得n1＝2，n2＝3（舍去）． 当n＝2时，－n2＋2n＋3＝3，故P(2，3)即为所求的点． {分值}10 {章节:[1-19-2-2]一次函数} {章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} { {难度:5-高难度} {类别:思想方法} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {类别:常考题} {类别:易错题} {考点:解一元二次方程－因式分解法} {考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:其他二次函数综合题} {考点:相似三角形的应用} {考点:代数综合} {考点:几何综合} {题目}28．（2019年常州）（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距： ①半径为1的圆：________； ②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”：________； （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)、B(1，0)，C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d． ①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）； ②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点(0，2)且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上的任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围． 图28—2 图28—1 {解析}本题考查了新定义问题、点到圆的最大距离、扇形的面积、尺规作图、动态问题、探究问题等内容．（1）易知直径是圆有最大的弦；在“窗户形”图形中，中利用点到圆的最大距离的线段在点与圆心的连心线上找，据此可求该图形的宽距．（2）解答本问的两个问题都遵循“一找二求”原则：找出符合条件的图形，再根据条件求相应结论．具体思路参照答图2至答图4，充分利用数形结合思想与分类思想，并利用勾股定理进行求解即可． {答案}解：（1）①2（直径是圆的宽距）； ②＋1．（如答图1，点A与半圆圆心的连线与半圆相交于点D，则AD的长最大） （2）①如答图2所示，分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域． S阴影＝2(－)＝． 第28题答图1 第28题答图2 ②2－1≤x≤3－1或1－3≤x≤1－2． 第28题答图3 第28题答图4 {分值}10 {章节:[1-7-2]平面直角坐标系} {章节:[1-24-1-1]圆} {难度:5-高难度} {类别:思想方法} {类别:数学文化} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {类别:易错题} {类别:新定义} {考点:平面直角坐标系} {考点:两点间的距离公式} {考点:点与圆的位置关系} {考点:新定义} {考点:代数综合} {考点:几何综合} 17 / 17