2019年浙江杭州中考数学试题（解析版）【jiaoyupan.com教育盘】.doc

{来源}2019年德州中考数学 {适用范围:3． 九年级} {标题}2019年杭州市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 {题型:1-选择题}一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） {题目}1.（2019年杭州）计算下列各式，值最小的是（　　） A．2×0+1﹣9 B．2+0×1﹣9 C．2+0﹣1×9 D．2+0+1﹣9 {答案}A {解析}本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算．计算得：2×0+1﹣9＝﹣8，2+0×1﹣9＝﹣7，2+0﹣1×9＝﹣7，2+0+1﹣9＝﹣6，比较可知-8最小，因此本题选A． {分值}3 {章节:[1-1-4-1]有理数的乘法} {考点:有理数的乘法法则} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}2.（2019年杭州）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（　　） A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3 {答案}B {解析}本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的关系，A，B关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同.∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m＝﹣3，n＝2．因此本题选B． {分值}3 {章节:[1-13-1-1]轴对称} {考点:坐标与图形的性质} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}3.（2019年杭州）如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 {答案}B {解析}本题考查了切线长定理.因为PA和PB与⊙O相切，所以根据切线长定理可知PA＝PB＝3，因此本题选B． {分值}3 {章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:切线长定理} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}4.（2019年杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（　　） A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30 C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72 {答案}D {解析}本题考查了列一元一次方程解应用题，设男生x人，则女生有(30－x)人，由题意得：3x+2（30﹣x）＝72，因此本题选D． {分值}3 {章节:[1-3-3]实际问题与一元一次方程} {考点:一元一次方程的应用（工程问题）} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}5.（2019年杭州）点点同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差 {答案}B {解析}本题考查了平均数、中位数、方差、标准差的概念，因为将6个数从小到大排列后，被涂的数总是排在第5或第6的位置，最中间两个数始终是36、46，故其中位数不变，始终是41，因此本题选B． {分值}3 {章节:[1-20-2-1]方差} {考点:标准差} {考点:统计量的选择} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}6.（2019年杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（　　） A. B. C. D. {答案}C {解析}本题考查了相似三角形的判定与性质，∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC ∴，，∴，因此本题选C． {分值}3 {章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:由平行判定相似} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}7.（2019年杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（　　） A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90° {答案}D {解析}本题考查了三角形的内角和，不妨设在△ABC中，有∠A＝∠C﹣∠B，所以∠C＝∠A+∠B，根据三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，因此本题选D． {分值}3 {章节:[1-11-2]与三角形有关的角} {考点:三角形内角和定理} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}8.（2019年杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　） A.B.C.D. {答案}A {解析}本题考查了一次函数图象象限分布与系数的关系，从增减性以及直线与y轴的交点位置来进行判断比较快捷，可列表分析如下： 选项 增减性体现的a、b符号关系 与y轴交点体现的a、b符号关系 是否矛盾 A a＞0、b＞0 a＞0、b＞0 不矛盾 B a、b异号 a、b同号 矛盾 C a＜0、b＜0 a＞0、b＞0 矛盾 D a、b异号 a、b同号 矛盾 因此本题选A． {分值}3 {章节:[1-19-2-2]一次函数} {考点:一次函数的图象} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}9.（2019年杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　） A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx {答案}D {解析}本题考查了锐角三角函数的简单实际应用，过点A作AE⊥OB于点E，在矩形ABCD中，且AB＝a，AD＝BC=b，∵∠COB＝∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠OBC=∠BCO+∠OBC＝90°,∴∠ABE＝∠BCO＝x，∴，，∴，，所以点A到OC的距离OE=BE+OB=acosx+bsinx,因此本题选D． {分值}3 {章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:余弦} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}10.（2019年杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 {答案}C {解析}本题考查了二次函数、一次函数图象与x轴交点的求解，当y＝（x+a）（x+b）=0时，x=－a或x=－b，∵a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有两个交点（－a，0）、（－b，0），∴M＝2.当ab≠0时，同法可得函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有两个交点（－，0）、（－，0），此时N=2，故M=N=2；当ab=0时，∵a≠b，∴a与b只能有一个为0，不能同时为0，此时函数为一次函数，其图象与x轴有唯一的交点（－，0）或（－，0），此时N=1，故M＝N+1．综上可知，M＝N或M＝N+1．因此本题选C． {分值}3 {章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {考点:抛物线与一元二次方程的关系} }{类别:常考题} {类别:易错题} {难度:3-中等难度} {题型:2-填空题}二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） {题目}11.（2019年杭州）因式分解：1﹣x2＝　 　． {答案}（1﹣x）（1+x） {解析}本题考查了利用平方差公式进行因式分解，1﹣x2＝12﹣x2＝（1﹣x）（1+x），因此本题答案为：（1﹣x）（1+x）． {分值}4 {章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}12.（2019年杭州）某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于　 　． {答案} {解析}本题考查了加权平均数，平均数等于总和除以个数，所以平均数，因此本题答案为：． {分值}4 {章节:[1-20-1-1]平均数} {考点:加权平均数（频数为权重）} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}13.（2019年杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于　 　cm2（结果精确到个位）． {答案}113 {解析}本题考查了圆锥的侧面积的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，半径等于圆锥的母线长．设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则其侧面积，因此本题答案为113． {分值}4 {章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:圆锥侧面展开图} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}14.（2019年杭州）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝　 　． {答案}或 {解析}本题考查了锐角的余弦值的计算，如图所示，分两种情况讨论，AC可以是直角边，也可以是斜边. ①当AC是斜边，设AB＝x，则AC＝2x，则BC＝x，则； ②当AC是直角边，设AB＝x，则AC＝2x，则BC＝x，则.综上，或.，因此本题答案为：或． {分值}4 {章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:余弦} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:3-中等难度} {题目}15.（2019年杭州）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0；当自变量x＝0时，函数值y＝1.写出一个满足条件的函数表达式　 　 ． {答案}y＝﹣x+1，或y＝x2-2x+1，或y＝-x2+1，或y＝-x3+1，y＝-x4+1，等等（答案不限，合理即可）. {解析}本题考查了根据条件列函数关系式，由于x、y可以取0，所以三种常见函数中不能取反比例函数，只能取一次函数或二次函数.①若取一次函数，可设其解析式为设该函数的解析式为y＝kx+b， 由题知，解得，所以函数的解析式为y＝﹣x+1；②若取二次函数，可设其解析式为y＝ax2+bx+c，由题知，可得，比如取a=1，则b=-2，函数为y＝x2-2x+1；取a=-1，则b=0，函数为y＝-x2+1等等；③若取其它函数，还可以是y＝-x3+1，y＝-x4+1，等等.因此本题答案为：y＝﹣x+1，或y＝x2-2x+1，或y＝-x2+1，或y＝-x3+1，y＝-x4+1，等等（答案不限，合理即可）. {分值}4 {章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {考点:其他二次函数综合题} {类别:发现探究} {难度:3-中等难度} {题目}16.（2019年杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点.若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于　 　． {答案}10+6 {解析}本题考查了矩形的折叠问题，涉及相似三角形的判定与性质，在矩形ABCD中，设AB=x，由折叠知PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，A′E=AE，D′H=DH，∠A′=∠A=90°，∠D′=∠D=90°，∠A′PF=∠B=90°，∠D′PG=∠C=90°，∵∠FPG＝90°，∴∠FPG+∠D′PG=180°，∴D′、P、F三点共线.∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E·x=4，D′H·x=1，∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a.由折叠知A'E∥PF，∴∠A'EP=∠D'PH，又∵∠A'=∠D'=90°， ∴△A'EP∽△D'PH，∴,∴，∴x＝2a，∴PA′＝PD′＝2a， ∵•a•2a＝1，∴a＝1（负值舍去），∴x＝2，∴AB＝CD＝2，，A′E=AE=4，D′H=DH=1， ∴PE==2，PH==，∴AD＝4+2++1＝5+3， ∴矩形ABCD的面积＝2×（5+3）=10+6.因此本题答案为：10+6． {分值}4 {章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:矩形的性质} {考点:折叠问题} {类别:发现探究} {类别:常考题} {难度:4-较高难度} {题型:4-解答题}三、解答题（本大题有7个小题，共66分） {题目}17.（2019年杭州）（本题满分6分）化简：. 圆圆的解答如下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答. {解析}本题考查了异分母分式的加减运算，异分母分式相加减，先通分，再加减．而圆圆的做法丢失了分母，改变了原来式子的值，所以圆圆的做法是错误的. {答案}解：圆圆的解答不正确.正确解答如下： 原式 . {分值}6 {章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:2-简单} {类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义} {考点:两个分式的加减} {题目}18.（2019年杭州）（本题满分8分）称重五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数.甲组为实际称重读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）. （1）补充完整乙组数据的折线统计图； （2）①甲、乙两组数据的平均数分别为、，写出与之间的等量关系； ②甲、乙两组数据的平均数分别为、，比较与的大小，并说明理由. {解析}本题考查了统计表、折线统计图、平均数和方差，第（1）问先描点再连线即可，画出来的图形应该与前图一致；第（2）问根据平均数的简化计算公式容易得到结果；第（3）问根据方差的公式计算即可. {答案}解：（1）补全折线统计图，如图所示. （2）①. ②，理由如下： 因为 ，所以. {分值} {章节:[1-20-2-1]方差} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:方差的性质} {题目}19.（2019年杭州）（本题满分8分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC． （1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B． （2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数． （第19题（1）） （第19题（2）） {解析}本题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．第（1）问现根据垂直平分线条件证出PA=PB，在利用等边对等角及三角形外角的性质可证；第（2）问根据作图得出AB=BQ，从而得到相等的角，列方程即可求解. {答案}解：（1）证明：∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，∵∠APC=∠PAB+∠B，∴∠APC=2∠B； （2）根据题意，得BQ=BA，∠BAQ=∠BQA， 设∠B=x，则∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，∴∠BAQ=∠BQA=2x，在△ABQ中，x+2x+2x=180°， 解得x=36°，∴∠B=36°. {分值}8 {章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:等边对等角} {题目}20.（2019年杭州）（本题满分10分）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时. （1）求v关于t的函数表达式； （2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发. ①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围； ②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由. {解析}本题考查了反比例函数的实际应用问题．第（1）问根据题意直接列式即可；第（2）问第一小问利用极端值可以确定速度的范围；第二小问可以用两种方法：一是时间相同比速度，二是速度相同比时间. {答案}解： （1）根据题意，得，所以，因为，所以当时，， 综上，v关于t的函数表达式为； （2）①根据题意，得，当t=4.8时，v=10；当t=6时，v=8. ∴小汽车行驶速度v的范围是； ②方方不能在11点30分前到达B地.理由如下： 法一：若方方要在11点30分前到达B地，则， 所以，所以方方不能在11点30分前到达B地； 法二：方方按最快的速度行驶，那么v=120，当v=120时，可得t==4,8+4=12,∴方方最早也要12点才能到达，不能在当天11点30分前到达B地. {分值}10 {章节:[1-26-2]实际问题与反比例函数} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:生活中的反比例函数的应用} {题目}21.（2019年杭州）（本题满分10分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2． （1）求线段CE的长； （2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG． {解析}本题考查了在正方形条件下列一元二次方程解决问题．第（1）问设小正方形边长为未知数，根据S1=S2即可列方程求解；第（2）问在第一问的基础上利用勾股定理计算即可. {答案}解：（1）在正方形ABCD和正方形CEFG中，AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.设CE=x（0<x<1），则DE=1－x，因为S1=S2，所以x2=1－x，解得x1=,x2=（舍去），∴CE=； （2）因为点H为BC边的中点，所以CH=，所以HD=，因为CG=CE=，点H，C，G在同一直线上，所以HG=HC+CG=＋=，所以HD=HG. {分值}10 {章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:一元二次方程的应用—面积问题} {考点:正方形的性质} {题目}22.（2019年杭州）（本题满分12分）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）． （1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x=时，y=．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由． （2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）． （3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜． {解析}本题考查了二次函数的有关性质，重点考查了二次函数与一元二次方程的关系．第（1）问根据甲的结果求出函数解析式，再通过代入比较判断乙的结果是否正确；第（2）问注意不能再利用（1）的结论，而是要用含x1，x2的代数式来进行计算，算的时候抓住抛物线的轴对称性就比较方便了；第（3）问需要先用含x1，x2的代数式来表示出m、n以及mn，然后再通过配方法变形来证出结论，难度 较大. {答案}解：（1）乙求得的结果不正确，理由如下：根据题意，知图象经过点（0，0），（1，0）， 所以，当时，，所以乙求得的结果不正确. （2）函数图象的对称轴为，当时，设函数有最小值M，则 ； （3）因为， 所以，， 所以 因为，并结合函数的图象， 所以， 所以， 因为，所以. {分值}12 {章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {难度:5-高难度} {类别:高度原创} {考点:抛物线与一元二次方程的关系} {题目}23.（2019年杭州）（本题满分12分）如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连接OA． （1）若∠BAC＝60°， ①求证：OD=OA． ②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值． （2）点E在线段OA上，OE＝OD.连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0． {解析}本题考查了垂径定理，圆周角、圆心角、弧的关系等相关圆的知识．（1）①连接OB、OC，将OD与OA的关系探究转化为OD与OB（或OC）的关系来进行探究即可；②BC长度为定值，要使△ABC面积取得最大值，就要要求BC边上的高最大，即可求解；（2）设∠OED＝x，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx=∠BOC＝∠DOC，而∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，即可求解． {答案}解：（1）①证明：如图1，连接OB，OC，因为OB=OC，OD⊥BC， 所以∠BOD=∠BOC=×2∠BAC=60°，∵cos∠BOD==,所以OD=OB=OA； ②作AF⊥BC，垂足为点F，所以AF≤AD≤AO+OD=，等号当点A，O，D在同一直线上时取到 由①知，BC=2BD=，所以△ABC的面积， 即△ABC面积的最大值是； （2）如图2，连接OC， 设∠OED＝x，则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx， 则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx=∠BOC＝∠DOC， ∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx， ∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx， ∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x， 化简即可得：m﹣n+2＝0． {分值}12 {章节:[1-24-1-4]圆周角} {难度:5-高难度} {类别:高度原创} {考点:垂径定理} {考点:圆心角、弧、弦的关系} {考点:圆周角定理} 18