2019年江苏盐城中考数学试题（解析版）【jiaoyupan.com教育盘】.doc

{来源}2019年江苏盐城中考数学 {适用范围:3． 九年级} {标题}2019年江苏省盐城市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 {题型:1-选择题}一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，合计24分． {题目}1．（2019江苏盐城）如图，数轴上点A表示的数是 （　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 {答案}C {解析}本题考查了数轴的意义．由数轴可知，点A表示的数在0与2之间，因此本题选C． {分值}3 {章节:[1-1-2-2]数轴} {考点:数轴表示数} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}2．（2019江苏盐城）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） {答案}B {解析}本题考查了轴对称图形、中心对称图形的意义．选项A仅是轴对称图形；选项B既是轴对称图形，又是中心对称图形；选项C仅是中心对称图形；选项D仅是中心对称图形，因此本题选B {分值}3 {章节:[1-23-2-2]中心对称图形} {考点:轴对称图形} {考点:中心对称图形} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}3．（2019江苏盐城）若有意义，则x的取值范围是 （　　） A．x≥2 B．x≥－2 C．x＞2 D．x＞－2 {答案}A {解析}本题考查了二次根式有意义的条件．由题意，得　x－2≥0，解得x≥2，因此本题选A． {分值}3 {章节:[1-16-1]二次根式} {考点:二次根式的有意义的条件} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}4．（2019江苏盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为 （　　） （第4题图） A．2 B． C．3 D． {答案}D {解析}本题考查了三角形的中位线定理．∵点D、E分别是△ABC的边AB、BC的中点，AC＝3，∴DE＝AC＝，因此本题选D． {分值}3 {章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质} {考点:三角形中位线} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}5．（2019江苏盐城）如图是由6个小正方体搭成的物体，该所示物体的主视图是 （　　） （第5题图） {答案}C {解析}本题考查了主视图的意义．从正面观察物体，看到3列，从左到右第1列有一层，第2列有两层，第三列有一层，故主视图有3列，从左到右第1列有一个正方形，第2列有2个正方形，第3列有1个正方形，因此本题选C． {分值}3 {章节:[1-29-2]三视图} {考点:正投影} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}6．（2019江苏盐城）下列运算正确的是 （　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ {答案}B {解析}本题考查了幂的运算法则以及合并同类项法则．＝＝，选项A不正确；＝＝，选项B正确；＝＝，选项C不正确；＝＝，选项D不正确．因此本题选B． {分值}3 {章节:[1-15-2-3]整数指数幂} {考点:同底数幂的乘法} {考点:幂的乘方} {考点:同底数幂的除法} {考点:整式加减} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}7．（2019江苏盐城）正在建设中的北京大兴国际机场规划建设面积约1 400 000平方米的航站楼，数据1 400 000用科学记数法应表示为 （　　） A．0.14×108 B．1.4×107 C．1.4×106 D．14×105 {答案}C {解析}本题考查了科学记数法的意义．科学记数法的表示形式为a×，其中1≤＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．用科学记数法表示数1 400 000，则a＝1.4，此时小数点向左移动了6位，所以n＝6，因此1 400 000＝1.4×106，因此本题选C． {分值}3 {章节:[1-1-5-2]科学计数法} {考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}8．（2019江苏盐城）关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0（k为实数）根的情况是 （　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 {答案}A {解析}本题考查了一元二次方程的根的差别式．∵b2－4ac＝＝＞0，∴关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0有两个不相等的实数根，因此本题选A． {分值}3 {章节:[1-21-2-2]公式法} {考点:根的判别式} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题型:2-填空题}二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，合计24分． {题目}9．（2019江苏盐城）如图，直线a∥b，∠1＝50°，那么∠2＝________°． （第9题图） {答案}50° {解析}本题考查了平行线的性质“两直线平行，同位角相等”．∵a∥b，∠1＝50°，∴∠2＝∠1＝50°． {分值}3 {章节:[1-5-3]平行线的性质} {考点:两直线平行同位角相等} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}10．（2019江苏盐城）分解因式：x2－1＝________． {答案}(x＋1)(x－1) {解析}本题考查了运用平方差公式因式分解，x2－1＝(x＋1)(x－1)． {分值}3 {章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}11．（2019江苏盐城）如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率为________． （第11题图） {答案} {解析}本题考查了等可能条件下的概率．扇形中一共有6个形状相同的扇形，其中3个扇形含有阴影，∴P（指针落在阴影部分）＝＝＝． {分值}3 {章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:一步事件的概率} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}12．（2019江苏盐城）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.14 s2，乙的方差是0.06 s2，这5次短跑训练成绩较稳定的是________．（填“甲”或“乙”） {答案}乙 {解析}本题考查了方差的意义．∵0.14＞0.06，即＞，∴这5次短跑训练成绩较稳定的是乙． {分值}3 {章节:[1-20-2-1]方差} {考点:方差的实际应用} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}13．（2019江苏盐城）设x1、x2是方程x2－3x＋2＝0的两个根，则x1＋x2－x1x2＝________． {答案}1 {解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系．∵、是方程x2－3x＋2＝0，∴＋＝3，＝2．∴＝3－2＝1． {分值}3 {章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系} {考点:根与系数关系} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}14．（2019江苏盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E＋∠C＝________°． （第14题图） {答案}155° {解析}如答图所示．连接OA、OB，AE．∵为50°，∴∠AOB＝50°．∴∠BEA＝∠AOB＝25°．∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠C＋∠AED＝180°，即∠C＋∠DEB＋∠BEA＝180°．∴∠C＋∠DEB＝180°－∠BEA＝180°－25°＝155°． {分值}3 {章节:[1-24-1-4]圆周角} {考点:圆内接四边形的性质} {章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}15．（2019江苏盐城）如图，在△ABC中，BC＝，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________． （第15题图） {答案} {解析}如答图所示，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC＝90°．在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠DAC＝90°－∠C＝90°－45°＝45°．∴∠DAC＝∠C．∴AD＝CD．设AD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC＝＝＝．∵AB＝AC，∴AB＝×＝2x．在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝＝＝．∴BC＝BD＋CD＝＋x＝．∵BC＝＝，∴＝．解得x＝2．∴AC＝． {分值}3 {章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形} {考点:特殊角的三角函数值} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}16．（2019江苏盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交y轴于点C，则直线BC的函数表达式是________． （第16题图） {答案} y＝x－1 {解析}在y＝2x－1中，当x＝0时，y＝－1；当y＝0时，x＝．∴B（0，－1），A（，0）．∴OA＝，OB＝1．如答图所示，过A作AD⊥AB交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．∴∠BAD＝∠AED＝90°．∴∠OAB＋∠EAD＝90°．∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＋∠OBA＝90°．∴∠EAD＝∠OBA．在Rt△ABD中，∵∠ABD＝45°，∴∠ADB＝90°－∠ABD＝90°－45°＝45°．∴∠ABD＝∠ADB．∴AB＝AD．在△OAB与△EDA中，∴△OAB≌△EDA．∴AE＝OB＝1，DE＝OA＝．∴OE＝OA＋AE＝＋1＝．∴D（，）．设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b．把B（0，－1）、D（，）代入得解得k＝，b＝－1．∴直线BC的函数表达式为y＝x－1． {分值}3 {章节:[1-19-2-2]一次函数} {考点:代数填空压轴} {类别:易错题} {难度:4-较高难度} {题型:4-解答题}三、解答题：本大题共 小题，合计分． {题目}17．（2019江苏盐城）计算：． {解析}本题考查了实数的运算，解答时先分别计算出绝对值、零次幂、算术平方根、特殊角的三角函数，然后再进行加减运算． {答案}解：原式＝2＋1－2＋1＝2． {分值}6 {章节:[1-28-2-1]特殊角} {考点:绝对值的性质} {考点:零次幂} {考点:算术平方根} {考点:特殊角的三角函数值} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}18．（2019江苏盐城）解不等式组： {解析}本题考查了一元一次不等式组的解法．解答时先分别解出不等式组中每个不等式的解集，再确定出各个解集的公共部分． {答案}解： 由①，得　x＞1．由②，得x≥－2．∴不等式组的解集为x＞1． {分值}6 {章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:解一元一次不等式组} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}19．（2019江苏盐城）如图，一次函数y＝x＋1的图像交y轴于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图像交于点B（m，2）． （1）求反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积． （第19题图） {解析}本题考查了反比例函数、一次函数以及待定系数法．（1）先将点B的坐标代入一次函数关系式，求出横坐标m的值，再将点B的坐标代入反比例函数关系式，求出k的值，从而得到反比例函数关系式；（2）先求出点A的坐标，再过点B作△OAB的边OA上的高，由点A、B的坐标确定出OA长、及OA边上的高的长，最后求出△OAB的面积． {答案}解： 1）把B（m，2）代入y＝x＋1，得2＝m＋1，解得m＝1．∴B（1，2）．把B（1，2）代入y＝，得2＝．∴k＝2．∴反比例函数表达式为y＝． （2）在y＝x＋1中，当x＝0时，y＝1．∴A（0，1）．∴OA＝1．解方程组得或∴B（1，2）．如答图所示，过点B作BC⊥y轴于点C，则BC＝1．∴S△AOB＝OA·BC＝×1×1＝． {分值}8 {章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的解析式} {考点:反比例函数的图象} {考点:反比例函数的性质} {考点:一次函数的图象} {考点:一次函数的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}20．（2019江苏盐城）在一个不透明的布袋中，有2个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是________； （2）搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球．求两次都摸到红球的概率．（用树状图或表格列出所有等可能出现的结果） {解析}本题考查了等可能条件下的概率．（1）利用等可能条件下的概率公式P＝直接求解；（2）先用表格（或画树状图）列出所有可能出现的结果，再利用等可能条件下的概率公式P＝求解． {答案}解： （1）∵布袋中有2个红球，1个白球，∴一共有3个球．∴P（摸出一个球是红球）＝． （2）给红球标号：红1，红2，用表格列出所在可能出现的结果如下： 红1 红2 白 红1 （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） 由表格可知，一共有6种可能出现的结果，它们是等可能的，其中两次都摸到红球的有2种，∴P（两次都摸到红球）＝＝． {分值}8 {章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:两步事件不放回} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}21．（2019江苏盐城）如图，AD是△ABC的角平分线． （1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F； （用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） （2）连接DE、DF，四边形AEDF是________形．（直接写出答案） （第21题图） {解析}本题考查了尺规作图，菱形的判定．（1）利用作垂直平分线的尺规作图方法作图即可；（2）先证明四边形AEDF是平行四边形，再根据邻边相等（或对角线互相垂直）判别出四边形AEDF为菱形．过程如下： 如图，设EF交AD于点G．∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，AG＝DG．∴∠EAD＝∠EDA．∵AD是△ABC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD．∴∠EDA＝∠CAD．在△DEG和△AFG中，∴△DEG≌△AFG．∴EG＝GF．又∵AG＝DG，∴四边形AEDF是平行四边形．又∵AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形． {答案}解： （1）如答图1所示 （2）菱形 {分值}8 {章节:[1-18-2-2]菱形} {考点:与垂直平分线有关的作图} {考点:菱形的判定} {考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}22．（2019江苏盐城）体育器材室有A、B两种型号的实心球，1只A型球与l只B型球的质量共7千克，3　只A型球与l只B型球的质量共13千克． （1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？ （2）现有A型球、B型球的质最共17千克，则A型球、B型球各有多少只？ {解析}本题考查了二次一次方程组的应用，二元一次方程的应用．（1）根据两个相等关系“1只A型球与1只B型球的质量共7千克”、“3只A型球与1只B型球的质量共13千克”列二元一次方程组求解；（2）根据相等关系“A型球、B型球的质量共17千克”列二元一次方程，再求它的正整数解． {答案}解： （1）设每只A型球的质量为x千克，每只B型球的质量为y千克．根据题意，得　解得答：每只A型球的质量为3千克，每只B型球的质量为4千克． （2）设A型球有a只，B型球有b只．根据题意，得　3a＋4b＝17．∴a＝．∵a＞0，∴＞0．解得b＜．由题意知a、b为正整数，∴b的正整数解为1，2，3，4．当b＝1时，a＝＝（不是整数，舍去）；当b＝2时，a＝＝3（符合题意）；当b＝3时，a＝＝（不是整数，舍去）；当b＝4时，a＝＝（不是整数，舍去）．答：A型球有3只，B型球有2只． {分值}10 {章节:[1-9-2]一元一次不等式} {考点:二元一次方程组的应用} {考点:一元一次不等式的整数解} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}23．（2019江苏盐城）某公司共有400名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析． 人数 组别 A B C D E 频数分布直方图 频数分布表 组别 销售数量（件） 频数 频率 A 20≤x＜40 3 0.06 B 40≤x＜60 7 0.14 C 60≤x＜80 13 a D 80≤x＜100 m 0.46 E 100≤x＜120 4 0.08 合计 b 1 请根据以上信息，解决下列问题： （1）频数分布表中，a＝________，b＝________； （2）补全频数分布直方图； （3）如果该季度销量不低于80件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数． {解析}本题考查了频数分布直方图、统计表、频率以及用样本估计总体．（1）根据“各组频率之和等于1”得a＝1－0.06－0.14－0.46－0.08＝0.26．根据“频数÷总数＝频率”可知，若选择A组，则3÷b＝0.06，解得b＝50．（2）根据“各组频数之和等于总数”，又由（1）知总数为50，所以m＝50－3－7－13－4＝23，据此可补全频数分布直方图．（3）由频数分布表可知，该季度销量不低于80件的销售人员在D、E两组，用这两组的频率之和乘以总人数即可求解． {答案}解： （1）0.26，50． （2）如答图所示． 人数 组别 A B C D E 第23题答图 （3）由频数分布表可知，该季度销量不低于80件的销售人员在D、E两组，这两组的频率分别为0.46，0.08．∴估计该季度被评为“优秀员工”的人数为400×(0.46＋0.08)＝216（人）．答：估计该季度有240人被评为“优秀员工”． {分值}10 {章节:[1-10-2]直方图} {考点:频数（率）分布直方图} {考点:统计表} {考点:用样本估计总体} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}24．（2019江苏盐城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E． （1）若⊙O的半径为，AC＝6，求BN的长； （2）求证：NE与⊙O相切． （第24题图） {解析}本题考查了圆周角定理的推论、直角三角形斜边上中线的性质、勾股定理以及切线的判定．（1）连接DM、DN．由CD是Rt△ABC斜边AB上的中线可得△ACD、△BCD是等腰三角形．由CD是直径及∠ACB＝90°可得四边形CMDN是矩形．在△ACD中利用“三线合一”得到CM长为AC的，进而得到ND的长．由△BCD是等腰三角形及⊙O的半径为可得BD长，最后在Rt△BDN中利用勾股定理求得BN的长；（2）连接ON，先在等腰三角形BCD利用“三线合一”证明点N为BC的中点，再在△BCD中利用三角形的中位线定理证明ON∥BD，再结合条件NE⊥AB证出ON⊥NE，从而得到NE与⊙O相切． {答案}解：（1）如答图所示，设AC交⊙O于点M．连接DM、DN．∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，∴CD＝AD＝BD．∵CD是⊙O的直径，∴∠DMC＝∠DNC＝90°．又∵∠ACB＝90°，∴四边形CMDN是矩形．∴CM＝DN．∵∠DMC＝90°，∴DM⊥AC．又∵CD＝AD，∴CM＝AC＝×6＝3．∴DN＝3．∵⊙O的半径为，∴BD＝CD＝5．在Rt△BDN中，由勾股定理得BN＝＝＝4． （2）如答图2所示，连接ON、DN．由（1）知CD＝BD，∠CND＝90°．∴BN＝CN．又∵OC＝OD，∴ON∥BD．又∵NE⊥DB，∴NE⊥ON．∴NE与⊙O相切． {分值}10 {章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:切线的性质} {考点:切线的判定} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}25．（2019江苏盐城）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作： （Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②； （Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O： （Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④． 图① 图② 图④ 图③ 【探究】 （1）证明：△OBC≌△OED； （2）若A8＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式． {解析}本题考查了翻折变换、全等三角形的判定与性质、正方形的判定以及勾股定理．（1）连接EF．由折叠知∠BCO＝∠ODE＝∠FDE＝45°．所以OC＝OE．由第一次折叠知四边形ADEF是正方形，结合四边形BCEF是矩形得BC＝EF＝DE．利用“SAS”证得△OBC≌△OED．（2）连接BE．先由（1）中结论△OBC≌△OED得到OB＝OE，再在Rt△BCE、Rt△BOE分别利用勾股定理表示BE2列出等式，最后用含x、y的代数式表示该等式中的线段长，从而得到y与x的关系式． {答案}解： （1）证明：连接EF．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADE＝∠DAF＝90°．由折叠得∠DEF＝∠DAF，AD＝DE．∴∠DEF＝90°．又∵∠ADE＝∠DAF＝90°，∴四边形ADEF是矩形．又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形．∴AD＝EF＝DE，∠FDE＝45°．∵AD＝BC，∴BC＝DE．由折叠得∠BCO＝∠DCO＝45°．∴∠BCO＝∠DCO＝∠FDE．∴OC＝OD．在△OBC与△OED中，∴△OBC≌△OED（SAS）． （2）如答图2所示．连接EF、BE．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8．由（1）知，BC＝DE．∵BC＝x，∴DE＝x．∴CE＝8－x．由（1）知△OBC≌△OED．∴OB＝OE，∠OED＝∠OBC．∵∠OED＋∠OEC＝180°，∴∠OBC＋∠OEC＝180°．在四边形OBCE中，∠BCE＝90°，∠BCE＋∠OBC＋∠OEC＋∠BOE＝360°，∴∠BOE＝90°．在Rt△OBE中，OB2＋OE2＝BE2．在Rt△BCE中，BC2＋EC2＝BE2．∴OB2＋OE2＝BC2＋CE2．∵OB2＝y，∴y＋y＝x2＋(8－x)2．∴y＝x2－8x＋32，即y关于x的关系式为y＝x2－8x＋32． {分值}10 {章节:[1-18-2-1]矩形} {考点:矩形的性质} {考点:正方形的判定} {类别:易错题} {难度:4-较高难度} {题目}26．（2019江苏盐城）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如： 菜价2元/千克 质量 金额 甲 1千克 ___元 乙 ___千克 3元 第一次： 第二次： 菜价3元/千克 质量 金额 甲 1千克 3元 乙 1千克 3元 （1）完成上表； （2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价。（均价＝总金额总质量） 【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m，n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、．比较、的大小，并说明理由． 【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v＋p），逆水航行速度为（v－p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由． {解析}本题考查了列代数式、平均数、分式的计算以及分式的实际应用．【生活观察】（1）由第二次的表格可知，菜价2元/千克，所以质量为1千克时金额为2元；金额为3元时质量为1.5千克；（2）利用“均价＝总金额÷总质量”求解．【数学思考】先用含a、b、m、n的代数式分别表示出、，再利用“作差法”比较大小【知识迁移】先用含s、v、p的代数式分别表示出、．再利用“作差法”比较大小． {答案}解：【生活观察】（1）2，1.5 （2）甲两次买菜的均价为＝2.5（元/千克）；乙两次买菜的均价为＝2.4（元/千克）． 【数学思考】≥．理由是：∵＝＝，＝＝＝．∴－＝＝＝．∵a＞0，b＞0，≥0，∴≥0，即－≥0．∴≥． 【知识迁移】＞．理由是：∵＝＝．＝＝　＝．∴＝＝＝．∵s＞0，p＞0，v＞0，v＞p，∴＞0，即＞0．∴＞． {分值}12 {章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:列代数式} {考点:两个分式的加减} {类别:思想方法} {难度:5-高难度} {题目}27．（2019江苏盐城）如图所示，二次函数y＝k(x－1)2＋2的图像与一次函数y＝kx－k＋2的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0． （1）求A、B两点的横坐标； （2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值； （3）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值：若不存在，说明理由． （第27题图） {解析}本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、等腰三角形、相似三角形的判定与性质以及数形结合思想．（1）方程＝的根就是点A、B的横坐标；（2）分OA＝OB、OA＝AB两种情形求解，每种情形作x、y轴的平行线构造三角形，证明三角形全等将OA＝OB（或OA＝AB）转化为“横平竖直”的线段间关系，进而转化点的坐标之间的关系，从而求得k的值；（3）先构造出∠BEC的2倍角，然后寻找∠BEC的2倍角与∠ODC所在三角形之间的关系，得到∠BEC的2倍角所在的三角形是直角三角形，进而过点B作x轴的垂线得到相似三角形，利用相似三角形的对应成比例列方程求解．需要注意的是：要按点B在x轴上方和点B在x轴下方两种情形求解． {答案}解：（1）将方程组消去y，得＝．∴＝0．∵k＜0，∴x－1＝0或x－2＝0．∴x＝1或2．∵点B在点A的右侧，∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为2． （2）在y＝kx－k＋2中，当x＝1时，y＝kx－k＋2＝2；当x＝2时，y＝kx－k＋2＝k＋2．∴A（1，2），B（2，k＋2）． 当OA＝OB时，如答图1所示，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则∠AOM＝∠BNO＝90°．∵A（1，2），B（2，k＋2），∴AM＝1，OM＝2，ON＝2，BN＝k＋2．∴OM＝ON．在Rt△OAM和Rt△OBN中，∴Rt△OAM≌Rt△OBN．∴AM＝BN．∴1＝k＋2．解得k＝－1，满足k＜0，∴k＝－1符合题意． 当OA＝AB时，如答图2所示，过点A作AP⊥y轴于点P，过点B作BQ⊥PQ交PA的延长线于点Q．∵A（1，2），B（2，k＋2），∴AP＝1，OP＝2，Q（2，2）．∴AQ＝2－1．∴AP＝AQ．在Rt△APQ与Rt△AQB中，∴Rt△APQ≌Rt△AQB．∴BQ＝OP＝2．∵Q（2，2），B（2，k＋2），∴BQ＝2－(k＋2)＝－k．∴－k＝2．∴k＝－2，满足k＜0，∴k＝－2符合题意． 综合知，k的值为－1或－2． （3）当点B在x轴上方时，如答图3所示，过点B作BG⊥x轴于点G，在线段EG取点H，使得BH＝EH．∴∠BEC＝∠EBH．∴∠BHC＝∠BEC＋∠EBH＝2∠BEC．∵∠ODC＝2∠BEC，∴∠BHC＝∠ODC．又∵∠OCD＝∠HCB，∴△ODC∽△BHC．∴∠HBC＝∠DOC＝90°．设EH＝BH＝m．由（2）知B（2，k＋2）．∴BG＝k＋2．由y＝知对称轴为直线x＝1．∴E（1，0）．∴EG＝2－1＝1．∴HG＝1－m．在Rt△BHG中，由勾股定理得BH2＝HG2＋BG2．∴m2＝(1－m)2＋(k＋2)2．∴m＝．∴HG＝．在y＝kx－k＋2中，当y＝0时，x＝．∴C（，0）．∴GC＝＝．∵∠HBC＝∠BGC＝90°，∴∠BHG＋∠HBG＝∠HBG＋∠GBC．∴∠BHG＝∠GBC．又∵∠HGB＝∠CGB＝90°，∴△GHB∽△GBC．∴＝．∴GB2＝GH·GC．∴(k＋2)2＝·．即(k＋2)2＝·．∵BH＞0（否则∠BEC＝0°不符合题意），∴k＋2＞0．∴k＋2＝·．解得k＝．∵k＜0，∴k＝． 当点B在x轴下方时，如答图4所示．同理可求BG＝－(k＋2)，GC＝，GH＝．同理求证BG2＝GH·GC．∴[－(k＋2)]2＝·．∵k＋2≠0，∴k＋2＝·．解得k＝．∵k＜0，∴k＝． 综合知，k的值为或． {分值}14 {章节:[1-22-1-3]二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质} {考点:代数综合} {类别:常考题} {难度:5-高难度}