2019年四川眉山中考数学试题（解析版）【jiaoyupan.com教育盘】.doc

{来源}2019年眉山中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级} {标题}2019年四川省眉山市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 {题型:1－选择题}一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分． {题目}1．（2019年眉山）下列四个数中，是负数是（　　） A．|－3| B．﹣（﹣3） C．（﹣3）2 D．﹣ {答案}D {解析}本题考查了正数和负数，判断一个数是正数还是负数，关键是看它比0大还是比0小．|﹣3|＝3，﹣（﹣3）＝3，（﹣3）2＝9，∴四个数中，负数是﹣．因此本题选D． {分值}3 {章节:[1-1-1-1]正数和负数} {考点:负数的定义} {类别:常考题} {难度:1－最简单} {题目}2．（2019年眉山）中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120亿个用科学记数法表示为（　　） A．1.2×109个 B．12×109个 C．1.2×1010个 D．1.2×1011个 {答案}C {解析}本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．因此本题选C． {分值}3 {章节:[1-1-5-2]科学计数法} {考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1－最简单} {题目}3．（2019年眉山）如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） 第3题图 A B C D {答案}D {解析}本题考查三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．左视图有2层3列，第一层有3个正方形，第二层有一个正方形；每列上正方形的分布从左到右分别是2，1，1个．因此本题选D． {分值}3 {章节:[1-29-2]三视图} {考点:简单组合体的三视图} {类别:常考题} {难度:1－最简单} {题目}4．（2019年眉山）下列运算正确的是（　　） A．2x2y＋3xy＝5x3y2 B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 C．（3a＋b）2＝9a2＋b2 D． (3a＋b) (3a﹣b)＝9a2﹣b2 {答案}D {解析}本题考查了合并同类项的法则、幂的运算性质以及乘法公式，熟练掌握相关公式是解答本题的关键．A.2x2y和3xy不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意； B．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故选项B不合题意； C．（3a＋b）2＝9a2＋6ab＋b2，故选项C不合题意； D．（3a＋b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2，故选项D符合题意．因此本题选D． {分值}3 {章节:[1-14-2]乘法公式} {考点:完全平方公式} {类别:常考题} {难度:2－简单} {题目}5．（2019年眉山）如图,在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝300，∠ADC＝700，则∠C的度数是（　　） A．500 B．600 C．700 D．800 A B D C 第5题图 {答案}C {解析}本题考查了三角形的外角性质定理，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，本题较为综合，∵∠B＝30°，∠ADC＝70° ∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝70°﹣30°＝40° ∵AD平分∠BAC ∴∠BAC＝2∠BAD＝80° ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣80°＝70°因此本题选C． {分值}3 {章节:[1-11-3]多边形及其内角和} {考点:三角形内角和定理} {类别:常考题} {难度:3－中等难度} {题目}6．（2019年眉山）函数y＝中自变量x的取值范围是（　　） A． x≥﹣2且x≠1 B． x≥﹣2 C． x≠1 D．﹣2≤x＜1 {答案}A {解析}本题考查了分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义：①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x＋13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x＋2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．根据二次根式有意义，分式有意义得：x＋2≥0且x﹣1≠0， 解得：x≥﹣2且x≠1．因此本题选A． {分值}3 {章节:[1-16-1]二次根式} {考点:二次根式的有意义的条件} {类别:常考题} {难度:2－简单} {题目}7．（2019年眉山）化简（a﹣）÷的结果是（　　） A．a﹣b B．a＋b C． D． {答案}B {解析}本题考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键．原式＝× ＝× ＝a＋b．因此本题选B． {分值}3 {章节:[1-16-3]二次根式的加减} {考点:二次根式的混合运算} {类别:常考题 {难度:2－简单} {题目}8．（2019年眉山）某班七个兴趣小组人数如下：5，6，6，x,7，8，9.已知这组数据的平均数是7，则这组数据的中位数是（　　） A．6 B．6.5 C．7 D．8 {答案}C {解析}本题考查了中位数，正确得出x的值是解题关键．∵5，6，6，x，7，8，9，这组数据的平均数是7， ∴x＝7×7﹣（5＋6＋6＋7＋8＋9）＝9， ∴这组数据从小到大排列为：5，6，6，7，8，9，9 则最中间为7，即这组数据的中位数是7．因此本题选C． {分值}3 {章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {类别:常考题} {难度:1－最简单} {题目}9．（2019年眉山）如图，一束光线从点A（4，4）出发，经y轴上的点C反射后经过点B（1，0）.则点C的坐标是（　　） A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，2） y x A(4,4) O C B(1,0) 第9题图 {答案}B {解析}本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，综合性较强，如图所示，延长AC交 x轴于点D． ∵这束光线从点A（4，4）出发，经y轴上的点C反射后经过点B（1，0）， ∴设C（0，c），由反射定律可知， ∠1＝∠OCD ∴∠OCB＝∠OCD ∵CO⊥DB于O ∴∠COD＝∠BOC ∴在△COD和△COB中 ∴△COD≌△COB（ASA） ∴OD＝OB＝1 ∴D（﹣1，0） 设直线AD的解析式为y＝kx＋b，则将点A（4，4），点D（﹣1，0）代入得 ∴ ∴直线AD为y＝x＋∴点C坐标为（0，）．因此本题选B． {分值}3 {章节:[1-7-2]平面直角坐标系} {考点:点的坐标的应用} {类别:高度原创} {难度:3－中等难度} {题目}10．（2019年眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.50，OC＝6.则CD的长为（　　） A．6 B．3 C．6 D．12 A B D C O E 第10题图 {答案}A {解析}本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．∵CD⊥AB， ∴CE＝DE， ∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°， ∴△OCE为等腰直角三角形， ∴CE＝OC＝×6＝3， ∴CD＝2CE＝6．因此本题选A． {分值}3 {章节:[1-24-1-4]圆周角} {考点:圆周角定理} {类别:思想方法}{类别:数学文化}{类别:北京作图}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义} {难度:1－最简单}{难度:2－简单}{难度:3－中等难度}{难度:4－较高难度}{难度:5－高难度}{难度:6－竞赛题} {题目}11．（2019年眉山）如图，在矩形ABCD中，AB＝6， BC＝8.过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F.则DE的长是（　　） A．1 B． C．2 D． A B C D E F O 第11题图 {答案}B {解析}本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程, 连接CE，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC， ∵EF⊥AC， ∴AE＝CE， 设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2＋62＝（8﹣x）2， 解得：x＝， 即DE＝；因此本题选B． {分值}3 {章节:[1-18-2-1]矩形} {考点:矩形的性质} {类别:思想方法} {难度:3－中等难度} {题目}12．（2019年眉山）如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝600，∠EAF＝600，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE＝CF; ②∠EAB＝∠CEF; ③△ABE∽△EFC ④若∠BAC＝150.则点F到BC的距离为2﹣2. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A D C F B E 第12题图 {答案}B {解析}本题考查了四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD， ∵∠BAC＝∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF，△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝∠ACB＝60°， ∴∠ABE＝∠ACF， 在△BAE和△CAF中， ， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴AE＝AF，BE＝CF．故①正确； ∵∠EAF＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝60°， ∵∠AEB＋∠CEF＝∠AEB＋∠EAB＝60°， ∴∠EAB＝∠CEF，故②正确； ∵∠ACD＝∠ACB＝60°， ∴∠ECF＝60°， ∵∠AEB＜60°， ∴△ABE和△EFC不会相似，故③不正确； 过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H， ∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°， ∴∠AEB＝45°， 在Rt△AGB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4， ∴BG＝2，AG＝2， 在Rt△AEG中，∵∠AEG＝∠EAG＝45°， ∴AG＝GE＝2， ∴EB＝EG﹣BG＝2﹣2， ∵△AEB≌△AFC， ∴∠ABE＝∠ACF＝120°，EB＝CF＝2﹣2， ∴∠FCE＝60°， 在Rt△CHF中，∵∠CFH＝30°，CF＝2﹣2， ∴CH＝﹣1． ∴FH＝（﹣1）＝3﹣． ∴点F到BC的距离为3﹣，故④不正确． 综上，正确结论的个数是2个， 因此本题选B． {分值}3 {章节:[1-18-2-2]菱形} {考点:菱形的性质} {类别:高度原创} {难度:5－高难度} {题型:2－填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. {题目}13．（2019年眉山）分解因式：3a3﹣6a2＋3a＝　 　． {答案}3a（a﹣1）2 {解析}本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．3a3﹣6a2＋3a＝3a（a2﹣2a＋1）＝3a（a﹣1）2．因此本题填3a（a﹣1）2． {分值}3 {章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－完全平方式} {类别:常考题} {题目}14．（2019年眉山）设a、b是方程x2＋x﹣2019＝0的两个实数根，则(a﹣1)( b﹣1)的值为　 　． {答案}﹣2017 {解析}本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．∵a、b是方程x2＋x﹣2019＝0的两个实数根， ∴a＋b＝﹣1，ab＝﹣2019， ∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a＋b）＋1＝﹣2019＋1＋1＝﹣2017．因此本题填﹣2017． {分值}3 {章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系} {考点:根与系数关系} {类别:思想方法} {难度:1－最简单} {题目}15．（2019年眉山）已知关于x、y的方程组的解满足x＋y＝5，则k的值为　 　． {答案}2 {解析}本题考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于x、y的方程组是关键．， ②×2﹣①，得3x＝9k＋9，解得x＝3k＋3， 把x＝3k＋3代入①，得3k＋3＋2y＝k﹣1，解得y＝﹣k﹣2， ∵x＋y＝5， ∴3k＋3﹣k﹣2＝5， 解得k＝2．因此本题填2． {分值}3 {章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组} {考点:二元一次方程组的解} {类别:思想方法}{类别:数学文化}{类别:北京作图}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义} {难度:1－最简单}{难度:2－简单}{难度:3－中等难度}{难度:4－较高难度}{难度:5－高难度}{难度:6－竞赛题} {题目}16．（2019年眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为　 　． B A D C E 第16题图 {答案} {解析}本题考查了旋转的性质以及解直角三角形，难度较小，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题．在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13． 根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12， ∴CD＝8． 在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝＝．因此本题填． {分值}3 {章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形} {类别:思想方法} {难度:3－中等难度} {题目}17．（2019年眉山）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4,⊙O的半径为2, 点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为______________. 第17题图 A B O O P Q {答案}2 {解析}本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．连接OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4， ∴AB＝OA＝8， ∴OP＝＝4， ∴PQ＝2．因此本题填2． {分值}3 {章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:切线的性质} {类别:常考题} {难度:4－较高难度} {题目}18．（2019年眉山）如图，反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E，若四边形ODBC的面积为12.则k的值为　 　． y x A O B C E D M 第18题图 {答案}4 {解析}本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE＝|k|，S△OAD＝|k|， 过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S▱ONMG＝|k|， 又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO＝4S▱ONMG＝4|k|， 由于函数图象在第一象限， ∴k＞0，则＋＋12＝4k， ∴k＝4． 因此本题填4． {分值}3 {章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的几何意义} {类别:思想方法} {难度:5－高难度} {题型:3－解答题}三、解答题：（本大题共6个小题，共46分. {题目}19．（2019年眉山）计算：（﹣）－2﹣（4﹣）0＋6sin450﹣. {解析}本题考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案． {答案}解：原式＝9－1＋6×－3 ＝9－1＋3－3 ＝8 {分值}6 {章节:[1-28-2-1]特殊角} {难度:1－最简单} {类别:常考题} {考点:特殊角的三角函数值} {题目}20．（2019年眉山）解不等式组： {解析}本题考查了．解一元一次不等式组，根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． {答案}解：解不等式①得：x≤4, 解不等式②得：x＞－1, 所以不等式组的解集为：－1＜x≤4, {分值}6 {章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {难度:1－最简单} {类别:常考题} {考点:解一元一次不等式组} {题目}21．（2019年眉山）如图，　在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是CD的中点，AE＝BE. 求证：∠D＝∠C. A B C E D 第21题图 {解析}本题考查了考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠DEA＝∠CEB，由SAS证明△ADE≌△BCE，即可得出结论． {答案}解：证明：∵AE＝BE ∴∠EAB＝∠EBA , ∵DC∥AB ∴∠DEA＝∠EBA, ∠CEB＝∠EBA, ∴∠DEA＝∠CEB, 在△DEA和△CEB中 ∴△DEA≌△CEB(SAS) ∴∠D＝∠C, {分值}8 {章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {难度:2－简单} {类别:常考题} {考点:等边对等角} {题目}22．（2019年眉山）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1∶2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为450，然后沿坡面CF上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为300，求楼AB的高度. A B C E D F 300 450 岷江 第22题图 {解析}本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．由i＝＝，DE2＋EC2＝CD2，解得DE＝20m，EC＝40m，过点D作DG⊥AB于G，过点C作CH⊥DG于H，则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，证得AB＝BC，设AB＝BC＝xm，则AG＝（x﹣20）m，DG＝（x＋40）m，在Rt△ADG中，＝tan∠ADG，代入即可得出结果． {答案}解：解：在Rt△DEC中，∵i＝DE∶EC＝1∶2, 且DE2＋EC2＝DC2， ∴ DE2＋（2 DE）2＝（20）2， 解得：DE＝20m，EC＝40m , 过点D作DG⊥AB于点G，过点C作CH⊥DG于点H, 则四边形DEBG、DECH、BCHG都是矩形 ∵∠ACB＝450, AB⊥BC, ∴AB＝BC, 设AB＝BC＝xm，则AG＝(x－20)m，DG＝(x＋40)m， 在Rt△ADG中， ∵＝tan∠ADG, ∴＝, 解得：x＝50＋30. 答：楼AB的高度为（50＋30）米 {分值}8 {章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {难度:3－中等难度} {类别:常考题} {考点:解直角三角形的应用－仰角} {题目}23．（2019年眉山）某中学举行铅笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图 获奖人数条形统计图 2 4 6 8 10 12 14 16 一等奖 二等奖 三等奖 参与奖 8 12 16 人数 奖项 0 获奖人数扇形统计图 一等奖 二等奖 三等奖 参与奖 40% 请结合图中相关信息解答下列问题： （1）扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是_______________度； （2）请将条形统计图补全； （3）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自九年级，其他同学均来自八年级.现准备从获得一等奖的同沉寂中任选2人参加市级铅笔书法大赛.请通过列表或画树状图的方法求所选出的2人中既有八年级同学又有九年级同学的概率. {解析}本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．（1）先根据参与奖的人数及其所占百分比求得总人数，再用360°乘以三等奖人数所占比例即可得； （2）根据各奖项的人数之和等于总人数求出一等奖的人数，从而补全图形； （3）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式计算可得． {答案}解： （1）1080， （2）如图所示 4 获奖人数条形统计图 2 4 6 8 10 12 14 16 一等奖 二等奖 三等奖 参与奖 8 12 16 人数 奖项 0 （3）七年级一等奖人数：4×＝1， 九年级一等奖人数：4×＝1， 八年级一等奖人数为2. 画树状图如下： 开始 七 八1 八2 九 八1 八2 九 七 九 八2 八1 七 九 七 八1 八2 由图可知共有12种等可能的结果，其中选出的两名同学既有八年级又有九年级的结果共有4种， ∴ P(既有八年级又有九年级同学) ＝＝. {分值}9 {章节:[1-25-2]用列举法求概率} {难度:2－简单} {类别:常考题} {考点:两步事件放回} {题目}24．（2019年眉山）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积600 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天. （1）求甲、乙两个工程队每天各能完成多少面积的绿化； （2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用是0.5万元.社区要使这次绿化的总费用不走超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？ {解析}本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意列出方程：﹣＝6，解方程即可； （2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得：100a＋50b＝3600，则a＝＝﹣b＋36，根据题意得：1.2×＋0.5b≤40，得出b≥32，即可得出结论． {答案}解： 解：（1）设乙队每天能完成的绿化面积为xm2，则甲队每天能完成的绿化面积为2xm2, 根据题意得： 解得：x＝50 经检验：x＝50就原方程的解，则2 x＝100. 答：甲队每天能完成的绿化面积为100m2, 乙队每天能完成的绿化面积为50m2. （2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得： 100a＋50b＝3600，则a＝ 根据题意得：1.2×＋0.5b≤40 解得：b≥32 答：至少应安排乙工程队绿化32天. {分值}9 {章节:[1-15-3]分式方程} {难度:3－中等难度} {类别:常考题} {考点:分式方程的应用（工程问题）} B卷（共20分） {题目}25．（2019年眉山）如图，正方形ABCD中，AE平分∠CAB,交BC于点E，过点C作CF⊥AE,交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F. （1）求证：BE＝BF； （2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF； （3）如图3，连接DG交AC于点M，求的值. A B F C D G E 图2 A B F C D G E 图1 A B F C D G E 图3 M {解析}本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，涉及知识面广，熟练掌握正方形的性质、角平分线定义，证明三角形全等与相似是解题的关键．（1）由正方形性质得出∠ABC＝90°，AB＝BC，证出∠EAB＝∠FCB，由ASA证得△ABE≌△CBF，即可得出结论； （2）由正方形性质与角平分线的定义得出∠CAG＝∠FAG＝22.5°，由ASA证得△AGC≌△AGF得出CG＝GF，由直角三角形的性质得出GB＝GC＝GF，求出∠DBG＝∠GBF，即可得出结论； （3）连接BG，由正方形的性质得出DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，推出AC＝DC，证出∠DCG＝∠ABG，由SAS证得△DCG≌△ABG得出∠CDG＝∠GAB＝22.5°，推出∠CDG＝∠CAG，证得△DCM∽△ACE，即可得出结果． {答案}解： （1）证明：在正方形ABCD中，∠ABC＝900， AB＝BC, ∴∠EAB＋∠AEB＝900， ∵AG⊥CF, ∴∠BCF＋∠CEG＝900， 又∵∠AEB＝∠CEG, ∴∠EAB＝∠BCF . 在△ABE和△CBF中，∵AB＝CB, ∠EAB＝∠BCF, ∠ABE＝∠CBF＝900， ∴ △ABE≌△CBF(ASA) , ∴BE＝BF. (2) ∵∠CAG＝∠FAG, AG＝AG, ∠AGC＝∠AGF＝900， ∴ △AGC≌△AGF(ASA) , ∴CG＝GF. 又∵∠CBF＝900， ∴GB＝GC＝GF. ∠GBF＝∠GFB＝900－∠GAF＝900－22.50＝67.50， ∴∠DBG＝1800－67.50－450＝67.50，∠GBF＝∠DBG, ∴BG平分∠DBF. (3)连接BG ∵∠DCG＝900＋22.50＝112.50， ∠ABG＝1800－67.50＝112.50， ∴∠DCG＝∠ABG, 又∵DC＝AB, CG＝BG, ∴ △DCG≌△ABG(SAS) ∴∠CDG＝∠GAB＝22.50, ∴∠CDG＝∠CAE. 又∵∠DCM＝∠ACE＝450, ∴△DCM∽△ACE ∴. {分值}9 {章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {难度:4－较高难度} {类别:高度原创} {考点:相似三角形的应用} {题目}26．（2019年眉山）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）. （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G.过点G作GF⊥x轴于点F.当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标； （3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA, MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由. B A C O D E F G P y x 图1 图2 A B C D y x M N O {解析}本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．（1）抛物线的表达式为：y＝﹣（x＋5）（x﹣1），即可求解； （2）PE＝﹣m2﹣m＋，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE＋PG），即可求解； （3）分MN＝DM、NM＝DN、DN＝DM，三种情况分别求解． {答案}解： （1）抛物线的解析式为：y＝﹣(x＋5）(x﹣1) ＝﹣x2﹣x＋ 配方得：y＝﹣（x＋2）2＋4 ，∴顶点D的坐标为（﹣2，4）. （2）设点P的坐标为（a，﹣a2﹣a＋）, 则PE＝﹣a2﹣a＋，PG＝2(﹣2﹣a)＝﹣4﹣2a. ∴矩形PEFG的周长＝2(PE＋PG)＝2(﹣a2﹣a＋﹣4﹣2a) ＝﹣a2﹣a﹣ ＝﹣(a＋)2＋ ∵﹣＜0, ∴当a＝﹣时，矩形PEFG的周长最大， 此时，点P的横坐标为﹣. （3）存在. ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA. ∵∠AMN＋∠DMN＝∠MDB＋∠DBA, 又∵∠DMN＝∠DBA, ∴∠AMN＝∠MDB, ∴△AMN∽△BDM, ∴＝ 易求得：AB＝6，AD＝DB＝5. △DMN为等腰三角形有三种可能： ①当MN＝DM时，则△AMN≌△BDM, ∴AM＝BD＝5, ∴AN＝MB＝1; ②当DN＝MN时，则∠ADM＝∠DMN＝∠DBA, 又∵∠DAM＝∠BAD, ∴△DAM∽△BAD, ∴AD2＝AM•BA. ∴AM＝, BM＝6﹣＝, ∵＝ , ∴ ＝ , ∴AN＝. ③DN＝DM不成立. ∵∠DNM＞∠DAB, 而∠DAB＝∠DMN， ∴∠DNM＞∠DMN， ∴DN≠DM. 综上所述，存在点M满足要求，此时AN的长为1或. {分值}11 {章节:[1-22-3]实际问题与二次函数} {难度:5－高难度} {类别:高度原创} {考点:代数综合}{考点:几何综合}