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第三章 圆,7 切线长定理,北师版 九年级 数学（下）,导入新课,A,B,O,如图，过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看,2条,过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.,A,B,PA、PB就是点P到O的切线长.,探究新知,探究,切线与切线长的区别与联系：,A,B,切线是一条与圆相切的直线.,切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长.,探究新知,探究,如图，PA、PB 是O的两条切线，A，B 是切点.（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,是轴对称图形，对称轴是直线 OP.,A,B,如图，PA、PB 是O的两条切线，A，B 是切点.,A,B,（2）在这个图中 你能找到相等的线段吗？说说你的理由.,PA=PB,该如何证明？,A,B,已知：如图，PA、PB 是O的两条切线，A，B 是切点.,求证：PA=PB.,证明：连接 OA，OB.PA，PB 是 O 的切线，PAO=PBO=90.在 RtPOA 和 RtPOB中，OA=OB，OP=OP，RtPOA RtPOB.PA=PB.,探究新知,探究,A,B,符号语言表达,PA、PB分别是O的切线，点A、B分别为切点，PA=PB.,切线长定理 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等.,你还知道这两个角是什么关系吗？,A,B,APO=BPO,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.,思考,PA、PB分别是O的切线，点A、B分别为切点，PA=PB，APO=BPO.,符号语言表达,探究新知,探究,如图，四边形 ABCD 的四条边都与O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？,E,F,G,H,结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.,即 ADBCABCD.,分析：设四边形ABCD的四条边分别与O相切于点E，F，G，H.,由过点A的切线可知_；由过点B的切线可知_；由过点C的切线可知_；由过点D的切线可知_；,AE,AH,BE,BF,CG,CF,DG,DH,应用举例,【例1】如图，在RtABC 中，C=90，AC=10，BC=24，O 是ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F，求O 的半径.,解：连接 OD，OE，OF，则 OD=OE=OF，设 OD=r.在 RtABC 中，AC=10，BC=24，,26,r,26,r,O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F，ODAB，OEBC，OFAC，BD=BE，AD=AF，CE=CF.又C=90，,四边形 OECF 为正方形.CE=CF=r.BE=24 r，AF=10 r.AB=BD+AD=BE+AF=34 2r.,而 AB=26，34 2r=26.r=4，即 O 的半径为 4.,【例2】如图，O内切于四边形ABCD，切点分别为E，F，G，H，且AB16，CD10，则四边形ABCD的周长为(),A50 B52 C54 D56,【方法指导】由切线长定理，可设AEx，DGy，则有AHx，DHy，BEBF16x，CFCG10y，则四边形ABCD的周长是ABBCCDDA(ABCD)(BCDA)(1610)(BFCF)(DHAH)(1610)(16x10y)(yx)262652.,B,课堂小结,切线长,切线长定理,作用,提供了证线段和角相等的新方法,辅助线,分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点.,三角形内切圆,运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.,应用,重要结论,只适合于直角三角形,(3)若AB9，BC15，AC12，则AF_，BD_，CE_,随堂练习,1如图，O是ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.,(1)图中共有_对相等线段；(2)若AF4，BD6，CE8，则ABC的周长是_；,3,36,3,6,9,2.已知O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm.过点P画O的两条切线，求这两条切线的切线长.,3.如图，PA和PB是O的两条切线，A，B是切点.C是 上任意一点，过点C画O的切线，分别交PA和PB于D，E两点 已知 PA=PB=5cm，求PDE的周长.,解：PA与PB分别切O于A,B两点,DE切O于点C，DA=DC,CE=EB.PDE的周长=PD+DE+EP=PD+DC+CE+EP=PD+DA+EB+EP=PA+PB.又PA=PB=5 cm,PDE的周长=25=10(cm).,4.如图，O是ABC的内切圆，D，E，F为切点，且 AB=9 cm，BC=14 cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.,解：由切线长定理知AE=AF,BF=BD,CE=CD.令AE=AF=x cm,BF=BD=y cm,CE=CD=z cm.AC=AE+CE,AB=AF+BF,BC=BD+CD,，解得关于x,y,z的三元一次方程组可得 AF=4 cm,BD=5 cm,CE=9 cm.,5.如图，PA和PB是O的两条切线，A，B为切点，P=40.点D在AB上，点E和点F分别在PB和 PA 上，且AD=BE，BD=AF，求EDF的度数.,解：如图所示,连接OA,OB.PA,PB切O于点A,B，PA=PB,BAP=ABP.又P=40,BAP=(180-P)=70.,