27.1.2 第2课时 垂径定理.pptx

27.1 圆的认识,第27章 圆,第2课时 垂径定理,2.圆的对称性,问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,情境引入,O,A,B,D,P,C,问题：如图，AB 是O 的一条弦，直径 CDAB，垂足为 P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?,线段：AP=BP,垂径定理及其推论,弧：,理由如下：把圆沿着直径CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AP 与BP 重合，和，与 重合,温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧.,CD 是O 的直径，CDAB，(条件),推导格式：,想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？,是,不是，因为没有垂直,是,不是，因为 CD 没有过圆心,A,B,O,E,A,B,D,C,O,E,A,B,O,C,D,E,垂径定理的几个基本图形：,归纳总结,如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧)结论与题设交换一条，命题是真命题吗？过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？,思考探索,举例证明其中一种组合方法.已知:求证：,CD 是直径,CDAB，垂足为 E,AE=BE,证明猜想,如图，AB 是O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AB 于点 E.(1)CDAB 吗？为什么？(2),O,A,B,C,D,E,解：(1)连接 AO、BO，则 AO=BO.,又 AE=BE，,AEO=BEO=90.,CDAB.,证明举例,AOEBOE(SSS).,(2)由垂径定理可得,与 相等吗？与 相等吗？为什么？,思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.,垂径定理的推论,圆的两条直径是互相平分的.,归纳总结,特别说明：,例1 如图，OEAB于 E，若O 的半径为 10 cm，OE=6 cm，则 AB=cm.,解析：连接 OA，OEAB，,AB=2AE=16 cm.,16,一,典例精析,例2 如图，O 的弦 AB8 cm，直径 CEAB 于 D，DC2 cm，求半径 OC 的长.,解：连接 OA，CEAB 于 D，,设OC=x cm，则 OD=x-2，根据勾股定理，得,解得 x=5.,即半径 OC 的长为 5 cm.,x2=42+(x-2)2，,证明：作直径 MNAB，如图.ABCD，MNCD.则=，=（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）.=.=.,例3 已知：O 中弦 ABCD，求证：=.,.,M,C,D,A,B,O,N,解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.,归纳总结,试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?,垂径定理的实际应用,解得 R 27.3.,即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m.,R2=(R-7.23)2+18.52，,解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD=7.23 m.,由垂径定理，得 AD=AB=18.5 m，设O 的半径为 R m.在 RtAOD 中，AO=R，OD=R-7.23，AD=18.5.由勾股定理，得,练一练：如图 1、2，一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为_cm.,2 或 12,指弧中点到弦的距离,在圆中有关弦长 a，半径 r，弦心距 d（圆心到弦的距离），弓形高 h 的计算题，常常通过连半径或作垂线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r之间有以下关系：,弓形中重要数量关系,d+h=r,1.已知O中，弦 AB=8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm.,5,2.O 的直径 AB=20 cm，BAC=30，则弦 AC=cm.,3.如图，在O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，ODAB 于 D，OEAC 于 E，求证：四边形 ADOE 是正方形,证明：ODAB，OEAC，ABAC，,四边形 ADOE 为矩形，,又 AC=AB，,AE=AD.,四边形 ADOE 为正方形.,OEA=EAD=ODA=90.,4.如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点.你认为 AC 和 BD 相等吗？为什么？,解：AC=BD.理由如下：过点 O 作 OEAB，垂足为 E.则 AE=BE，CE=DE.AECE=BEDE，即 AC=BD.,方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，这是一种常见辅助线的添法,解：连接 OC，如图.,根据勾股定理，得,5.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中的，点 O 是 的圆心)，其中 CD=600 m，E 为 上的一点，且 OECD，垂足为 F，EF=90 m.求这段弯路的半径.,则 OF=(R-90)m.OECD，CF=CD=300(m).,设这段弯路的半径为 R m，,解得 R=545.,这段弯路的半径约为 545 m.,拓展提升：如图，O 的直径为 10，弦 AB=8，P 为 AB 上的一个动点，那么 OP 长的取值范围.,3 OP5,垂径定理,