26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.pptx

26.3 实践与探索,第26章 二次函数,第2课时 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系,情境引入,问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2.,考虑以下问题：,(1)小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？,h=20t-5t2,二次函数与一元二次方程的关系,15,1,3,故当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m.,解：令 15=20t-5t2，整理，得 t2-4t+3=0，解得 t1=1，t2=3.,你能结合上图指出为什么在两个时间小球的高度为 15 m 吗？,(2)小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？,你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为 20 m 吗？,20,2,解：令 20=20t-5t2，整理，得 t2-4t+4=0，解得 t1=t2=2.,故当小球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m.,h=20t-5t2,解：令 20.5=20t-5t2，整理，得 t2-4t+4.1=0，因为=(-4)2-44.10，所以方程无解.故小球的飞行高度达不到 20.5 m.,(3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？,你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗?,20.5,h=20t-5t2,(4)小球从飞出到落地要用多少时间？,令 0=20t-5t2，整理，得 t2-4t=0，解得 t1=0，t2=4.,即当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m.,故小球从飞出到落地要用 4 s 时间.,h=20t-5t2,解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m，,从上面发现，二次函数 y=ax2+bx+c 何时为一元二次方程?,一般地，当因变量 y 取某一个确定值时，二次函数为一元二次方程.,为一个常数（确定值）,如：y=5 时，则 5=ax2+bx+c 就是一个一元二次方程.,所以二次函数与一元二次方程关系密切,例如，已知二次函数 y=x24x 的值为 3，求对应的自变量 x 的值，可以通过解一元二次方程x24x=3（即 x24x3=0）得到,反过来，解方程 x24x3=0 又可以看作已知二次函数 y=x24x3 的值为 0，求自变量 x 的值,思考 观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？当 x 取交点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.,利用二次函数深入探讨一元二次方程,观察图象，完成下表：,0 个,1 个,2 个,x2-x+1=0,无解,3,x2-6x+9=0,x1=x2=3,-2，1,x2+x-2=0,x1=-2,x2=1,有两个交点,有两个不相等的实数根,b2-4ac0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac=0,没有交点,没有实数根,b2-4ac0,知识要点,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点情况与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的关系,例1 已知关于 x 的二次函数 ymx2(m2)x2(m 0).(1)求证：此抛物线与 x 轴总有交点；,证明：对于一元二次方程 mx2(m2)x20(m 0)，(m2)24m2m24m48m(m2)20，一元二次方程 mx2(m2)x20 一定有两个根.抛物线 ymx2(m2)x2(m 0)与 x 轴总有公共点.,解：令 y0，则(x1)(mx2)0，x10 或 mx20，解得 x11，x2.当正整数 m=1 时，x2 为整数且 x1x2，即抛物线与 x 轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数.正整数 m 的值为 1.,例2 已知关于 x 的二次函数 ymx2(m2)x2(m 0).(2)若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值,变式 已知抛物线 yx2axa2.(1)求证：不论 a 取何值，抛物线 yx2axa2 与 x 轴都有两个交点；(2)设这个抛物线与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1、x2 的平方和为 3，求 a 的值,(1)证明：a24(a2)(a2)240，不论 a 取何值，抛物线 yx2axa2 与 x 轴都有两个交点.(2)解：依题意知 x1x2a，x1x2a2，x12x22(x1x2)22x1x2a22a43.a1.,例2 用图象法求一元二次方程 x+2x-1=0 的近似解(精确到 0.1).,分析：一元二次方程 x+2x-1=0 的根就是抛物线 y=x+2x-1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.,利用二次函数求一元二次方程的近似解,解：画出函数 y=x+2x-1 的图象(如图)，由图象可知，方程 x+2x-1=0 有两个实数根，一个在-3 与-2 之间，另一个在 0 与 1 之间.,先求位于-3 到-2 之间的根，由图象可估计这个根是-2.5 或-2.4，利用计算器进行探索，见下表：,观察上表可以发现，当 x 分别取-2.5 和-2.4 时，对应的 y 由正变负，可见在-2.5 和-2.4 之间肯定有一个 x 使 y=0，即有方程 x2-2x-1=0 的一个根.题目只要求精确到 0.1，这时取 x=-2.5 和 x=-2.4 作为根都符合要求.但当 x=-2.4 时 y 更接近 0，故 x1-2.4.同理可得另一近似根为 x20.4.,一元二次方程的图象解法,利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.,(1)用描点法作出二次函数的图象；,(2)观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标；,由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围(可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似根).,(3)确定方程的解.,由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解.,解析：由图象可得该抛物线的对称轴为 x1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点到原点的距离约为 0.5，x20.5.又 对称轴为 x1，1.x12(1)0.52.5.故选 B.,例3 已知二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2bxc0 的近似根为()Ax12.1，x20.1 Bx12.5，x20.5Cx12.9，x20.9 Dx13，x21,B,解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确,一元二次方程 ax2+bx+c=m 的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 与直线 y=m(m 是实数)图象交点的横坐标.,既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.,二次函数与一元二次不等式的关系,问题1 函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，那么方程 ax2+bx+c=0 的根是；不等式 ax2+bx+c 0 的解集是_；不等式 ax2+bx+c 0 的解集是_.,x1=1，x2=3,x 3,1 x 3,合作探究,拓广探索：,函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，那么方程 ax2+bx+c=2 的根是_；不等式 ax2+bx+c 2 的解集是_；不等式 ax2+bx+c 2 的解集是_.,O,x,2,(4，2),(2，2),x1=2，x2=4,x 4,2 x 4,y,问题2 如果不等式 ax2+bx+c0(a 0)的解集是 x 2 的一切实数，那么函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有_ 个交点，坐标是.方程 ax2+bx+c=0 的根是.,1,(2，0),x1=x2=2,2,O,x,y,问题3(1)如果方程 ax2+bx+c=0(a0)没有实数根，那么函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有_个交点；(2)不等式 ax2+bx+c0 的解集是什么？,0,解：(1)当 a0 时，ax2+bx+c0 无解.,(2)a0 时，ax2+bx+c0 的解集 是一切实数.,试一试：利用函数图象解下列方程和不等式：,(1)-x2+x+2=0；-x2+x+20；-x2+x+20.,(2)x2-4x+4=0；x2-4x+40；x2-4x+40.,(3)-x2+x-2=0；-x2+x-20；-x2+x-20.,y=x2-4x+4,y=-x2+x-2,x1=-1，x2=2,x-1或 x2,x1=x2=2,x 2,无解,无解,无解,x 为全体实数,-1x2,有两个公共点(x1，0)，(x2，0)(x1x2),有一个公共点(x0，0),没有公共点,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系,y0，x1xx2；y0，xx1或xx2.,y0，x1xx2；y0，xx1或xx2.,y0，x0之外的所有实数；y0，无解.,y0，x0之外的所有实数；y0，无解.,y0，所有实数；y0，无解.,y0，全体实数；y0，无解.,知识要点,判断方程 ax2+bx+c=0(a 0，a，b，c 为常数)的一个解 x 的范围是()A.3x3.23 B.3.23x3.24 C.3.24x3.25 D.3.25x3.26,C,1.根据下列表格的对应值：,2.若二次函数 y=-x2+2x+k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程-x2+2x+k=0 的一个解 x1=3，则另一个解 x2=.,-1,3.一元二次方程 3x2+x-10=0 的两个根是 x1=-2，x2=，那么二次函数 y=3x2+x-10 与 x 轴的交点坐标是.,(-2，0)和(，0),4.若一元二次方程 无实根，则抛物线 的图象位于()A.x 轴上方 B.第一、二、三象限C.x 轴下方 D.第二、三、四象限,A,5.已知函数 y(k3)x22x1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围,解：当 k3 时，函数 y2x1，是一次函数 直线 y2x1 与 x 轴有一个交点，k3 符合题意.当 k 3 时，函数 y(k3)x22x1，是二次函数 二次函数 y(k3)x22x1 的图象与 x 轴有公共点，224(k3)4k160，即 k4 且 k 3.综上所述，k 的取值范围是 k4.,x2,x1,x,y,O,O,b2-4ac0,b2-4ac0,b2-4ac0,x1，x2,x1=x2=,没有实数根,xx1 或 xx2,x x1的一切实数,