16.1 第1课时 二次根式的概念.pptx

16.1 二次根式,第1课时 二次根式的概念,第16章 二次根式,下面来看某运动员在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.,情景引入,通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的面部特征，那么数学的特征是什么呢？,“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”中科院数学与系统科学研究院 李邦河,复习引入,问题1 什么叫做平方根?,一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.,问题2 什么叫做算术平方根?怎么表示它？,如果 x2=a(x0)，那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示.,问题3 什么数有算术平方根?,非负数.,思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？,(1)如图的海报为正方形，若面积为 2 m2，则边长为_m；若面积为 S m2，则边长为_m,(2)如图的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_m,图,图,(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下的高度 h（单位：m）满足关系 h=5t2，如果用含有 h 的式子表示 t，那么 t 为,_,问题1 这些式子分别表示什么意义？,分别表示 2，S，3，的算术平方根,上面问题中，得到的结果分别是：，,根指数都为 2；,被开方数为非负数.,问题2 这些式子有什么共同特征？,二次根式的概念及有意义的条件,归纳总结,一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.,注意：a 可以是数，也可以是式.,例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？,解：,(1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2+1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.,是否含二次根号,被开方数是不是非负数,二次根式,不是二次根式,是,是,否,否,分析：,典例精析,例2 当 x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义?,解：由 x-20，得,x2.,故当 x2 时，在实数范围内有意义.,【变式题1】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,解：由题意得 x-10，,x1.,解：被开方数需大于或等于零，3+x0，x-3.分母不能等于零，x-1 0，x 1.x-3 且 x 1.,要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.,【变式题2】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,解：(1)无论 x 为何实数，当 x=1 时，在实数范围内有意义.(2)无论 x 为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-20，无论 x 为何实数，在实数范围内都无意义.,被开方式是多项式时，需要对多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.,(2)多个二次根式相加(如)有意义的 条件：,(3)二次根式作为分式的分母(如)有意义的条件：A0；,(4)二次根式与分式的和差(如)有意义的条件：A0 且 B 0.,归纳总结,(1)单个二次根式如 有意义的条件：A0；,1.下列各式：.一定是二次根式的有（）,A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个,B,2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值 范围是_；,(2)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的 取值范围是_.,x 1,x 0 且 x 2,练一练,问题1 当 x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？,前者 x 为任意实数，后者 x 为非负数.,当 a0 时，表示 a 的算术平方根，因此 0；当 a=0 时，表示 0 的算术平方根，因此=0.这就是说，当 a0 时，0.,问题2 对于非负式 a，它的算术平方根，即二次根式 的取值范围是什么？,二次根式的双重非负性,二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：,二次根式的被开方数或式非负,二次根式的值非负,二次根式的双重非负性,归纳总结,例3 若，求 a-b+c 的值.,解：,由题意可知 a-2=0，b-3=0，c-4=0，解得 a=2，b=3，c=4.,所以 a-b+c=2-3+4=3.,若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式及二次根式.,典例精析,例4 已知 y=，求 3x+2y 的算术平方根.,解：由题意得 x=3 y=8 3x+2y=33+28=25 3x+2y 的算术平方根为 5,【变式题】已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，b 满足，求此三角形的周长,解：由题意得 a=3.b=4.当 a 为腰长时，三角形的周长为 3+3+4=10；当 b 为腰长时，三角形的周长为 4+4+3=11,若，则根据被开方式大于或等于 0，可得 a=0，y=b.,已知|3x-y-1|和 互为相反数，求 x+4y 的平方根,解：由题意得 3x-y-1=0 且 2x+y-4=0解得 x=1，y=2 x+4y=1+24=9.x+4y 的平方根为3.,练一练,2.式子 有意义的条件是（）,A.x2 B.x2 C.x2 D.x2,3.当 x=_时，二次根式 取最小值，其最小 值为_,1.下列式子中，不属于二次根式的是（）,C,A,-1,0,4.当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?,5.(1)若二次根式 有意义，求 m 的取值范围；,解：由题意得 m-20 且 m2-4 0，解得 m2，且 m-2，且 m 2，m2,(2)无论 x 取任何实数，代数式 都有意义，求 m 的取值范围,解：由题意得 x2+6x+m0 对任意实数 x 恒成立，即(x+3)2+m-90 对任意实数 x 恒成立.(x+3)20，m-90，即 m9.,6.若 x，y 是实数，且 y，求 的值.,解：根据题意得 x=1.y，y.,7.先阅读，后回答问题：当 x 为何值时，有意义？解：由题意得 x(x-1)0，由乘法法则得解得 x1 或 x0.即当 x1 或 x0 时，有意义.,能力提升：,体会解题思想后，试着解答：当 x 为何值时，有意义？,解：由题意得则 解得 x2 或 x 即当 x2 或 x 时，有意义,二次根式,定义,带有二次根号,在有意义条件下求字母的取值范围,抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.,被开方数为非负数,二次根式的双重非负性,二次根式 中,a0且 0,