27.2.3 第2课时 切线的性质.docx

1．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明(重点，难点)； 2．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．(难点)； 一、情境导入 约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？ 二、合作探究 探究点：切线的性质 【类型一】 切线的性质的运用 如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC的度数为(　　) A．20° B．35° C．55° D．70° 解析：如图，连接OD.∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°.∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.故选A. 方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．解题时要注意运用切线的性质，注意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想． 【类型二】 利用切线的性质进行证明和计算 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝，求⊙O的半径． 解析：（1）由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，那么AC=AP；根据已知条件我们不难得出∠CAB=∠PAO=90°，这样就凑齐了角边角，那么两三角形就全等了；（2）在Rt△AOP中解直角三角形易得出OA的长,即为⊙O的半径. (1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，∴∠C=30°=∠P，∴AC=AP.又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AC＝AP，∠C＝∠P，∴△ACB≌△APO； (2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝，∴AO＝1，即⊙O的半径为1. 方法总结：运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已知条件，构造出等量关系求解． 【类型三】 切线的性质与判定的综合应用 如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且＝＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD＝2，求⊙O的半径． 解析：(1)连接OC，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD＝∠B，再根据等量代换得到∠ACO＋∠ACD＝90°，从而证明CD是⊙O的切线；(2)由＝＝推得∠DAC＝∠BAC＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AC的长，进而求得⊙O的半径． (1)证明：连接OC、BC.∵＝，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线； (2)解：∵＝＝，∴∠DAC＝∠BAC＝30°.∵CD⊥AF，CD＝2，∴AC＝4.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O的半径为4. 方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”，然后利用切线的性质构造直角三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长． 三、板书设计 教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一个逐层深入的过程．因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生能更全面的掌握知识.