第14章 全等三角形 单元 ·小结.doc

湖北鸿鹄志文化传媒有限公司 第14章 全等三角形 单元 ·小结 一、选择题 1．下列选项中表示两个全等的图形的是(　　) A．形状相同的两个图形 B．周长相等的两个图形 C．面积相等的两个图形 D．能够完全重合的两个图形 2．如图，△ABC≌△EFD，且AB＝EF，CE＝3.5，CD＝3，则AC等于(　　) A．3 B．3.5 C．6.5 D．5 3．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是120°，那么在△ABC中与这个120°的角对应相等的角是(　　) A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C 4．如图，已知∠ADB＝∠ADC，欲证△ABD≌△ACD，还必须从下列选项中选一个补充条件，则错误的选项是(　　) A．∠BAD＝∠CAD B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AB＝AC (第2题) 　　　(第4题) 　　　(第6题) 　　　(第7题) 5．如果△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100 cm，A，B分别与D，E对应，AB＝30 cm，DF＝25 cm，则BC的长为(　　) A．45 cm B．55 cm C．30 cm D．25 cm 6．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为(　　) A．(－，1) B．(－1，) C．(，1) D．(－，－1) 7．(2015·绍兴)如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是(　　) A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 8．如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD的交点为C，则图中全等三角形共有(　　) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 9．如图，是一个4×4的正方形网格，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7等于(　　) A．585° B．540° C．270° D．315° (第8题) 　　　　(第9题) 　　　　(第10题) 10．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论中正确的是(　　) ①△BCD为等腰三角形；②BF＝AC；③CE＝BF；④BH＝CE. A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB、CD，且∠B＝∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是__________(只填一个即可)． 12．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，则当AP＝________时，△ABC和△APQ全等． (第11题) 　　　(第12题) 　　　(第13题) 　　　(第14题) 13．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，∠B＝50°.现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为________． 14．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是____________． 三、解答题(15～17题每题6分，22题10分，其余每题8分，共60分) 15．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G. 求证：△ADE≌△CFE. (第15题) 16．(2015·重庆A卷)如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB＝FE，BC＝DE，∠B＝∠E.求证：∠ADB＝∠FCE. (第16题) [来源:Zxxk.Com] 17．如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线，一轮船离开码头，计划沿∠ADB的平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由． (第17题) 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，点E在BC边上，且CE＝CD，AE＝BD. (1)求证：△ACE≌△BCD； (2)若∠CAE＝25°，求∠BDE的度数． (第18题) 19．如图，已知正方形ABCD，从顶点A引两条射线分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝45°，求证：BE＋DF＝EF. (第19题) 20．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图中找三对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明． (第20题) 21．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD＝CD. 求证：BE＝CF. (第21题) 22．如图(1)，点A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作ED⊥AC，FB⊥AC，AB＝CD. (1)若BD与EF交于点G，试证明BD平分EF. (2)若将△DEC沿AC方向移动到图(2)的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (第22题) 答案 一、1.D　2.C　3.A　4.D　5.A　6.A　7.D　8.C　9.A 10．C　点拨：①由∠ABC＝45°，CD⊥AB，得△BCD为等腰三角形．②利用ASA判定Rt△DFB≌△DAC，从而得出FB＝AC.③利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出AE＝CE＝AC，又因为BF＝AC，所以CE＝AC＝BF. 二、11.OB＝OD(或AO＝CO或AB＝CD) 12．5 cm或10 cm　13.80° 14．2<AD<10　点拨：本题运用了转化思想，通过倍长中线法，把三条线段转化到同一个三角形中，然后利用三边关系求解． 延长AD到E，使DE＝AD，连接BE. 因为AD是BC边上的中线， 所以BD＝CD. 在△ADC和△EDB中， 所以△ADC≌△EDB(SAS)．所以AC＝EB＝8. 在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE， 所以12－8＜2AD＜12＋8. 所以2＜AD＜10.故答案为2＜AD＜10. 三、15.证明：∵AB∥FC，∴∠A＝∠FCE.在△ADE和△CFE中， ∴△ADE≌△CFE(AAS)． 16．证明：∵BC＝DE，∴BC＋CD＝DE＋CD，即BD＝CE.又∵∠B＝∠E，AB＝FE，∴△ABD≌△FEC(SAS)， ∴∠ADB＝∠FCE. 17．解：轮船航行没有偏离指定航线．理由如下： 由题意知DA＝DB，AC＝BC. 在△ADC和△BDC中， 所以△ADC≌△BDC(SSS)．[来源:学科网ZXXK] 所以∠ADC＝∠BDC，即DC为∠ADB的平分线． 所以轮船航行没有偏离指定航线． 18．(1)证明：∵∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点， ∴∠BCD＝90°. 在Rt△ACE和Rt△BCD中， ∴Rt△ACE≌Rt△BCD(HL)． (2)解：∵Rt△ACE≌△Rt△BCD，∴∠CAE＝∠CBD＝25°.∵CE＝CD，∠BCD＝90°，∴∠EDC＝∠DEC＝45°.∴∠BDC＝90°－∠CBD＝65°，∴∠BDE＝∠BDC－∠EDC＝65°－45°＝20°. 19．证明：延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG. 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°， 所以∠ADG＝∠B.[来源:Z。xx。k.Com] 在△ABE和△ADG中， 所以△ABE≌△ADG(SAS)．所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.因为∠EAF＝45°， 所以∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°. 所以∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△AGF中， 所以△AEF≌△AGF(SAS)．所以EF＝GF. 所以EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF， 即BE＋DF＝EF. 20．解：△BCF≌△CBD，△BHF≌△CHD，△BDA≌△CFA(注意答案不唯一)；选择△BCF≌△CBD进行证明，证明：∵∠ABC＝∠ACB，BD、CF是△ABC的角平分线，∴∠BCF＝∠BCD，∠CBD＝∠ABC，∴∠BCF＝∠CBD，又∵BC＝CB，∴△BCF≌△CBD(ASA)． 21．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠DAF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°. 又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF(AAS)， ∴DE＝DF. 又∵BD＝CD，∠E＝∠DFC＝90°，∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，∴BE＝CF. 22．(1)证明：因为ED⊥AC，FB⊥AC， 所以∠DEG＝∠BFE＝90°. 因为AE＝CF，所以AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， 所以Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)． 所以BF＝DE. 在△BFG和△DEG中， 所以△BFG≌△DEG(AAS)．所以FG＝EG， 即BD平分EF. (2)解：BD平分EF的结论仍然成立． 理由：因为AE＝CF，FE＝EF，所以AF＝CE. 因为ED⊥AC，FB⊥AC，所以∠AFB＝∠CED＝90°. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， 所以Rt△ABF≌Rt△CDE.所以BF＝DE. 在△BFG和△DEG中， 所以△BFG≌△DEG.所以GF＝GE，即BD平分EF，结论仍然成立． 点拨：本题综合考查了三角形全等的判定方法，注意AAA，SSA不能判定两个三角形全等． (1)先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF＝DE；再利用AAS判定△BFG≌△DEG，从而得出FG＝EG，即BD平分EF. (2)中结论仍然成立，证明过程同(1)类似.