八年级上数学浙教版 2.7 探索勾股定理.docx

2.7 探索勾股定理（1） 〖教学目标〗 1、知识与技能： a 掌握勾股定理 b 通过勾股定理进行一些简单的计算 c 运用勾股定理进行一些简单的推理，解决生活中的一些小问题 2、过程与方法： 通过“探究—验证—应用”等环节让学生动手操作，体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，并培养学生探究能力，发展学生数形结合的数学思想方法。 3、情感与态度： 通过引导学生动手操作、观察发现、大胆猜想、自主探究、合作交流，激发学生的探究欲，培养学生分析、归纳、总结的能力和独立思考的习惯，使学生获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣；养成探索数学内在规律的精神，并培养学生的爱国主义情怀。 4、问题与解决： 学会用勾股定理解决简单的几何问题． 〖教学重点与难点〗 教学重点：本节的重点是勾股定理. 教学难点：勾股定理的证明采用了面积法，这是学生从未体验的，是本节教学的难点. 〖教学过程〗 一、 阅读与思考 1、 阅读： 如图1，阅读课本74页作业题最后一题： （图1） 2、 思考： 如图2，在单位1的正方形网格中，以下每个正方形的面积是多少？与同伴说说你是怎样求C的面积的。 (1)SA= SB= SC= (2)SA= SB= SC= (3)SA= SB= SC= 写出SA ，SB ，SC三者的数量关系： 用文字语言表述为： . (以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积) （图2） （图3） 二、 发现与归纳 1、发现： 如图3，如果用a,b,c分别表示三个正方形边长，由三个正方形所搭成的直角三角形DEF三边存在怎样的关系？ SA，SB，SC之间关系: 猜想a,b,c之间关系： 如图4：在Rt△ABC中， ∠C=90，AB=5，BC=4,则AC= 。 2、归纳： 通过以上过程，你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ 用语言描述为____________________________________________________. 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的“勾股定理”. 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c.那么. 符号语言：在△ABC中，∠BCA=90°，a、b为两直角边, 斜边为c， 那么： （） （知识链接：在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.这是商高发现的“勾股定理”。因此在中国，勾股定理又称“商高定理”，在西方国家，勾股定理又称“毕达哥定理”。但毕达哥发现这一定理的时间要比商高迟得多，可见我国古代人民对人类做出的杰出贡献。） 3、证明：小组合作活动 （1）阅读书本第76页“合作学习”，如图5。 （图5） （2）拼一拼：如图6，给出四个全等的直角三角形，能用这四个三角形纸片，围出一个正方形吗? （图6） （图7） （2）如图7，所拼凑出的图形可以看出，这个大的正方形是由四个直角三角形和一个小的正方形所构成的，所以 S大正方形=S小正方形+4×S直角三角形 （3）如何用公式表达？ 即： （4）补充问： a b c 4个 a c b b a c c c c b a a-b a-b a b c 4个 （图8） 如果用S小正方形=S大正方形-4×S直角三角形的关系式，能得到我们要的结果吗？同学们课后有兴趣可以试试看。（如图8） A B 40 90 160 40 三、问题与解决 1、课本第76页， 例1、已知在△ABC中,∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=C （1）若a=1, b=2,求c; （2）若a=15, c=17,求b; （图9） 巩固练习：课本第76页课内练习1 2、例2、 如图9：是一个长方形零件图,根据所给的尺寸，求两孔中心A、B之间的距离。 巩固练习：课本第77页作业题5 3、例3、利用作直角三角形，在数轴上表示点 。 巩固练习：课本第77页作业题2[来源:学。科。网Z。X。X。K] 3、 下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段, 现在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方案? 四、总结与反思 1、引导学生小结，反馈信息学生谈体会； 2、教师小结，思维提升： （1）用面积法来验证勾股定理，你还有其他方法吗？如图10，课后去思考。 剪出四个全等的直角三角形，再拼成一个正方形，然后再利用面积法证明勾股定理，你还能拼出另外的图形（直角三角形可以不用完）来验证勾股定理吗？请画图简要证明。 c a b （图10） （2）从引入问题——画图——转化为已知直角边求斜边。 可以做拼图游戏（每两人为一组预先发下一个信封，内装8个全等的直角三角形和三个大小不等的正方形，如图11），要求：拼成既无缝隙又不重叠的两个正方形。 （图11） （图12） 发现猜想：拼成的正方形面积应该相等，在前两个图中，把4个全等的三角形都拿走，得下图12。 发现：大正方形面积等于两个小正方形面积之和，即 五、拓展与提升 1、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2的距离为2，l2，l3的距离为3，则AC的长为 ． 2.在直角三角形ABC中，AB=5,BC=12,将三角形沿AD折叠，使B落在斜边AC上，求CD的长。 [来源:学科网ZXXK] 3、印度数学家什迦逻（1141年-1225年？） 曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 4、如图， 为数轴原点，， 两点分别对应 ，，作腰长为 的等腰 ，连接 ，以 为圆心， 长为半径画弧交数轴于点 ，则点 对应的实数为  ． 5、在每个小正方形的边长为 的网格中，点 ，，， 均在格点上，点 ， 分别为线段 ， 上的动点，且 ． （1）如图 ①，当 时，计算 的值等于  ； （2）当 的值取得最小时，请在图 ② 的网格中，用无刻度的直尺画出线段 或 ． 6、（2016•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2016•烟台）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为______． 8.中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元 世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图 1）．图 2 由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别记为 ，，，若 ，则正方形 的面积为 A. B. C. D. 9．已知△ABC中，AB=AC． （1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE； （2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长； （3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．