九上数学冀教版 28.4 垂径定理.docx

28.4 垂径定理* 一、教学目标 知识目标 1.理解垂径定理的证明过程,掌握垂径定理及其推论. 2.会用垂径定理进行简单的证明和计算. 3.了解直径、弦、弧之间的特殊关系. 能力目标 1.通过探索垂径定理的过程,培养学生动手实践、观察分析、逻辑思维和归纳概括的能力. 2.让学生经历“实验——观察——猜想——验证——归纳”的探究过程,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力. 3.通过本节课的学习,发展学生的数学思维,让学生体验数学来源于生活又应用于生活. 情感与价值观目标 1.通过探究垂径定理的活动,激发学生探究、发现数学问题的兴趣,培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质. 2.培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验. 3.经历将已学知识应用到未学知识的探索过程,激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 二、教学重点 难点 重点　垂径定理及其应用. 难点　探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题. 三、教学过程 复习提问: 1.什么是轴对称图形? 2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 3.你是用什么方法解决上述问题的? 4.直径是圆的对称轴正确吗? 师生共同归纳:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线(或直径所在的直线). 设计意图　通过生活实际问题导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活.通过复习旧知识和创设动手操作活动,激发学生学习兴趣,探索圆的对称性,引出本节内容,为本节课的学习做好铺垫. 学习新知 知识点1、垂径定理 教师引导操作、思考、回答: 在自己课前准备的纸片上作图: 1.任意作一条弦AB. 2.过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E. 3.观察图形,你能找到哪些线段相等?哪些弧相等? 4.沿着CD所在的直线折叠,观察有哪些相等的线段、弧. 5.图形中的已知是什么?你得到的结论是什么?你能写出你的证明过程吗? 6.你能用语言叙述这个命题吗? 7.你得到的结论怎样用几何语言表示? 　如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.求证AE=BE,AD=BD,AC=BC. 证明:如图所示,连接OA,OB. 在△OAB中, ∵OA=OB,OE⊥AB, ∴AE=BE,∠AOE=∠BOE. ∴AD=BD. ∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE, ∴∠AOC=∠BOC. ∴AC=BC. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 几何语言: ∵如上图所示,在☉O中,CD为直径,CD⊥AB, ∴AE=BE,AD=BD,AC=BC. 设计意图　通过学生动手操作、观察、分析、交流,教师引导归纳出垂直于弦的直径的性质,经历知识的形成过程,培养学生观察能力和归纳概括能力,提高分析问题、解决问题的能力,同时感受圆的对称美. 知识点2、垂径定理的推论 如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E. 思考 (1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?AD与BD(或AC与BC)相等吗?说明你的理由. (2)若AD=BD(或AC=BC),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由. 解:(1)CD⊥AB,AD=BD(或AC=BC). 理由是:连接OA,OB,如图所示,则△OAB是等腰三角形, ∵AE=BE,∴CD⊥AB. 由垂径定理可得AD=BD,AC=BC. (2)CD⊥AB,AE=BE. 理由是:连接OA,OB,如图所示, ∵AD=BD,∴∠AOD=∠BOD, 又∵OA=OB,OE=OE,∴△AEO≌△BEO, ∴∠AEO=∠BEO,AE=BE, ∴CD⊥AB. 追加思考: (1)垂径定理中的条件和结论分别是什么?用语言叙述. (2)上面思考(1)(2)中的条件和结论分别是什么? (3)如果不要求“弦不是直径”上述结论还成立吗? 在☉O中,设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE=BE,CD⊥AB,AD=BD中的一项作为条件,则可得到另外两项结论. 设计意图　通过教师提出的问题,学生合作交流,共同分析解答,提高学生合作意识,加深对垂径定理的理解和记忆,通过追加思考,师生共同分析得出垂径定理中五个条件:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧中,以其中两个为条件,可以得到其他三个结论. 三、例题讲解 例1、如图所示,已知CD为☉O的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长. 教师引导思考: 1.如何把圆的半径转化为三角形中的线段? (连接半径,构造直角三角形) 2.构造的直角三角形中三边之间有什么特点? (根据垂径定理得三角形一边是弦长的一半,另两边的长正好相差ED长) 3.直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系,如何求另两边长? (设未知数,用勾股定理列方程求解) 解:如图所示,连接OA. 设☉O的半径为r. ∵CD为☉O的直径,AB⊥CD, ∴AE=BE. ∵AB=8, ∴AE=BE=4. 在Rt△OAE中, OA2=OE2+AE2,OE=OD-ED, 即r2=(r-2)2+42. 解得r=5,从而2r=10. 所以直径CD的长为10. 设计意图　以问题的形式,教师引导,师生共同分析解决,降低了例题的难度,体会方程思想在数学中的应用,同时掌握一类题型的解题方法,应用垂径定理计算时,常作辅助线构造直角三角形,体会数形结合思想在解题中的应用,提高学生分析问题的能力. 知识拓展　 1.由垂径定理可以得到以下结论: (1)若直径垂直于弦,则直径平分弦及其所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)垂直且平分一条弦的弦是直径. (4)连接弦所对的两条弧的中点的线段是直径. 综上所述,可以知道在①过圆心,②垂直于弦,③平分弦,④平分弦所对的劣弧,⑤平分弦所对的优弧这五项中满足其中任意两项,就可以推出另外三项,简称“5.2.3”定理. 2.利用垂径定理及其推论可以证明平分弧、平分弦,证明垂直,证明一条线段是直径. 3.利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置:在圆中找两条不平行的弦,分别作两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即是圆心. 4.由于垂直于弦的直径平分弦,因此可以在圆中构造直角三角形,利用勾股定理列方程求弦长(或半径). 5.圆心到弦的距离叫做弦心距. 四、课堂小结 1.垂径定理和推论及它们的应用. 2.垂径定理和勾股定理相结合,将圆的问题转化为直角三角形问题. 3.圆中常作辅助线连半径、过圆心作弦的垂线. 五、布置作业 教材第165页习题A组第1,2,3题. 教材第166页习题B组第1,2题. 六、课后反思