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5.5 确定二次函数的表达式 教学目标 【知识与能力】 1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题． 2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究． 3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点． 【过程与方法】 1．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力． 2．通过对二次函数的三种表示方式的特点进行研究，训练大家的求同求异思维． 【情感态度价值观】 1．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史 发展的作 用，同时激发他们学习数学的兴趣． 2．初步学会从数 学的角度提出问题、理解问题， 并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识． 教学重难点 【教学重点】 能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题． 能够根据二次 函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究． 【教学难点】 能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题． 课前准备 无 教学过程 Ⅰ. 创设问题情境，引入新课 [师]函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广 告牌上这样写着：一种豆子的售价与购买数量之间的关系如下： x(千克) 0 0．5 1 1．5 2 2．5 3 y(元) 0 121世纪教育网 2 3 4 5 6 这是售货员为了便于计价，常常制作这种表示售价与数量关系的表，即用表格表示函数．用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好? Ⅱ．新课讲解 一、试一试 长方形的周长为20 cm，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．y随x变化而变化的规律是什么?你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗? (1)用函数表达式表示：y= . (2)用表格表示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-x y (3)用图象表示： [师]请大家互相交流． [生](1)一边长为x cm，则另一边长为(10-x)cm，所以面积为： y＝x(10-x)=-x2+10x (2)表中第二行从左至 右依次填9、8、7、6、5、21世纪教育网 4、3、2、1；第三行从左至 右依次填9、16、21、24、25、 24、21、16、9. (3)图象如右图． [师]大家可能注意到了函数的图象在第一象限．可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢? [生]因为自变量的取值只取到了1至9，而这些点正好都在第一象限，所以图象只能画在第一象限． [师]大家同意这种说法吗? [生]不同意．不是因为列表中自变量的取值的原因，而是由于实际情况．函数值y是面积，而面积是不能为负值的．如果脱离了实际问题，单纯地画函数y=-x2+10x的图象，就不是在第一象限作图象了． [师]非常棒． 二、议一议 (1)在上述问题中，自变量x的取值范围是什么? (2)当x取何值时，长方形的面积最大?它的最大面积是多少?你是怎样得到的?请你描述一下y随x的变化而变化的情况． [师]自变量x的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围．请大家互相交流． [生](1)因为x是边长，所以x应取正数，即x>0，又另一边长(10-x)也应大于0，即10-x>0，所以x<10，这两个条件应该同时满足，所以x的取值范围是0<x<10． (2)当x取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y＝-x2+10x化成顶点式．当x＝-时，函数y有最大值. ∴y=-x2+10x=-x2+10x=-(x2-10x) =-(x2-10x+25-25) =-(x-5)2+25． ∴当x=5时，长方形的面积最大，最大面积是25 cm2． 可以通过观察图象得知． 也可以代入顶点坐标公式中求得． 当x=-=5时，y最大==25cm2. 当x由1至5逐渐增大时，y的值逐渐增大，当x由5至10逐渐增大时，y的值逐渐减小。 [师]回答得棒极了． 这是一个实际问题，面积y为边长x的二次函数，求当x取何值时，长方形的面积最大．实际上就是求二次函数的最值，描述y随x的变化而变化的情况，就是以对称轴为分界线，一边为y随x的增大而减小，另一边是y随x的增大而增大． 三、做一做 两个数相差2，设其中较大的一个数为x，那么它们的积y是如何随x的变化而变化的?你能分别用函数表示式、表格和图象表示这种变化吗? 1．用函数表达式表示：y＝ . 2．用表格表示： x y 3．用图象表示： 4．根据以上三种表示方式问答下列问题： (1)白变量x的取值范围是什么? (2)图象的对称轴和顶点坐标分别是什么? (3)如何描述y随x的变化而变化的情况? (4)你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的? [师]请大家互相交流． [生]解：1．因为较大的一个数为x，那么较小的数为(x-2)，则积y=x(x-2)＝x2-2x所以函数的表达式为y＝x2-2x． 2.21世纪教育网 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y 15 8 3 0 -1 0 3 8 15 3．图象如右图． 4．(1)因为数可以 是正数、负数和零，所 以x的取值范围为任何 实数． (2)y=x2-2x=(x2-2x +1)-1＝(x-1)2-1． 因此图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1．-1)． (3)因为开口向上，对称轴x=1，所以在对称轴左侧．即x<1时，y的值随x值的增大而减小；在对称轴右侧，即x>1时，y的值随x值的增大而增大． (4)通过观察图象可知． 四、议一议 二次函数的三种表示方式有什么特点?它们之间有什么联系?与同伴进行交流．[来 [生]表格可以直观地找到对应点，图象就是把一对一对的对应点连接起来的，表达式反映出函数与自变量之间的关系． 它们之间的联系是：根据表达式可以求得一对一对的对应点，用光滑的曲线把对应点连接起来即为图象． [师]很好．下面我们来更系统地学习它们各自的特点及联系． 函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系．这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不同的需要． 它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方式表示． Ⅲ：课堂练习 1．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗?第6个图形中应该有多少个小圆圈?为什么? (2)完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 小圆圈的总数 (3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么? 解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此第6个图形应该有21个小圆圈． (2)从左至右应填1，3，6．10，15． (3)m=. Ⅳ．课时小结 本节课我们经历了用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会了三种方式之间的联系与各自不同的特点．根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行了研究．如最值问题和y随x的变化而变化等问题． Ⅴ．课后作业 习题2．6 Ⅵ. 活动与探究 2．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个圆圈吗？为什么? (2)完成下表； 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 小圆圈的总数 21世纪教育网 (3)如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么? 解：(1)第1个图形中有1个小圆圈． 第2个图形中有1+6=7个小圆圈． 第3个图形中有7+2×6=19个小圆圈． 第4个图形中有19+3×6＝37个小圆圈． (2)从左至右填1．7，19，37，61． (3)m＝6×+1＝3n2-3n+1． - 5 -