26.3 第3课时 二次函数与一元二次方程的联系.docx

1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．（重点） 2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．（重点） 3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．（难点）　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？ 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解 小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　) A．无实数解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 解析：∵二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴交于点(－1，0)和(4，0)，即当x＝－1或4时，x2＋ax＋b＝0，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x2＝4，故选D. 方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解． 【类型二】利用二次函数图象判断一元二次方程的近似解 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解为（　　） A．x1≈-2.1，x2≈0.1 B．x1≈-2.5，x2≈0.5 C．x1≈-2.9，x2≈0.9 D．x1≈-3，x2≈1 解析：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=-1，而对称轴右侧图象与x轴的交点与原点的距离约为0.5，∴x1≈0.5；又∵对称轴为直线x =-1，则=-1，∴x2≈2×（-1）-0.5=-2.5．故x1≈-2.5，x2≈0.5．故选B． 方法总结：此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要根据图象估计出一个解，再根据对称性计算出另一个解，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，所以估计应尽量准确． 【类型三】 利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围 若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为(　　) A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－2 解析：若m≠0，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；由(m＋2)2－4m(m＋1)＝0，解得m＝2或－2，若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴也只有一个交点．所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点．故选D. 方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点． 探究点二：二次函数与一元二次不等式 【类型一】利用抛物线解一元二次不等式 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1 解析：观察图象，可知当－3＜x＜1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是－3＜x＜1.故选C. 方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集． 【类型二】利用两个函数图象在直角坐标系中的位置关系求自变量的取值范围 如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（-2，p），B（5，q）两点，则关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集是（　　） A．x＜-2 B．x＞5 C．-2＜x＜5 D．x＜-2或x＞5 解析：观察函数图象可知：当-2＜x＜5 时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的下方，∴不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集为-2＜x＜5．故选C． 方法总结：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数表达式列成不等式求解． 【类型三】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是(　　) A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3 解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为直线x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x＞3.故选D. 方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键． 三、板书设计 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系.