2018年四川省凉山州中考数学试卷含答案解析(word版).docx

2018年四川省凉山州中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 比1小2的数是(　　) A. −1 B. −2 C. −3 D. 1 【答案】A 【解析】解：1−2=−1． 故选：A． 求比1小2的数就是求1与2的差． 本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.这是需要熟记的内容． 2. 下列运算正确的是(　　) A. a3⋅a4=a12 B. a6÷a3=a2 C. 2a−3a=−a D. (a−2)2=a2−4 【答案】C 【解析】解：A、应为a3⋅a4=a7，故本选项错误； B、应为a6÷a3=a3，故本选项错误； C、2a−3a=−a，正确； D、应为(a−2)2=a2−4a+4，故本选项错误． 故选：C． 根据同底数的幂的运算法则、合并同类项法则及完全平方公式计算． 本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，计算时要认真． 3. 长度单位1纳米=10−9米，目前发现一种新型病毒直径为25 100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是(　　) A. 25.1×10−6米 B. 0.251×10−4米 C. 2.51×105米 D. 2.51×10−5米 【答案】D 【解析】解：2.51×104×10−9=2.51×10−5米.故选D． 先将25100用科学记数法表示为2.51×104，再和10−9相乘． a×10n中，a的整数部分只能取一位整数，1≤|a|<10.此题中的n应为负数． 4. 小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路囗都是绿灯，但实际这样的机会是(　　) A. 12 B. 18 C. 38 D. 12+12+12 【答案】B 【解析】解：画树状图，得 ∴共有8种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种， ∴实际这样的机会是18， 故选：B． 列举出所有情况，看个路口都是绿灯的情况占总情况的多少即可． 此题考查了树状图法求概率，树状图法适用于三步或三步以上完成的事件，解题时要注意列出所有的情形.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5. 一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是(　　) A. 和 B. 谐 C. 凉 D. 山 【答案】D 【解析】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“建”字相对的字是“山”． 故选：D． 本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，据此作答． 注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 6. 一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是(　　) A. 2，1，0.4 B. 2，2，0.4 C. 3，1，2 D. 2，1，0.2 【答案】B 【解析】解：从小到大排列此数据为：1，2，2，2，3；数据2出现了三次最多为众数，2处在第3位为中位数.平均数为(3+2+1+2+2)÷5=2，方差为15[(3−2)2+3×(2−2)2+(1−2)2]=0.4，即中位数是2，众数是2，方差为0.4． 故选：B． 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均)数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个.利用方差公式计算方差． 本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数、方差和众数的能力.注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求.如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 7. 若ab<0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵ab<0，∴分两种情况： (1)当a>0，b<0时，正比例函数y=ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； (2)当a<0，b>0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 故选：B． 根据ab<0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a>0，b<0和a<0，b>0两方面分类讨论得出答案． 本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 8. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故选：D． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 9. 如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是(　　) A. AD=BC′ B. ∠EBD=∠EDB C. △ABE∽△CBD D. sin∠ABE=AEED 【答案】C 【解析】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确． B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确． D、∵sin∠ABE=AEBE， ∴∠EBD=∠EDB ∴BE=DE ∴sin∠ABE=AEED． 故选：C． 主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案． 本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法． 10. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50∘，则∠ACB的大小为(　　) A. 40∘ B. 30∘ C. 45∘ D. 50∘ 【答案】A 【解析】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=50∘， ∴∠AOB=180∘−2∠ABO=80∘， ∴∠ACB=12∠AOB=40∘， 故选：A． 首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数． 本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 分解因式：9a−a3=______，2x2−12x+18=______． 【答案】a(3+a)(3−a)；2(x−3)2 【解析】解：9a−a3=a(9−a2)=a(3+a)(3−a)； 2x2−12x+18=2(x2−6x+9)=2(x−3)2． 观察原式9a−a3，找到公因式a后，发现9−a2符合平方差公式的形式，直接运用公式可得； 观察原式2x2−12x+18，找到公因式2后，发现x2−6x+9符合完全平方差公式的形式，直接运用公式可得． 本题考查整式的因式分解.一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法． 12. 已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC：S△A′B′C′=1：2，则AB：A′B′=______． 【答案】1：2 【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴S△ABC：S△A′B′C′=AB2：A′B′2=1：2，∴AB：A′B′=1：2． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 本题的关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方． 13. 有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是______． 【答案】小林 【解析】解：由于小林的成绩波动较大，根据方差的意义知，波动越大，成绩越不稳定，故新手是小林． 故填小林． 观察图象可得：小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小明的成绩较为稳定；根据题意，一般新手的成绩不太稳定，故新手是小林． 本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 14. 已知一个正数的平方根是3x−2和5x+6，则这个数是______． 【答案】494 【解析】解：根据题意可知：3x−2+5x+6=0，解得x=−12， 所以3x−2=−72，5x+6=72， ∴(±72)2=494 故答案为：494． 由于一个非负数的平方根有2个，它们互为相反数.依此列出方程求解即可． 本题主要考查了平方根的逆运算，平时注意训练逆向思维． 15. 若不等式组b−2x>0x−a>2的解集是−1<x<1，则(a+b)2009=______． 【答案】−1 【解析】解：由不等式得x>a+2，x<12b， ∵−1<x<1， ∴a+2=−1，12b=1 ∴a=−3，b=2， ∴(a+b)2009=(−1)2009=−1． 故答案为−1． 解出不等式组的解集，与已知解集−1<x<1比较，可以求出a、b的值，然后相加求出2009次方，可得最终答案． 本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题.可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数． 16. 将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90∘，∠BAC=30∘，AB=4cm，则图中阴影部分面积为______cm2． 【答案】4π 【解析】解：∵∠BCA=90∘，∠BAC=30∘，AB=4cm， ∴BC=2，AC=23，∠A′BA=120∘，∠CBC′=120∘， ∴阴影部分面积=(S△A′BC′+S扇形BAA′)−S扇形BCC′−S△ABC=120π360×(42−22)=4πcm2． 故答案为：4π． 易得整理后阴影部分面积为圆心角为120∘，两个半径分别为4和2的圆环的面积． 本题利用了直角三角形的性质，扇形的面积公式求解． 三、计算题（本大题共3小题，共24分） 17. 先化简，再选择一个你喜欢的数(要合适哦!)代入求值：(1+1x)÷x2−1x． 【答案】解：(1+1x)÷x2−1x =x+1x⋅x(x+1)(x−1) =1x−1， 当x=2时，原式=12−1=1． 【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，再选取一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题． 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法． 18. 如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45∘方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60∘方向上． (1)MN是否穿过原始森林保护区，为什么？(参考数据：3≈1.732) (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？ 【答案】解：(1)理由如下： 如图，过C作CH⊥AB于H． 设CH=x， 由已知有∠EAC=45∘，∠FBC=60∘， 则∠CAH=45∘，∠CBA=30∘． 在Rt△ACH中，AH=CH=x， 在Rt△HBC中，tan∠HBC=CHHB ∴HB=CHtan30∘=x33=3x， ∵AH+HB=AB， ∴x+3x=600， 解得x=6001+3≈220(米)>200(米)． ∴MN不会穿过森林保护区． (2)设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要(y−5)天． 根据题意得：1y−5=(1+25%)×1y 解得：y=25． 经检验知：y=25是原方程的根． 答：原计划完成这项工程需要25天． 【解析】(1)要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离.要构造直角三角形，再解直角三角形； (2)根据题意列方程求解． 考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应用． 19. 我们常用的数是十进制数，如4657=4×103+6×102+5×101+7×100，数要用10个数码(又叫数字)：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中110=1×22+1×21+0×20等于十进制的数6，110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制的数53.那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？ 【答案】解：101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=43， 所以二进制中的数101011等于十进制中的43． 【解析】利用新定义得到101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20，然后根据乘方的定义进行计算． 本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 四、解答题（本大题共7小题，共72分） 20. 计算：|3.14−π|+3.14÷(32+1)0−2cos45∘+(2−1)−1+(−1)2009． 【答案】解：原式=π−3.14+3.14−2×22+12−1−1 =π−2+2+1−1 =π． 【解析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质进而化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 21. 观察下列多面体，并把如表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 观察表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式． 【答案】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有n+2个面，共有2n个顶点，共有3n条棱； 故a，b，c之间的关系：a+c−b=2． 【解析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱一定有(n+2)个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案， 利用前面的规律得出a，b，c之间的关系． 此题主要考查了欧拉公式，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有(n+2)个面，2n个顶点和3n条棱是解题关键． 22. 如图，△ABC在方格纸中 (1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2,3)，C(6,2)，并求出B点坐标； (2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′； (3)计算的面积S． 【答案】解：(1)如图所示，即为所求的直角坐标系；B(2,1)； (2)如图：即为所求； ． 【解析】(1)直接利用A，C点坐标得出原点位置进而得出答案； (2)利用位似图形的性质即可得出； (3)直接利用(2)中图形求出三角形面积即可． 此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键.画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和关键点；③根据位似比，确定位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 23. 我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用.张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？(精确到0.01元) 【答案】解：设涨到每股x元时卖出， 根据题意得1000x−(5000+1000x)×0.5%≥5000+1000，(4分) 解这个不等式得x≥1205199， 即x≥6.06.(6分) 答：至少涨到每股6.06元时才能卖出.(7分) 【解析】根据关系式：总售价−两次交易费≥总成本+1000列出不等式求解即可． 本题考查的是一元一次不等式在生活中的实际运用，解决本题的关键是读懂题意根据“总售价−两次交易费≥总成本+1000”列出不等关系式． 24. 已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球． (1)求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？ (2)若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是14，求y与x之间的函数关系式． 【答案】解：(1)∵一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球， ∴从中随机抽取出一个黑球的概率是：47； (2)∵往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是14， ∴x+37+x+y=14， 则y=3x+5． 【解析】(1)直接利用概率公式直接得出取出一个黑球的概率； (2)直接利用从口袋中随机取出一个白球的概率是14，进而得出答案函数关系式． 此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为(−4,0)，以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60∘的角，且交y轴于C点，以点O2(13,5)为圆心的圆与x轴相切于点D． (1)求直线l的解析式； (2)将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间． 【答案】解：(1)由题意得OA=|−4|+|8|=12， ∴A点坐标为(−12,0)． ∵在Rt△AOC中，∠OAC=60∘， OC=OAtan∠OAC=12×tan60∘=123． ∴C点的坐标为(0,−123). 设直线l的解析式为y=kx+b， 由l过A、C两点， 得−123=b0=−12k+b，解得b=−123k=−3 ∴直线l的解析式为：y=−3x−123． (2)如图，设⊙O2平移t秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P，⊙O3与x轴相切于D1点，连接O1O3，O3D1． 则O1O3=O1P+PO3=8+5=13． ∵O3D1⊥x轴，∴O3D1=5， 在Rt△O1O3D1中，O1D1=O1O32−O3D12=132−52=12． ∵O1D=O1O+OD=4+13=17，∴D1D=O1D−O1D1=17−12=5， ∴t=51=5(秒)． ∴⊙O2平移的时间为5秒． 【解析】(1)求直线的解析式，可以先求出A、C两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析式． (2)设⊙O2平移t秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P，⊙O3与x轴相切于D1点，连接O1O3，O3D1． 在直角△O1O3D1中，根据勾股定理，就可以求出O1D1，进而求出D1D的长，得到平移的时间． 本题综合了待定系数法求函数解析式，以及圆的位置关系，其中两圆相切时的辅助线的作法是经常用到的． 26. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0)，B(0,2)两点，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)将△OAB绕点A顺时针旋转90∘后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式； (3)设(2)中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标． 【答案】解：(1)已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0)，B(0,2)， ∴2=0+0+c0=1+b+c， 解得c=2b=−3， ∴所求抛物线的解析式为y=x2−3x+2； (2)∵A(1,0)，B(0,2)， ∴OA=1，OB=2， 可得旋转后C点的坐标为(3,1)， 当x=3时，由y=x2−3x+2得y=2， 可知抛物线y=x2−3x+2过点(3,2)， ∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C． ∴平移后的抛物线解析式为：y=x2−3x+1； (3)∵点N在y=x2−3x+1上，可设N点坐标为(x0,x02−3x0+1)， 将y=x2−3x+1配方得y=(x−32)2−54， ∴其对称轴为直线x=32． ①0≤x0≤32时，如图①， ∵S△NBB1=2S△NDD1， ∴12×1×x0=2×12×1×(32−x0) ∵x0=1， 此时x02−3x0+1=−1， ∴N点的坐标为(1,−1)． ②当x0>32时，如图②， 同理可得12×1×x0=2×12×(x0−32)， ∴x0=3， 此时x02−3x0+1=1， ∴点N的坐标为(3,1)． ③当x<0时，由图可知，N点不存在， ∴舍去． 综上，点N的坐标为(1,−1)或(3,1)． 【解析】(1)利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得； (2)根据旋转的知识可得：A(1,0)，B(0,2)，∴OA=1，OB=2， 可得旋转后C点的坐标为(3,1)，当x=3时，由y=x2−3x+2得y=2，可知抛物线y=x2−3x+2过点(3,2)∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.∴平移后的抛物线解析式为：y=x2−3x+1； (3)首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想． 此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题． 此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用． 第11页，共12页