2.7 角的和与差.doc

优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2.7 角的和与差 学习目标： 1.理解角的和差、角平分线的几何意义；(重点） 2.掌握角之间的和差关系，并能进行简单的计算；（难点） 3.了解余角与补角的概念，理解余角与补角的性质并会进行运用.（重点、难点） 学习重点：理解角的和差、角平分线的几何意义，了解补角和余角的概念. 学习难点：角的和差计算、余角及补角性质及其运用. 自主学习 一、 知识链接 1. 线段的和与差 Ｂ Ｃ A 如图1，AC=_______+________; 图1 　　　BC=_______-_________; AB=_______-_________. 2.线段的中点 如图1，若点B是线段AC的中点，则AB=_______=_________;AC=_____=________. 3. 计算 45°26’40’’=_______°； 56.435°=___°____’_____’’ . A B 4.等式的性质：等式的两边同时__________同一个数，等式仍然成立. C 二、 新知预习 O 1. 角的和与差 图2 如图2：∠AOB=∠ +∠ ，∠AOC=∠ -∠ , ∠COB=∠ -∠ . 2.角的平分线 (1) 如图2，如果∠AOC=∠BOC，那么射线OC是∠AOB的角平分线. 角平分线的定义：_______________________________________________ 符号语言：∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC (∠AOB=2∠ 或∠AOB =2∠ ;或∠AOC=∠ ，∠BOC =∠_____ ) D S F E (2) A B O C (1) 3.补角与余角 在图（1）中，∠AOB=90°;在图（2）中，∠DSF=180°,显然有 ∠ +∠ =∠AOB=90°; ∠ +∠ =∠DSF=180°. ①如果两个角 ，我们就称这两个角互为余角，简称 .其中一个角叫另一个角的 . ②如果两个角 ，我们就称这两个角互为补角，A B C D O 图3 简称 .其中一个角叫另一个角的 . 三、 自学自测 1.如图3，填出符合下列等式的角： （1）∠AOB+∠BOC= ; (2) ∠BOC=∠BOD- ; (3) ∠AOD=∠AOB+∠COD+ ; D (4) ∠BOD=∠DOA-∠COA+ . C 2、如图4，若∠AOB =∠BOC =∠COD，则OB 是 的平分线， B = ∠AOC， 图4 A O ∠BOC = = = = . 3.若∠A=34°,则∠A的余角的度数是________;∠A的补角的度数是_______. 四、我的疑惑 _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 合作探究 一、 要点探究 探究点1：角的和差关系及运算 例1：如图，已知∠AOC与∠BOD都是直角，∠BOC＝51°. (1)求∠AOD的度数． (2)求∠AOB和∠DOC的度数． (3)∠AOB与∠DOC有何大小关系？ 【归纳总结】在利用角的和、差关系进行计算时，首先要弄清题意，理清各角之间的数量关系，用两个角的和或差表示第三个角，如果知道任意两个角的度数，第三个角的度数可以通过运算求出来． 例2：两个角的度数之比为7：3，它们的差为36°，求这两个角. 【归纳总结】根据题意，列出方程，求出这两个角的度数. 【针对训练】 1．已知∠AOB＝138°，∠AOC＝∠BOD＝90°.求∠COD的度数． [来源:学科网] 2．已知∠AOB=120°，OC在它的内部，且把∠AOB分成1：3的两个角，那么∠AOC的度数为( ) A． 40° B．40°或80° C．30° D．30°或90° 探究点2：角的平分线的应用 例2：如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数． 【归纳总结】解决这类问题，关键是根据角平分线得到相等的角，或求出一个较大的角，借助于某一个中间的角，把未知量转化为已知量． 【针对训练】 1．如图，射线OC平分∠AOD，射线OD平分∠COB，则下列结论错误的是(　　) A．∠AOC＝∠BOD B．∠AOD＝2∠BOD[来源:学.科.网Z.X.X.K] C．∠BOC＝2∠COD D．∠AOB＝2∠AOD 2．如图，已知∠AOB＝120°，OM平分∠AOB，ON平分∠MOB，则∠AON＝______. 探究点3：角的度、分、秒的计算 例3：计算： (1)12°59′57″＋57′58″； (2)97°3′12″－1°45′53″. 【归纳总结】角的度、分、秒进行加、减运算时，度与度加、减，分与分加、减，秒与秒加、减．分秒相加时逢60要进位，相减时要借一作60. 注意：角的度、分、秒进行加减运算时，运算时需将单位化成一致，再进行运算. 【针对训练】 计算： (1)103.3°＋176°42′－98.34°. (2)24°22′36″×3. 探究点4：补角与余角 合作探究 （1）图中给出的各角，那些互为补角？ （2）填下列表： ∠a ∠a的余角 ∠a的补角 5° 32° 45° 77° 62°23′ x° 结论：同一个锐角的补角比它的余角大___________________. （3）填空： ①70°的余角是　 ，补角是　 　 . ②∠a（∠a <90°）的它的余角是 ，它的补角是 . （4） 余角与补角的性质 如果∠1和∠2都是∠α的余角，那么∠1和∠2相等吗？试着说明理由. 解：因为∠1和∠2都是∠α的余角 所以∠1+∠α= °，∠2+∠α= °， 所以∠ +∠ =∠ +∠ ， 所以∠ =∠ . ②如果∠3和∠4都是∠β的补角，那么∠3和∠4相等吗？试说明理由. 解：因为∠3和∠4都是∠β的补角 所以∠3+∠β= °，∠4+∠β= °， 所以∠ +∠ =∠ +∠ ， 所以∠ =∠ . 由此得出结论： . 例5：一个角的余角比这个角的补角的少20°，则这个角为（ ） A.30° B.40° C.60° D.75° 【归纳总结】解有关互为余角或互为补角的问题时，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下我们可以引进未知数来构造方程求解. 例6：如果∠AOB+∠BOC=90°, ∠BOC与∠COD互余，那么∠AOB和∠COD的关系是（ ） A.互余 B.互补 C.相等 D.不能确定 【归纳总结】同角（等角）的余角相等. 【针对训练】 1.若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数. 2.如图，∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？则∠3与∠2是什么关系？ 二、课堂小结 内容 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条______把这个角分成的两个角_____,那么这条射线叫做这个角的___________. 余角与补角 ①如果两个角 ，我们就称这两个角互为余角，简称 .其中一个角叫另一个角的 . ②如果两个角 ，我们就称这两个角互为补角，简称 .其中一个角叫另一个角的 . 余角与补角的性质 _______(或______)的余角相等； _______(或______)的补角相等. 当堂检测 1．点P在∠MAN内，现有如下等式：①∠PAM＝∠MAN；②∠PAN＝∠MAN；③∠PAM＝∠PAN；④∠MAN＝2∠PAN.其中能表示AP是角平分线的等式有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，下列结论中正确的个数是( ) ①∠AOB＝∠COD　②∠AOD＝3∠BOC ③∠AOD＋∠BOC＝∠AOC＋∠BOD A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，OD是∠AOC的平分线，OC是∠BOD的平分线，且∠COD＝40°，则∠AOB＝( ) A．80° B．100° C．120° D．160° （第2题） (第3题) 4.一个锐角的补角比这个角的余角大 （ ） A.30º B.45º C.60º D.90º D 5．如图，已知∠BOD＝2∠AOB，OC是∠AOD的平分线，则下列四个结论：①∠BOC＝∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠BOC＝∠AOB；④∠DOC＝3∠BOC.其中正确的是( ) 第5题 C A．①② B．③④ C．②③ D．①④ B A O 6.若∠1与∠2互为补角，且∠1<∠2，则∠1的余角是 （ ） A.∠1 B.∠1+∠2 C.（∠1+∠2） D.（∠2-∠1） 7．已知∠与∠互补，且∠=35º18′，则∠=________. 8．如图，点O是直线AB上一点，已知∠BOD＝30°，OE平分∠AOD，那么∠AOE的度数是____． 9．如图，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则图中与∠AOD相等的角有___个，与∠AOC相等的角有___个． 10．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． (1)如果∠AOC＝80°，那么∠BOC＝_______； (2)如果∠AOC＝80°，∠COE＝50°，那么∠BOD＝____． 　 (第8题) (第9题)　 (第10题) 11．如图，直线AB，CD交于点O，OB平分∠DOE.如果∠COE＝80°，求∠EOB与∠AOC的度数． 12．如图，∠COD是平角，∠AOC＝40°，∠BOD＝50°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，求∠MON的度数． 13..如图，∠AOB=90º，∠AOC=30º，且OM平分∠BOC， ON平分∠AOC， （1）求∠MON的度数． （2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数． （3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数 （4）从上面结果中看出有什么规律？ 当堂检测参考答案： 1. D 2.C 3.C 4.D 5.B 6.D 7.144°42’ 8.75° 9.3 2 10. 40° 65° 11.【解】　∵∠COE＝80°，AB，CD交于点O， ∴∠EOD＝180°－∠COE＝100°. ∵OB平分∠EOD， ∴∠EOB＝∠BOD＝∠EOD＝50°， ∴∠AOC＝∠BOD＝50°. 12.【解】　∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线， ∴∠MOC＝∠AOC＝×40°＝20°， ∠NOD＝∠BOD＝×50°＝25°. 又∵∠COD是平角， ∴∠MOC＋∠MON＋∠NOD＝180°， ∴20°＋∠MON＋25°＝180°， ∴∠MON＝135°. 13.（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°， ∴∠BOC=120° ∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC ∴∠COM=60°，∠CON=15° ∴∠MON=∠COM-∠CON=45°． （2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°， ∴∠BOC=α+30° ∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC ∴∠COM=+15°，∠CON=15° ∴∠MON=∠COM-∠CON= ． （3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β， ∴∠BOC=90°+β ∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC ∴∠COM=45°+ ，∠CON= ． ∴∠MON=∠COM－∠CON=45°． （4）从上面的结果中，发现： ∠MON的大小只和∠AOB得大小有关，与∠A0C的大小无关． 第 11 页 共 11 页