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2018年江苏省淮安市中考数学试卷 　 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．（3.00分）（2018•淮安）﹣3的相反数是（　　） A．﹣3 B．﹣ C． D．3 2．（3.00分）（2018•淮安）地球与太阳的平均距离大约为150000000km．将150000000用科学记数法表示应为（　　） A．15×107 B．1.5×108 C．1.5×109 D．0.15×109 3．（3.00分）（2018•淮安）若一组数据3、4、5、x、6、7的平均数是5，则x的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（3.00分）（2018•淮安）若点A（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，则k的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6 5．（3.00分）（2018•淮安）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 6．（3.00分）（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　） A．20 B．24 C．40 D．48 7．（3.00分）（2018•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．（3.00分）（2018•淮安）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（　　） A．70° B．80° C．110° D．140° 　 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应位置上） 9．（3.00分）（2018•淮安）（a2）3=　 　． 10．（3.00分）（2018•淮安）一元二次方程x2﹣x=0的根是　 　． 11．（3.00分）（2018•淮安）某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下： 射击次数n 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数m 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 0.900 0.950 0.925 0.900 0.890 0.905 0.898 0.901 该射手击中靶心的概率的估计值是　 　（精确到0.01）． 12．（3.00分）（2018•淮安）若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是，则a=　 　． 13．（3.00分）（2018•淮安）若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于　 　°． 14．（3.00分）（2018•淮安）将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是　 　． 15．（3.00分）（2018•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是　 　． 16．（3.00分）（2018•淮安）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是　 　． 　 三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10.00分）（2018•淮安）（1）计算：2sin45°+（π﹣1）0﹣+|﹣2|； （2）解不等式组： 18．（8.00分）（2018•淮安）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣3． 19．（8.00分）（2018•淮安）已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE=CF． 20．（8.00分）（2018•淮安）某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）在这次调查中，该学校一共抽样调查了　 　名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该学校共有1500名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数． 21．（8.00分）（2018•淮安）一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字1、﹣2、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字作为点A的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点A的纵坐标． （1）用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果； （2）求点A落在第四象限的概率． 22．（8.00分）（2018•淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k、b的值； （2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD=S△BOC，求点D的坐标． 23．（8.00分）（2018•淮安）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732） 24．（10.00分）（2018•淮安）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点． （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积． 25．（10.00分）（2018•淮安）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件． （1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为　 　件； （2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润． 26．（12.00分）（2018•淮安）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=　 　°； （2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由． （3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长． 27．（12.00分）（2018•淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒． （1）当t=秒时，点Q的坐标是　 　； （2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式； （3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值． 　 2018年江苏省淮安市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．（3.00分）（2018•淮安）﹣3的相反数是（　　） A．﹣3 B．﹣ C． D．3 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答． 【解答】解：﹣3的相反数是3． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 　 2．（3.00分）（2018•淮安）地球与太阳的平均距离大约为150000000km．将150000000用科学记数法表示应为（　　） A．15×107 B．1.5×108 C．1.5×109 D．0.15×109 【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决． 【解答】解：150000000=1.5×108， 故选：B． 【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法． 　 3．（3.00分）（2018•淮安）若一组数据3、4、5、x、6、7的平均数是5，则x的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据平均数的定义计算即可； 【解答】解：由题意（3+4+5+x+6+7）=5， 解得x=5， 故选：B． 【点评】本题考查平均数的定义，解题的关键是根据平均数的定义构建方程解决问题，属于中考基础题． 　 4．（3.00分）（2018•淮安）若点A（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，则k的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6 【分析】根据待定系数法，可得答案． 【解答】解：将A（﹣2，3）代入反比例函数y=，得 k=﹣2×3=﹣6， 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题关键． 　 5．（3.00分）（2018•淮安）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【分析】求出∠3即可解决问题； 【解答】解： ∵∠1+∠3=90°，∠1=35°， ∴∠3=55°， ∴∠2=∠3=55°， 故选：C． 【点评】此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键． 　 6．（3.00分）（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　） A．20 B．24 C．40 D．48 【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长． 【解答】解：由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO， 则AB==5， 故这个菱形的周长L=4AB=20． 故选：A． 【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般． 　 7．（3.00分）（2018•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k+1）=0，然后解一次方程即可． 【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k+1）=0， 解得k=0． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 　 8．（3.00分）（2018•淮安）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（　　） A．70° B．80° C．110° D．140° 【分析】作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数． 【解答】解：作对的圆周角∠APC，如图， ∵∠P=∠AOC=×140°=70° ∵∠P+∠B=180°， ∴∠B=180°﹣70°=110°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 　 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应位置上） 9．（3.00分）（2018•淮安）（a2）3=　a6　． 【分析】直接根据幂的乘方法则运算即可． 【解答】解：原式=a6． 故答案为a6． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘法：（am）n=amn（m，n是正整数）；（ab）n=anbn（n是正整数）． 　 10．（3.00分）（2018•淮安）一元二次方程x2﹣x=0的根是　x1=0，x2=1　． 【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）=0， 可得x=0或x﹣1=0， 解得：x1=0，x2=1． 故答案为：x1=0，x2=1． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 　 11．（3.00分）（2018•淮安）某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下： 射击次数n 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数m 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 0.900 0.950 0.925 0.900 0.890 0.905 0.898 0.901 该射手击中靶心的概率的估计值是　0.90　（精确到0.01）． 【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【解答】解：由击中靶心频率都在0.90上下波动， 所以该射手击中靶心的概率的估计值是0.90， 故答案为：0.90． 【点评】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题． 　 12．（3.00分）（2018•淮安）若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是，则a=　4　． 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值． 【解答】解：把代入方程得：9﹣2a=1， 解得：a=4， 故答案为：4． 【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 　 13．（3.00分）（2018•淮安）若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于　65　°． 【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案． 【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50°， 又∵等腰三角形的底角相等， ∴底角等于（180°﹣50°）×=65°． 故答案为：65． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 　 14．（3.00分）（2018•淮安）将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是　y=x2+2　． 【分析】先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【解答】解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2． 故答案为：y=x2+2． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 　 15．（3.00分）（2018•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是　　． 【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题； 【解答】解：连接AD． ∵PQ垂直平分线段AB， ∴DA=DB，设DA=DB=x， 在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2， ∴x2=32+（5﹣x）2， 解得x=， ∴CD=BC﹣DB=5﹣=， 故答案为． 【点评】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 　 16．（3.00分）（2018•淮安）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是　（）n﹣1　． 【分析】根据正比例函数的性质得到∠D1OA1=45°，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答． 【解答】解：∵直线l为正比例函数y=x的图象， ∴∠D1OA1=45°， ∴D1A1=OA1=1， ∴正方形A1B1C1D1的面积=1=（）1﹣1， 由勾股定理得，OD1=，D1A2=， ∴A2B2=A2O=， ∴正方形A2B2C2D2的面积==（）2﹣1， 同理，A3D3=OA3=， ∴正方形A3B3C3D3的面积==（）3﹣1， … 由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积=（）n﹣1， 故答案为：（）n﹣1． 【点评】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到∠D1OA1=45°，正确找出规律是解题的关键． 　 三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10.00分）（2018•淮安）（1）计算：2sin45°+（π﹣1）0﹣+|﹣2|； （2）解不等式组： 【分析】（1）先代入三角函数值、计算零指数幂、化简二次根式、去绝对值符号，再计算乘法和加减运算可得； （2）先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可． 【解答】解：（1）原式=2×+1﹣3+2 =+1﹣ =1； （2）解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3， 解不等式2x﹣1≥，得：x≥1， 则不等式组的解集为1≤x＜3． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组和实数的运算，解题的关键是掌握解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了及实数的混合运算顺序和运算法则． 　 18．（8.00分）（2018•淮安）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣3． 【分析】原式利用分式混合运算顺序和运算法则化简，再将a的值代入计算可得． 【解答】解：原式=（﹣）÷ =• =， 当a=﹣3时， 原式==﹣2． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则． 　 19．（8.00分）（2018•淮安）已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE=CF． 【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案． 【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴AO=CO，AD∥BC， ∴∠EAC=∠FCO， 在△AOE和△COF中 ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 　 20．（8.00分）（2018•淮安）某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）在这次调查中，该学校一共抽样调查了　50　名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该学校共有1500名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数． 【分析】（1）根据乘车的人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各种交通方式的人数之和等于总人数求得步行人数，据此可得； （3）用总人数乘以样本中步行人数所占比例可得． 【解答】解：（1）本次调查中，该学校调查的学生人数为20÷40%=50人， 故答案为：50； （2）步行的人数为50﹣（20+10+5）=15人， 补全图形如下： （3）估计该学校学生中选择“步行”方式的人数为1500×=450人． 【点评】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 　 21．（8.00分）（2018•淮安）一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字1、﹣2、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字作为点A的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点A的纵坐标． （1）用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果； （2）求点A落在第四象限的概率． 【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后根据表格即可求得点A的坐标的所有可能的结果； （2）从表格中找到点A落在第四象限的结果数，利用概率公式计算可得． 【解答】解：（1）列表得： 1 ﹣2 3 1 （1，﹣2） （1，3） 2 （﹣2，1） （﹣2，3） 3 （3，1） （3，﹣2） （2）由表可知，共有6种等可能结果，其中点A落在第四象限的有2种结果， 所以点A落在第四象限的概率为=． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．此题难度不大，注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 　 22．（8.00分）（2018•淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k、b的值； （2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD=S△BOC，求点D的坐标． 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点D的坐标为（0，m）（m＜0），根据三角形的面积公式结合S△COD=S△BOC，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点D的坐标． 【解答】解：（1）当x=1时，y=3x=3， ∴点C的坐标为（1，3）． 将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y=kx+b， 得：， 解得：． （2）当y=0时，有﹣x+4=0， 解得：x=4， ∴点B的坐标为（4，0）． 设点D的坐标为（0，m）（m＜0）， ∵S△COD=S△BOC，即﹣m=××4×3， 解得：m=﹣4， ∴点D的坐标为（0，﹣4）． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k、b的值；（2）利用三角形的面积公式结合结合S△COD=S△BOC，找出关于m的一元一次方程． 　 23．（8.00分）（2018•淮安）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732） 【分析】作PD⊥AB于D，构造出Rt△APD与Rt△BPD，根据AB的长度．利用特殊角的三角函数值求解． 【解答】解：作PD⊥AB于D． 设BD=x，则AD=x+200． ∵∠EAP=60°， ∴∠PAB=90°﹣60°=30°． 在Rt△BPD中， ∵∠FBP=45°， ∴∠PBD=∠BPD=45°， ∴PD=DB=x． 在Rt△APD中， ∵∠PAB=30°， ∴CD=tan30°•AD， 即DB=CD=tan30°•AD=x=（200+x）， 解得：x≈273.2， ∴CD=273.2． 答：凉亭P到公路l的距离为273.2m． 【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答． 　 24．（10.00分）（2018•淮安）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点． （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OE、OD，如图，根据切线的性质得∠OAC=90°，再证明△AOE≌△DOE得到∠ODE=∠OAE=90°，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线； （2）先计算出∠AOD=2∠B=100°，利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下： 连接OE、OD，如图， ∵AC是⊙O的切线， ∴AB⊥AC， ∴∠OAC=90°， ∵点E是AC的中点，O点为AB的中点， ∴OE∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠3， ∵OB=OD， ∴∠B=∠3， ∴∠1=∠2， 在△AOE和△DOE中 ， ∴△AOE≌△DOE， ∴∠ODE=∠OAE=90°， ∴OA⊥AE， ∴DE为⊙O的切线； （2）∵点E是AC的中点， ∴AE=AC=2.4， ∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°， ∴图中阴影部分的面积=2•×2×2.4﹣=4.8﹣π． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式． 　 25．（10.00分）（2018•淮安）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件． （1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为　180　件； （2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润． 【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答； （2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）， 故答案为：180； （2）由题意得： y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10（x﹣55）2+2250 ∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握． 　 26．（12.00分）（2018•淮安）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=　15　°； （2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由． （3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长． 【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题； （2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题； （3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可； 【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°， ∴2∠B+∠A=60°， 解得，∠B=15°， 故答案为：15°； （2）如图①中， 在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD， ∴∠B+2∠BAD=90°， ∴△ABD是“准互余三角形”， ∵△ABE也是“准互余三角形”， ∴只有2∠B+∠BAE=90°， ∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°， ∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°， ∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB， ∴CE=， ∴BE=5﹣=． （3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF． ∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD， ∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°， ∴A、B、F共线， ∴∠A+∠ACF=90° ∴2∠ACB+∠CAB≠90°， ∴只有2∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F， ∴△FCB∽△FAC， ∴CF2=FB•FA，设FB=x， 则有：x（x+7）=122， ∴x=9或﹣16（舍弃）， ∴AF=7+9=16， 在Rt△ACF中，AC===20． 【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题． 　 27．（12.00分）（2018•淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒． （1）当t=秒时，点Q的坐标是　（4，0）　； （2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式； （3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值． 【分析】（1）先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称性即可得出结论； （2）分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角形的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论； （3）先确定出点T的运动轨迹，进而找出OT+PT最小时的点T的位置，即可得出结论． 【解答】解：（1）令y=0， ∴﹣x+4=0， ∴x=6， ∴A（6，0）， 当t=秒时，AP=3×=1， ∴OP=OA﹣AP=5， ∴P（5，0）， 由对称性得，Q（4，0）； 故答案为（4，0）； （2）当点Q在原点O时，OQ=6， ∴AP=OQ=3， ∴t=3÷3=1， ①当0＜t≤1时，如图1，令x=0， ∴y=4， ∴B（0，4）， ∴OB=4， ∵A（6，0）， ∴OA=6， 在Rt△AOB中，tan∠OAB==， 由运动知，AP=3t， ∴P（6﹣3t，0）， ∴Q（6﹣6t，0）， ∴PQ=AP=3t， ∵四边形PQMN是正方形， ∴MN∥OA，PN=PQ=3t， 在Rt△APD中，tan∠OAB===， ∴PD=2t， ∴DN=t， ∵MN∥OA ∴∠DCN=∠OAB， ∴tan∠DCN===， ∴CN=t， ∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣t×t=t2； ②当1＜t≤时，如图2，同①的方法得，DN=t，CN=t， ∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣t×t=﹣t2+18t； ③当＜t≤2时，如图3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12； （3）如图4，由运动知，P（6﹣3t，0），Q（6﹣6t，0）， ∴M（6﹣6t，3t）， ∵T是正方形PQMN的对角线交点， ∴T（6﹣t，t）， ∴点T是直线y=﹣x+2上的一段线段，（﹣3≤x＜6）， 同理：点N是直线AG：y=﹣x+6上的一段线段，（0≤x≤6）， ∴G（0，6）， ∴OG=6， ∵A（6，0）， ∴AB=6， ∵T正方形PQMN的对角线的交点， ∴TN=TP， ∴OT+TP=OT+TN， ∴点O，T，N在同一条直线上，且ON⊥AG时，OT+TN最小， 即：OT+TN最小， ∵S△OAG=OA×OG=AG×ON， ∴ON==3． 即：OT+PT的最小值为3． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点T的位置是解本题（3）的难点． 　 第31页（共31页）