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17.2直角三角形 教学目标 【知识与能力】 1.理解和掌握直角三角形的性质定理和判定定理. 2.能利用直角三角形的性质定理和判定定理解决实际问题. 【过程与方法】 通过对直角三角形的学习,进一步认识直角三角形,体会数学知识在解决问题中的作用. 【情感态度价值观】 1.通过学习,培养学生的合作意识. 2.通过探究,提高学生学习数学的兴趣. 教学重难点 【教学重点】 直角三角形的性质定理和判定定理. 【教学难点】 直角三角形的性质定理和判定定理的应用. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 前面我们学习了等腰三角形,在三角形中还有一种特殊的三角形,那就是直角三角形. 思考:什么样的三角形是直角三角形? 学生回答:有一个角是直角的三角形是直角三角形. 那么这个特殊的三角形有哪些性质呢?我们又怎样来判定一个三角形是直角三角形呢?这就是我们今天要研究的内容:直角三角形的性质定理和判定定理,让我们先从直角三角形的角的关系开始着手研究. [设计意图]　由直角三角形的特殊性引起学生对性质和判定方法的思考. 导入二: 【课件1】　我们都有过爬坡的经历,假如已测得斜坡的角度为30°,那么当你沿斜坡走了6米时,离地面的高度是多少米呢?画出示意图,如图所示. 这是一个含30度角的直角三角形,已知斜边的长,求30度角所对的直角边的长的问题. 对于这个问题的研究,我们不妨借助一下手中的含30度角的三角尺,观察一下,猜猜30度角所对的这条直角边和斜边的数量关系,你有什么办法验证你的猜想. [设计意图]　通过情境导入,让学生认识到含有30°角的直角三角形具有特殊的性质,从而进入到本节课的学习之中. 二、新知构建： 活动一:直角三角形的性质定理1和判定定理 (1)观察图中的三角形,∠C=90°,从∠A+∠B的度数,能说明什么?为什么? 学生思考后回答:直角三角形的两个锐角互余.(性质定理1) (2)想一想:如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗? 学生得出:如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.(判定定理) (3)讨论:直角三角形的性质定理1和判定定理是什么关系? 小组讨论、交流,派一名代表发言. 【课件2】　对应练习: (1)在直角三角形中,有一个锐角为52°,那么另一个锐角度数为　　　　.  (2)在RtΔABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么∠A=　　　　,∠B=　　　　.  (3)如图所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,与∠B互余的角有　　　　;与∠A互余的角有　　　　;与∠A相等的角有　　　　;与∠B相等的角有　　　　.   [设计意图]　整个过程以学生的观察、发现、小组讨论为主,充分体现了学生的主体地位及教师的主导作用.在学生得出结论之后,紧随其后的练习及时对学生的学习情况进行巩固和提高. 活动二:直角三角形的性质定理2 思路一 想一想: 如果在练习(3)中添加∠A=45°的条件,那么各个锐角是多少度?各条线段之间有什么数量关系? 猜一猜,量一量:直角三角形斜边上的中线等于斜边一半吗? 【课件3】　(1)在一张半透明的纸上画出一个直角三角形,按照教材第147页“观察与思考”进行操作. (2)思考:∠ECF与∠B有什么关系?线段EC与线段EB有什么关系? (3)由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB,∠ACE+∠ECF=∠ACB.你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗?线段AE与线段CE呢?从而你发现了什么结论?将你的结论与大家交流. 我们发现,CE=AE=EB,即CE是AB的中线,且CE=12AB. 证一证: 命题:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【课件4】　已知:如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线. 求证:CD=12AB. 教师指导学生分析、研究,有其他办法的小组可以互相交流. 【课件5】　证明:如图所示,过点D作DE∥BC,交AC于点E,作DF∥AC,交BC于点F. 在ΔAED和ΔDFB中,∵∠A=∠FDB(两直线平行,同位角相等),AD=DB(中线的概念),∠ADE=∠B(两直线平行,同位角相等),∴ΔAED≌ΔDFB(ASA), ∴AE=DF,ED=FB(全等三角形的对应边相等), 同理可证ΔCDE≌ΔDCF. 从而ED=FC,EC=FD(全等三角形的对应边相等). ∴AE=CE,FC=FB(等量代换). 又∵DE⊥AC,DF⊥BC(两直线平行,同位角相等), ∴DE为AC的垂直平分线,DF为BC的垂直平分线. ∴AD=CD=BD(线段垂直平分线的性质定理), ∴CD=12AB. 归纳: 性质定理2:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 思路二 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的探索过程. (1)按要求作图:画一个直角三角形,并作出斜边上的中线. (2)量一量各线段的长度. (3)猜想:你能猜想出什么结论? 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半. (4)寻找理论依据: A.你能用数学符号表示上面问题中的条件和结论吗? 条件:如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.结论:CD=12AB. B.分析:直接证明很困难,不妨假设CD=12AB,那么∠A=∠ACD,因此,考虑作射线CD',看看CD'有什么特点? 引导学生得出CD'=AD'=BD'=12AB. C.比较CD和CD'的位置有什么关系?为什么? CD和CD'都是RtΔABC斜边上的中线. D.直角三角形斜边上的中线有几条?由此你想到了什么? CD和CD'重合,因此CD=12AB. (5)归纳:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 做一做: 求证:直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 解析:作出图形,如图所示,延长BC到D,使CD=BC,然后利用“边角边”证明ΔABC和ΔADC全等,根据全等三角形对应边相等可得AB=AD,再根据直角三角形两锐角互余求出∠B=60°,从而判断出ΔABD是等边三角形,根据等边三角形三边相等可得AB=BD,然后得出BC=12AB. 证明:延长BC到D,使CD=BC, 在ΔABC和ΔADC中,AC=AC,∠ACB=∠ACD=90°,BC=CD, ∴ΔABC≌ΔADC(SAS), ∴AB=AD, ∵∠BAC=30°, ∴∠B=90°-30°=60°, ∴ΔABD是等边三角形, ∴AB=BD,∴BC=12AB. 归纳:关于直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的证明,根据性质的来源作辅助线构造成等边三角形和全等三角形是解题的关键,作出图形更形象直观. 三、课堂小结： 1.直角三角形的性质定理1 根据三角形内角和等于180°,我们可以得到直角三角形中的两个锐角的和是90°,即直角三角形的两个锐角互余.这样,在直角三角形中,如果已知一个锐角的度数,就可以求出另一锐角的度数. 2.直角三角形的判定定理 如果一个三角形中的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形. 要判定一个三角形是直角三角形,只要能证明出一个三角形中有两个角的和是90°,那么这个三角形就是直角三角形. 3.直角三角形的性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.注意:这一性质成立的条件是在直角三角形中,并且是斜边上的中线,直角边上的中线不具备这个性质.在解决直角三角形的问题时,如果涉及到斜边上的中点,那么就要联想到这一性质. 4.含有30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半. - 5 -