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16.3角的平分线 教学目标 【知识与能力】 1.经历探索角的对称性的过程,进一步体验轴对称图形的特征,发展合情推理的能力. 2.理解和掌握角的平分线的性质定理及其逆定理,并能利用它们进行证明或计算. 3.理解和掌握用尺规作已知角的平分线. 【过程与方法】 1.了解角平分线的性质定理及其逆定理在生活、生产中的应用. 2.在探索角平分线的性质定理及其逆定理中提高几何直觉. 3.让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别. 【情感态度价值观】 1.在探讨作角的平分线的方法及角平分线的性质定理及其逆定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣. 2.增强学生解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,逐步培养学生的理性精神. 3.通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学. 教学重难点 【教学重点】 角平分线的性质定理及其逆定理的证明及应用. 【教学难点】 灵活运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【问题探究】(投影显示) 如图所示的是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明其中的道理吗? 【教师活动】　首先提出探究问题,然后运用教具直观地进行讲述. 【学生活动】　小组讨论后得出:根据三角形全等的“边边边”判定法,可以说明这个仪器的工作原理. 【教师活动】　那么角平分线有哪些性质呢?又怎样判定一条线是角的平分线呢?今天我们就来研究这一问题. [设计意图]　通过平分角的仪器,了解全等三角形判定方法在实际生活中的应用,从而引出角平分线的画法,为下面的学习做好铺垫. 导入二: 师:前面我们学习了角的平分线,你能说出它的定义吗? 学生思考回答. 师:你会作角平分线吗? 生:会. 师:怎么作呢? 生1:用折纸的方法来作. 生2:用量角器来作. 师:很好,这节课我们继续学习角平分线的有关知识(板书课题). [设计意图]　通过简单的复习,导出本节课的教学内容,抢答有利于提高学生的学习积极性. 导入三: 在一次军事演习中,红方侦察员发现蓝方指挥部设在A区内,到公路BC,铁路BD的距离均为350米,又测得∠CBD=60°.你能在图中确定出蓝方指挥部的位置吗?(比例尺为1∶20000) [设计意图]　以同学们喜欢的军事情境设置问题,导入新课,易引起学生的学习兴趣,并且留有悬念,暂时不解决,让学生带着疑问,可提高学生的注意力. 二、新知构建： 活动一:角平分线的性质定理及其逆定理 　　[过渡语]　利用分角仪我们可以把已知角平分,下面我们共同探究角平分线的性质和判定方法. 思路一 1.整体感知 师:在一张半透明纸上画出一个角,将纸对折,使这个角的两边重合,从中你能得到什么结论? 生:角是轴对称图形,它的平分线是对称轴. 师:出示课件. 【课件1】　按下图所示的过程,将你画出的∠AOB依上述办法对折后,设折痕为直线OC;再折纸,设折痕为直线n,直线n与边OA,OB分别交于点D,E,与折线OC交于点P;将纸展开后,猜想线段PD与线段PE,线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系,并说明理由. 生:由折纸过程可知PD=PE.特别地,当折痕n与OB垂直时,可得出:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 请同学们用逻辑推理的方法来加以证明,将这个命题画出图形,写出已知、求证. 已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证:PD=PE. 2.师生互动 互动1 师:这是证明线段相等的问题.我们有哪些方法可以证明线段相等? 生:全等三角形的对应边相等. 师:归纳得很好.我们就借鉴这个思路,证明哪两个三角形全等呢? 生:ΔPDO与ΔPEO. 师:怎样证全等? 生:可以通过AAS的判定方法.(证明过程略) 师:于是得到了角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 明确借助于三角形全等来证明线段相等的方法. 互动2 　　[过渡语]　线段垂直平分线的性质定理的逆命题是一个真命题(定理),角平分线的性质定理的逆命题是真命题还是假命题呢? 师:反过来,到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢? 师:事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.这样就有角平分线的判定定理(角平分线性质定理的逆定理):到角的两边距离相等的点在角平分线上. 互动3 刚才我们掌握了角的平分线的性质和判定方法,现在请同学们利用刚才学到的知识解决下面的例题,请看例题: 【课件2】 　(补充例题)如图所示,ΔABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证点P到三边AB,BC,CA的距离相等. 〔解析〕因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写. 证明:过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足为分别D,E,F. ∵BM是ΔABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE. 同理PE=PF, ∴PD=PE=PF, 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等. 说明:在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,那么可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程. 思考:点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系? (点P在∠A的平分线上,三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三角形三条边的距离都相等.) 思路二 如图所示,任意作一个角∠AOB,利用折纸的方法作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P分别作OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你能得到什么结论?在OC上找几个点试试. 生:相等. 师:为什么? 学生思考,小组讨论. 师:你能证明这个结论吗? 学生思考证明. 教师说明:一般情况下,我们要证明一个几何命题成立,可以按照以下步骤进行,即: 1.明确命题中的已知和求证. 2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证. 3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程. 教师找学生板演. 已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,OC平分∠AOB, ∴∠PDO=∠PEO=90°,∠AOC=∠BOC. 在ΔPDO和ΔPEO中,∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,OP=OP, ∴ΔPDO≌ΔPEO(AAS),∴PD=PE. 集体纠正. 师:你能总结这个结论吗? 生:角平分线上的点到角的两边的距离相等. [知识拓展]　利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路. 师:谁能说出它的逆命题? 生:到角的两边距离相等的点在角平分线上. 四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:到角的两边距离相等的点在角平分线上. 事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.即角平分线性质定理的逆定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上. [知识拓展]　(1)角平分线的判定可帮助我们证明角相等,使证明过程简化. (2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合. (3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等. [设计意图]　通过师生共同探究和小组的合作,完成对定理和逆定理的学习. 活动二:角平分线的画法 　　[过渡语]　刚才我们接触了平分角的仪器,其实这种平分角的方法告诉了我们作已知角的平分线的一种方法. 教师引导学生作图:作∠AOB的平分线. 学生讨论作法. 教师总结作法: 1.以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点D,E. 2.分别以点D,E为圆心,适当长为半径,在∠AOB的内部画弧,两弧相交于点C. 3.作射线OC,则OC为所要求作的∠AOB的平分线. 学生作图. 师:你能证明OC为什么是∠AOB的平分线吗? 学生进行交流,写出证明过程, 教师巡回指导. 师:当∠AOB的两边成一直线时(即∠AOB=180°),你会作这个角的平分线吗?这时的角平分线与直线AB是什么关系? 生:垂直. 师:你会作吗? 学生小组操作. 教师说明:实际上节课我们学习的过直线上一点作已知直线的垂线可以看作是作平角的平分线. [设计意图]　用学生自主操作和师生共同探究的方法,激发学生的学习兴趣,唤起学生的参与意识. 三、课堂小结： 1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”. 2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等. 3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,那么它到此角两边一定等距离,无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分线). - 6 -