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15.2二次根式的乘除运算 教学目标 【知识与能力】 1.掌握二次根式的乘除运算法则,会进行简单的二次根式的乘除运算. 2.培养学生的合情推理能力和分母有理化能力. 【过程与方法】 1.在学生原有知识的基础上,经历知识的产生过程,探索新知识. 2.体会用类比的思想研究二次根式的乘除法,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂. 【情感态度价值观】 通过本节课的学习,让学生认识到事物之间是相互联系、相互作用的. 教学重难点 【教学重点】 二次根式的乘除运算. 【教学难点】 二次根式的乘除运算. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【课件1】　电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而收看到电视节目的区域就越广.如果电视塔高h km,电磁波的传播半径为r km,那么它们之间存在近似关系r=2Rh,其中R是地球的半径,如果两个电视塔的高分别为h1,h2,那么它们传播的半径的比为2Rh12Rh2,你能将这个式子化简吗?学了本节后,就很容易解决了. 导入二: 出示问题:【课件2】　(1)一个长方形的长为12 cm,宽为2 cm,求这个长方形的面积; (2)如果一个长方形的面积S=18 cm2,长a=6 cm,求宽b. 〔解析〕　(1)利用长方形的面积公式可以得到S=12×2(cm2).(2)根据长方形的面积公式可得b=Sa=186(cm). 像12×2,186这样的结果能否继续化简,该怎样化简? [设计意图]　两个情境导入都以日常生活中的实际问题为切入点,让学生感受到数学来源于生活,又应用于生活,从而提出问题,设下悬念,让学生带着问题进入到本节课的学习之中,为下面知识的学习做好铺垫. 二、新知构建： 活动一:二次根式的乘除法法则 思路一 问题1:请同学们回忆二次根式的性质是如何得到的? 问题2:【课件3】　计算:(1)4×25=　　　　,4×25=　　　　;  (2)0.25×100=　　　　,0.25×100=　　　　;  (3)416=　　　　,416=　　　　;  (4)3681=　　　　,3681=　　　　.  由计算结果,发现了什么规律?(学生总结出上面式子的规律并填空) 【课件4】 (1)4×25　　　 4×25; (2)0.25×100　　　 0.25×100; (3)416　　　 416; (4)3681　　　 3681. 对于下列各题,是否也有上面的规律呢?请你猜想并利用计算器进行验证. 【课件5】 　①4×7 28;　②5×10　　　 50;③34　　　 34;④25　　　 25. 通过刚才的观察、类比、计算,你能用字母表示二次根式的乘除法法则吗? 学生分组讨论,补充得出结论: (1)a·b=ab(a≥0,b≥0);(2)ab=ab(或a÷b=a÷b)(a≥0,b>0). [知识拓展]　如没有特殊说明,本章中的所有的字母都表示正数.理解二次根式的除法法则应注意两点:(1)二次根式的除法法则中的被开方数的分母b不等于0;(2)运算时约分要彻底. 思路二 问题1:想一想积(商)的算术平方根的性质是什么? 学生回忆:(1)积的算术平方根等于各因数或因式的算术平方根的积,即ab=a·b(a≥0,b≥0); (2)商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即ab=ab(或a÷b=a÷b)(a≥0,b>0). 问题2:根据等式的对称性,把上述公式反过来,你能得到什么结论? (1)a·b=ab(a≥0,b≥0); (2)ab=ab(或a÷b=a÷b)(a≥0,b>0). 问题3:你能用自己的语言叙述出上述公式吗? 归纳: (1)二次根式相乘,实际上就是把被开方数相乘,而根号不变.用语言叙述为:两个算术平方根的积,等于积的算术平方根. (2)二次根式相除,实际上就是把被开方数相除,而根号不变.用语言叙述为:两个算术平方根的商,等于商的算术平方根. 问题4:二次根式的乘(除)法法则与积(商)的算术平方根的性质有什么关系? 说明:教师引导、点拨,可提示与整式的乘法和因式分解的关系进行类比. [设计意图]　学生在教师的指导下主动学习并积极思考相关问题,培养学生用类比的方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括能力. 活动二:例题讲解 【课件6】 　计算下列各式. (1)3×2;　(2)8×32;　(3)20×50. 〔解析〕　直接利用二次根式乘法法则进行计算即可. 学生完成后,找同学对每道题进行讲解、分析,说明过程和思路,学生对于(2)(3)有不同的做法应予以鼓励和表扬. 解:(1)3×2=3×2=6.　(2)8×32=8×32=256=16.　(3)20×50=20×50=1000=1010. 说明:运算的结果,应化为最简二次根式. 【课件7】 　计算下列各式. (1)23;　(2)45÷85;　(3)76÷58. 〔解析〕　直接利用二次根式的除法法则进行计算,注意结果要化成最简二次根式. 学生完成后,集体讲评,重视解题方法的指导. 解:(1)23=23=69=63.　(2)45÷85=45÷85=45×58=12=12=22.　(3)76÷58=76÷58=76×85=2815=2715=210515. [设计意图]　通过例题让学生明确二次根式的乘除法法则,使学生能应用所学的知识解决问题,提高学生解答问题的能力. 活动三:分母有理化 问题:【课件8】　观察32,2615,23,310的特点,有什么发现? (分母都含有二次根式) 你能把它们分母化成有理数吗? 学生分组讨论,推荐4个人到黑板上板书. 教师总结:将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子,像这样,把分母中的二次根式化去,叫做分母有理化. 对应练习:【课件9】　把下列各式分母有理化:411,26,918,523. 让学生完成导入一中的问题. 教师点评:2Rh12Rh2=2Rh12Rh2=h1h2=h1h2h2. 【课件10】　(教材第96页大家谈谈)请就小明和大刚分别计算2×18,273的做法给予评价,并谈谈你的想法. 小明的做法(先运算后化简) 解:2×18=2×18=36=6. 273=273=9=3. 大刚的做法(先化简后运算) 解:2×18=2×2×9=2×32=6. 273=333=3. 说明:小明和大刚的做法都是正确的.在教学过程中,可先由学生独立完成,然后展开交流,让学生体会到不同的思考方法.解答问题的过程可能是不同的,但结果是唯一的. [设计意图]　通过观察,归纳出分母有理化的概念,通过对新课导入问题的解答让学生体会知识来源于生活又应用于生活,使预设的问题得以解决,同时,通过“大家谈谈”让学生体会解题过程的不唯一性. 三、课堂小结： 知识点 内容 公式 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积,等于积的算术平方根 a·b=ab(a≥0,b≥0) 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商,等于商的算术平方根 ab=ab(或a÷b=a÷b)(a≥0,b>0) 分母有理化 把分母中的二次根式化去,叫做分母有理化.应用二次根式的乘法法则可以将分母有理化 - 4 -