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14.2立方根 教学目标 【知识与能力】 1.了解立方根的概念,初步学会用根号表示一个数的立方根,让学生体会一个数的立方根的唯一性. 2.了解开立方与立方互为逆运算,会用立方运算求某些数的立方根,分清一个数的立方根与平方根的区别. 【过程与方法】 1.帮助学生了解数的立方根的概念和性质,会用三次根号表示数的立方根,让学生体会一个数的立方根的唯一性. 2.帮助学生了解开立方运算与立方运算之间的互逆关系,掌握用立方运算求一个数的立方根的方法,帮助学生了解用计算器求某些数的立方根的方法. 3.通过学生的积极参与,培养学生独立思考的能力,提高数学表达和运算能力. 【情感态度价值观】 1.通过立方根的学习,认识数学与人类生活的密切联系,激发学生的学习兴趣. 2.通过探究活动,锻炼克服困难的意志,增强自信心,激发学生的探索热情. 教学重难点 【教学重点】 立方根的概念和性质. 【教学难点】 区别立方根和平方根. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 师:请同学们回忆我们是怎样定义平方根的?它的符号怎么表示? 生:如果x2=a,那么x叫做a的平方根(或二次方根).符号表示:±a,其中a≥0.(教师板书) 师:我们还学习了一种新的运算,是什么运算呢?它是怎么定义的? 生:开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方,与平方互为逆运算. 师:那么平方根有什么样的性质呢? 生:正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根还是0;负数没有平方根. 教师引导学生回忆,并回答出平方根的定义、符号表示及性质,对定义及符号进行板书,性质利用表格的形式板书出来,有利于跟本节课的新知识进行对比. 被开方数 平方根 正数 2个,互为相反数 0 0 负数 无 　　[设计意图]　通过对平方根的复习,可以增加学生对平方根的印象,同时,教师也能通过学生复习过程的表现,间接了解学生对知识的掌握程度,也能让学生在学习完立方根后,更好地对这两个概念进行比较. 导入二: 传说很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干了,于是大家一起到神庙里去向神祈求.神说:“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小,如果你们给我做一个比它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降下雨水.”大家觉得这好办,于是很快做好一个新祭坛送到神那儿,新祭坛的边长是原祭坛的2倍,可是神更加恼怒,他说:“你们竟愚弄我!这个祭坛的体积根本不是原来的2倍,我要惩罚你们!” 要做一个体积是原来2倍的新祭坛,它的边长应该是原来的多少倍呢?学完这节课,同学们一定会有所收获. [设计意图]　通过故事情境的导入,让学生对本节内容的学习充满了期待,能更加积极地投入到本节的学习之中.一个良好的学习态度,是学生学习知识的基础,学生积极性的调动,更是一节课成功的灵魂. 二、新知构建： 活动一:感知立方根 【课件1】　(教材第66页观察与思考)如图所示,已知小正方体的棱长为2,那么它的体积是多少?反过来,如果大正方体的体积V=27,你能不能求出它的棱长x呢? (1)想一想:正方体的体积公式是什么? 体积=棱长3 (2)你能解答这道题吗? 指名口述:由正方体的体积公式可知,棱长是2的正方体的体积是23=8.因为33=27,所以当x3=27时,x=3. 说明:将此题转化为求一个数,使它的立方是27,得出这个数是3. 活动二:立方根的定义 　　[过渡语]　我们知道了平方根的定义,那么什么叫做立方根呢?请同学们完成下面的问题. 【课件2】　(教材第66页试着做一做)求满足下列各式的x的值. (1)x3=-1;　(2)x3=64;　(3)x3=0.008;　(4)x3=-1125. 指导学生独立完成,然后指名回答. 解:(1)x=-1.　(2)x=4.　(3)x=0.2.　(4)x=-15. 本题是已知一个数x的立方,求这个数的值,而平方根是已知一个数的平方,求这个数,从而学生可以类比平方根的概念归纳出立方根的概念. 师:对比平方根的定义,你能归纳出立方根的定义是什么吗? 学生谈论思考,教师引导归纳概念: 概念归纳:一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做a的三次方根.(教师板书) 师:在上面问题中,因为33=27,所以3是27的立方根. 类比开平方的运算,我们也可以定义出开立方运算:求一个数的立方根的运算,叫做开立方.(板书) 正如开平方与平方互为逆运算一样,开立方与立方也互为逆运算.因此,我们可以通过开立方与立方的这种关系来求一个数的立方根. [设计意图]　联系平方根的概念,让学生类比,给出立方根的概念,学生初步体会到立方根与平方根的联系和区别. 活动三:立方根的性质及表示方法 1.立方根的性质 思路一 探究:根据立方根的意义填空,看看正数、0、负数的立方根各有什么特点? 教师将题目板书出来,然后要求学生口答,最后让学生观察、讨论,归纳出立方根的性质. 【课件3】 ①因为23=8,所以8的立方根是(2); ②因为(0.5)3=0.125,所以0.125的立方根是(0.5); ③因为(-0.5)3=-0.125,所以-0.125的立方根是(-0.5); ④因为03=0,所以0的立方根是(0); ⑤因为-233=-827,所以-827的立方根是-23. 【课件4】　(教材第67页大家谈谈) 1.一个正数有几个立方根?正数的立方根是正数还是负数? 2.一个负数有几个立方根?负数的立方根是正数还是负数? 3.0的立方根是什么数? 生:一个正数有一个立方根,正数的立方根是正数;一个负数有一个立方根,负数的立方根是负数;0的立方根是0. 归纳:任何数(正数、负数、0)都有立方根,并且只有一个. 教师根据学生的回答将以下的表格填写完整,可以清晰地看出平方根和立方根的区别,同时要求学生记在笔记上. 被开方数 平方根 立方根 正数 两个,互为相反数 有一个,是正数 0 0 0 负数 无 有一个,是负数 　　教师还要指导学生:我们发现,进行立方运算,当底数互为相反数时,它们的幂也互为相反数,这与平方运算不同.平方运算的底数互为相反数,但它们的幂相等,故一个正数的平方根有两个,但一个正数的立方根却只有一个. [设计意图]　让学生动手计算,亲身感受任何一个数都有一个立方根,以及一个数的立方根的唯一性,并体会到开立方与立方互为逆运算,求一个数的立方根可以通过立方运算来求的道理.教学中,教师注意引导学生养成边做边总结的习惯,有利于学生明晰道理. 思路二 想一想:平方根的性质是什么? 学生思考后得出:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数;(2)0的平方根是0;(3)负数没有平方根. 　　[过渡语]　那么立方根又有怎样的性质呢?下面我们共同探讨一下. 【课件5】　求下列各组数的立方根. (1)125,0.004,164,338; (2)0; (3)-125,-0.004,-164,-338. 说明:引导学生说出以上三组数的立方根,并讨论能得出哪些结论? 教师根据学生的回答进行归纳: 【总结归纳】 一个正数有一个正的立方根;0有一个立方根,是它本身;一个负数有一个负的立方根;任何数都有唯一的立方根. 大多数同学也会得到,互为相反数的两个数的立方根也互为相反数,教师也要及时加以表扬和肯定. [规律总结] (1)求一个数的立方根时要注意:一个正数只有一个正的立方根,一个负数只有一个负的立方根,这和一个正数有两个平方根,一个负数没有平方根不同. (2)立方根等于它本身的数只有三个:0,-1,1. (3)当一个分数是带分数时,先将它化为假分数再求它的立方根. 2.立方根的表示方法 　　[过渡语]　通过计算我们会发现,这样表述一个数的立方根太复杂了,是否立方根也能像平方根一样用一个符号来表示呢? 类似于平方根,一个数a的立方根用符号“3a”表示,读作“三次根号a”,其中,a是被开方数,3是根指数. 师:现在我们学习了立方根的符号表示,就可以用立方根的符号表示一个数的开立方运算. 【课件6】 　求下列各数的立方根. (1)827;　(2)-8;　(3)-0.064. 解:(1)因为233=827,所以827的立方根为23,即3827=23. (2)因为(-2)3=-8,所以-8的立方根为-2,即3-8=-2. (3)因为(-0.4)3=-0.064,所以-0.064的立方根为-0.4,即3-0.064=-0.4. 教师在书写过程中要重点强调:“3a”的根指数3不能省略,同时3的书写位置也要重点注意.此处教师可以通过举反例的方法来引起学生的注意. 问题1:学习了立方根的符号后,大家是否有个疑问,立方根有根指数3,那么算术平方根有没有根指数呢?如果有,它的根指数是多少? 教师通过学生的回答情况,强调:算术平方根也有根指数,且为2,因此a也可以读作“二次根号a”,但是这里的根指数可以省略. 问题2:我们已经学过算术平方根的符号中的a必须是非负数,那么立方根的符号中的a的取值有什么限制吗? 生:立方根的符号中的a没有限制,可以取任何数. 教师通过这个问题总结出:任何数都有立方根,且它的立方根都只有一个,但只有非负数才有平方根. [知识拓展]　平方根与立方根的联系与区别. 联系:①都有相应的乘方运算与开方运算互为逆运算,开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算;②0的平方根与立方根都是它本身. 区别:①用根号表示平方根时,根指数2可以省略,而用根号表示立方根时,根指数不能省略;②平方根只有非负数才有,而立方根任何数都有.如-8没有平方根,但有立方根,为-2;③正数的平方根有2个,而正数的立方根只有1个.如2的平方根是±2,而立方根只有32. 【课件7】　探究:因为3-8=　　　　,-38=　　　　,所以3-8　　　　-38.  因为3-0.125=　　　　,-30.125=　　　　,所以3-0.125　　　　-30.125.  问题3:请同学们计算出上式,看看你能得出什么结论? 学生计算出各题的答案后,能得出两者是相等的,教师再引导学生总结出一般规律:①3-a+3a=0;②3-a=-3a. 开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验结果的正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即3-a=-3a.(互为相反数的两个数的立方根也互为相反数) 问题4:想一想:一个数a的立方的立方根等于多少?请举出几个例子加以说明. 教师指导学生举正数、负数、0的立方的立方根,从中发现规律. 归纳:一个数的立方的立方根等于它本身,即3a3=a. 【课件8】 　求下列各式的值. (1)3-0.027;　(2)3-1216. 〔解析〕　教师分析出每题的含义,然后再求解. 含义:(1)表示-0.027的立方根.(2)表示-1216的立方根. 解:(1)3-0.027=-30.027=-30.33=-0.3. (2)3-1216=-31216=-3163=-16. 【课件9】　拓展练习. (1)3-41727;　(2)3-8+27;　(3)3-8+327. 教师重点关注学生的解题格式,以及第二题的计算顺序是否正确,再将第三题与之对比,让学生体会其中的区别.同时,教师要向学生强调混合运算中的计算顺序问题. 解:(1)3-41727=3-12527=-312527=-53. (2)3-8+27=319. (3)3-8+327=-2+3=1. [设计意图]　在了解立方根的性质的同时,让学生掌握立方根的表示方法;通过对问题的探究,让学生掌握立方根的一些规律,从而能够灵活应用.例题着重于弄清立方根的概念,不仅让学生会求立方根,还让学生学会从开立方与立方是互为逆运算中寻找解题途径. 三、课堂小结： 立方根的定义 一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做a的三次方根. 立方根的表示方法 一个数a的立方根,用符号“3a”表示,读作“三次根号a”,其中,a是被开方数,3是根指数. 立方根的性质 (1)一个正数有一个立方根,正数的立方根是正数; (2)一个负数有一个立方根,负数的立方根是负数; (3)0的立方根是0. - 6 -