13.2命题与证明.doc

湖北鸿鹄志文化传媒有限公司 13.2 命题与证明 专题一 三角形中的计算与证明题 1.已知△ABC的高为AD，∠BAD=70º，∠CAD=20º，求∠BAC的度数。 2.如图，已知AB∥DE，试求证：∠A+∠ACD+∠D=3600（你有几种证法?） 3.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小明和小虎分别给出了下列证法. 小明：在△ABC中，延长BC到D， A B C D ∴∠ACD=∠A+∠B（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）. 又∵∠ACD+∠ACB=180°（平角定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等式的性质）. 小虎：在△ABC中，作CD⊥AB（如图9）， ∵CD⊥AB（已知）， ∴∠ADC=∠BDC=90°（直角定义）. ∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°（直角三角形两锐角互余）. ∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°（等式的性质）. ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. 请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法，与同伴交流. 专题二 证明中的探究题 4.（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？ （2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C(填“＞”“＜”“=”)，当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝______. （3）如图③,是由图①的△ABC沿DE折叠得到的,如果∠A＝30°,则x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－ ＝ ,猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为 . 图① 图② 图③ 5.如图，已知，探究之间的关系，并写出证明过程． 【知识要点】 1.判断一件事情的语句叫命题,命题都由题设和结论两部分构成,分为真命题和假命题,都可以改写成“如果……那么……”的形式,任何一个命题都有逆命题. 2.三角形内角和等于180°,可利用平行线的有关知识证明.三角形三个外角的和等于360°,每个外角等于和其不相邻的两个内角的和,因此三角形的外角大于和它不相邻的任一个内角. 【温馨提示】 1.命题有逆命题,但定理不一定有逆定理. 2.要说明一个命题不成立,只要举出一个反例即可,反例满足命题的题设,但不满足结论. 3.“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”不能说成“三角形的一个外角大于一个内角”. 4.在证明一个命题的正确性时,每步都要有根据,根据可以是公理、定义、已知条件或已经证明的定理等. 【方法技巧】 1.要会判断一个语句是否为命题，需注意两点：（1）命题必须是一个完整的语句,通常是陈述句(包括肯定句和否定句);(2)必须对某件事情做出肯定或否定的判断.两者缺一不可. 2.在证明或计算三角形的角度大小关系时,要注意“三角形三个内角的和等于180°”这一隐含条件,合理地构造方程或方程组,以便正确求解. 3.要证明角的不等关系时,经常用三角形的外角性质来证明,在证明时,如果直接证明有难度,可连接两点,或延长某边,构造三角形,使求证的大角(或它的一部分)处于某个三角形的外角的位置上,小角处在内角的位置上,再结合不等式的性质证明. 参考答案 1.（1）当高AD在△ABC的内部时，因为∠BAD=70º，∠CAD=20º，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70º+20º=90º;（2）当高AD在△ABC的外部时，因为∠BAD=70º，∠CAD=20º，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70º-20º=50º.综合（1）、（2）可知∠BAC的度数为90º或50º. 2.证法一：如图1，过点C作CF∥AB。∵AB∥CD（已知），∴CF∥DE（两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠A+∠1=1800 ∠D+∠2=1800（ 两直线平行，同旁内角互补），∴∠A+∠1 +∠2+∠D=3600（等式性质），即∠A+∠ACD+∠D =3600 证法二：如图2，过点C作CF∥AB。∵AB∥CD（已知），∴CF∥DE（两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠A=∠ACF ∠D=∠DCF（ 两直线平行，内错角相等），∵∠ACD +∠ACF+∠DCF=3600（ 周角定义），∴∠A+∠ACD+∠D =3600（ 等式性质） 3.两名同学的证法都不对.因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的. 另证：已知：如图10,△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：过点A作EF∥BC， ∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C(两直线平行，内错角相等). ∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角定义)， ∴∠B+∠BAC+∠C=180°. 4.(1)∵∠1+∠2+∠A=180°, ∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和等于180°), ∴∠1+∠2=∠B+∠C(等式的性质); (2) = 280° (3)300° 60° ∠BDA＋∠CEA=2∠A 5.． 　　证明：如图6，连接．∵（已知）， 　　∴（两直线平行，同旁内角互补）． 　　又∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 　　∴， 　　∴， 也就是， 即．