11.3 公式法.docx

11.3 公式法 教学目标 1.会用平方差公式进行因式分解. 2.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维. 3.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯. 教学重难点 【重点】 运用平方差公式进行分解因式. 【难点】 把多项式看成平方差公式中一个字母的因式分解。 教学准备 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 复习平方差公式的特点. 教学过程 新课导入 导入一: 在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即在一个多项式中,若各项都含有相同的因式,即公因式,就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式. 如果一个多项式的各项不具备相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法. 请看乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,① 左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是a2-b2=(a+b)(a-b),② 左边是一个多项式,右边是整式的乘积,大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否为因式分解? 符合因式分解的定义,因此是因式分解. 第①个等式可以看做是整式乘法中的平方差公式,第②个等式可以看做是因式分解中的平方差公式. [设计意图] 引导学生从感性认识上升到理性认识,区别整式乘法与分解因式的同时,认识学习新的分解因式的方法——公式法. 导入二: 填空:(1)(x+5)(x-5)= ; (2)(3x+y)(3x-y)= ; (3)(3m+2n)(3m-2n)= . 它们的结果有什么共同特征? 尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积: (1)x2-25= ; (2)9x2-y2= ; (3)9m2-4n2= . [设计意图] 学生通过观察、对比,把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用,发展学生的观察能力与逆向思维能力 新授 [过渡语] 整式相乘与因式分解是互为相反的过程.如果把学过的乘法公式逆过来使用,那么就可以将某些多项式分解因式. 活动1 利用平方差公式进行分解 1.利用平方差公式的特点进行因式分解 请大家观察式子a2-b2,找出它的特点. a2-b2是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差. 如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式的和与差的积. 如x2-16=x2-42=(x+4)(x-4). 9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n). 实际上,把平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来,就得到a2-b2=(a+b)(a-b). [设计意图] 让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关结论进行实例练习. 2.试着做一做 试着将下面的多项式分解因式. (1)p2-16= ; (2)y2-4= ; (3)x2-= ; (4)4a2-b2= . 活动2 例题讲解 [过渡语] 如果一个多项式可化为两个整式的平方差的形式,那么它就可以用平方差公式分解因式了. 例1 (教材第148页例1)把下列各式分解因式. (1)4x2-9y2;(2)(3m-1)2-9. 解:(1)4x2-9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)·(2x-3y). (2)(3m-1)2-9=(3m-1)2-32=(3m-1+3)(3m-1-3)=(3m+2)(3m-4). 例2 (教材第148页例2)把下列各式分解因式. (1)a3-16a; (2)2ab3-2ab. 解:(1)a3-16a=a(a2-16)=a(a-4)(a+4). (2)2ab3-2ab=2ab(b2-1)=2ab(b+1)(b-1). [知识拓展] 当多项式有公因式时,应先提出公因式,再看能否利用平方差公式进行因式分解. 课堂小结 平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b). 我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.若多项式各项含有公因式,则第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的结构特点,若符合,则继续进行. 第一步分解因式以后,所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式都不能再分解为止. 课堂练习 1.下列各式不能用平方差公式分解的是 ( ) A.-a2+b2 B.-x2-y2 C.49x2y2-z2 D.16m4-25n2 解析:平方差公式中两项的符号必须是异号.故选B. 2.把45ab2-20a分解因式的结果是 ( ) A.5ab(9b-4) B.a(45b2-20) C.5ab(9b-20a) D.5a(3b+2)(3b-2) 解析:45ab2-20a=5a(9b2-4)=5a(3b+2)(3b-2).故选D. 3.如果x+y=2013,x-y=1,那么x2-y2= . 解析:x2-y2=(x+y)(x-y)=2013.故填2013. 4.用平方差公式分解因式. (1)9x2-16;(2)x3-x;(3)-a4+b2. 解:(1)9x2-16=(3x+4)(3x-4). (2)x3-x=x(x+1)(x-1). (3)-a4+b2=-=. 板书设计 活动1 利用平方差公式进行分解 活动2 例题讲解 例1 例2 教学反思 成功之处 本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础,给学生留有充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程,并能用符号合理地表示出分解因式的关系式,同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性. 不足之处 平方差公式在教学中比较偏重恒等式变形的理解,忽略了从逆运算角度进行强化理解. 改进设计 有意识地培养学生逆向思考问题的习惯,不仅对提高解题能力有益,更重要的是改善学生学习数学的思维方式,有助于形成良好的思维习惯,激发学生的创新开拓精神,培养良好的思维习性,提高学习效果、学习兴趣,及思维能力和整体素质.