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14.1平方根（2） 教学目标 【知识与能力】 1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根. 2.理解算术平方根与平方根的联系与区别. 【过程与方法】 1.通过教学过程中学生的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力. 2.通过举例使学生明确平方根与算术平方根的区别和联系. 【情感态度价值观】 1.学生通过积极参与教学活动获取新知,通过小组活动发展独立思考和竞争意识. 2.通过主动参与使学生勇于面对困难并能够解决困难,发展合作交流意识. 教学重难点 【教学重点】 算术平方根的概念和性质. 【教学难点】 对算术平方根意义的理解. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【课件1】　学校要举行美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上他自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少? 师:怎样算出画布的边长为5 dm的呢?(思考1分钟) 【课件2】　填表: 正方形面积 1 9 16 36 425 正方形边长 　　教师在学生完成的基础上与学生共同总结:已知正方形的面积求边长,本质上就是已知一个正数的平方,求这个正数的问题.那么这个正数与这个正数的平方是什么关系呢?下面我们来共同探讨这个问题. [设计意图]　从正方形的面积,引出求一个正数的正的平方根,让学生初步认识算术平方根,为下面的学习做好铺垫. 导入二: 同学们,2003年10月15日是我们每个中国人值得骄傲的日子.因为这一天,“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功,实现了中华民族千年的飞天梦想(多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面).那么你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度是在什么范围吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒).v1,v2的大小满足v12=gR,v2=2gR,怎样求v1,v2呢?这就要用到算术平方根的概念,也就是本节要学习的内容. [设计意图]　“神舟”五号成功发射和安全着陆,标志着我国在攀登世界科技高峰的征程上又迈出具有重大历史意义的一步,是我们伟大祖国的荣耀.此内容有感染力,使学生对本章知识的应用价值有一个感性认识,同时激发学生的好奇心和学习的兴趣.这里的计算实际上是已知幂和指数求底数的问题,是乘方的逆运算,学生以前没有见过,由此引出了本章所要研究的主要内容,以及研究这些内容的大体思路. 导入三: 【课件3】 1.(1)625的平方根是多少?这两个平方根的和是多少? (2)-7和7是哪个数的平方根? (3)正数m的平方根怎样表示? (4)求下列各数的平方根. ①64;　②0;　③(-0.4)2;　④-1232;　⑤16;　⑥(-4)3. 2.已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少? 解:设正方形的边长为x,则x2=a,根据平方根的定义,得x=±a.因为正方形的边长是正数,所以正方形的边长是a. [设计意图]　复习巩固平方根的知识,进一步掌握平方根的计算方法,为学习算术平方根做准备. 二、新知构建： 活动一:感知——算术平方根的定义 思路一 　　[过渡语]　上面的问题,可以归纳为“已知一个正数的平方,求这个正数”的问题.实际上是乘方运算中,已知一个数的指数和它的幂求这个数. 一个正数的两个平方根互为相反数,我们把一个正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根. 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为a,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.也就是,在等式x2=a(x≥0)中,规定x=a. 思考:这里的数a应该是怎样的数呢? 试一试:你能根据等式112=121说出121的算术平方根吗?并用等式表示出来. 解:121的算术平方根是11,用等式表示为121=11. [知识拓展]　平方根与算术平方根的区别和联系. 区别:(1)概念不同:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根;非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根. (2)表示方法不同:正数a的平方根表示为±a;正数a的算术平方根表示为a. (3)个数及取值不同:一个正数的算术平方根只有一个,是正数;一个正数的平方根有两个,一正一负且互为相反数. 联系:(1)具有包含关系:平方根包含算术平方根,一个数的算术平方根是一个数的平方根中的一个. (2)存在条件相同:平方根和算术平方根都只有非负数才有. (3)0的平方根、算术平方根都是0. (4)求算术平方根、平方根都可看成是平方的逆运算. 思路二 说明:正数a有两个平方根(表示为±a),我们把其中正的平方根,叫做a的算术平方根,表示为a. 0的平方根也叫做0的算术平方根,因此0的算术平方根是0,即0=0. 几何图形可以直观地表示算术平方根的意义,面积为a(a>0)、边长为a的正方形,边长a就表示a的算术平方根. “　”是算术平方根的符号,a就表示a的算术平方根. 思考:a的被开方数是什么样的数?它的结果又是怎样的数? a的意义有两点: (1)被开方数a表示非负数,即a≥0; (2)a也表示非负数,即a≥0. 也就是说,非负数的算术平方根是非负数,负数不存在算术平方根,即a<0时,a无意义. 如:9=3,8是64的算术平方根,-6无意义. 强调:这里需要说明的是,算术平方根的符号“　”不仅是一个运算符号,如a≥0时,a表示非负数a进行开平方运算,也是一个性质符号,即表示非负数a的非负平方根. 例如,9表示对9进行开平方运算,也表示9的正的平方根. [设计意图]　让学生在小组间进行必要的合作与交流,以加深学生对平方根及算术平方根意义的理解. 活动二:强化——算术平方根的计算 　　[过渡语]　理解了算术平方根的意义以及表示方法,我们就可以求出一个非负数的算术平方根. 【课件4】　(教材第63页做一做)求下列各数的算术平方根. (1)144;　(2)0.01;　(3)449;　(4)132;　(5)(-16)2. 1.引导学生正确应用算术平方根的表示方法计算. 2.学生口述过程. 解:(1)12.　(2)0.1.　(3)27.　(4)13.　(5)16. 观察“做一做”中(4)和(5)的结果,你有什么发现? 小组讨论得出:a2=a=a(a>0),0(a=0),-a(a<0). 语言表述:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. 说明:首先让学生体验一个数的算术平方根应满足怎样的等式,应该用怎样的符号来表示,在此基础上再求出结果.在开始阶段,宜让学生适当模仿,熟练后直接写出结果. 【课件5】 　计算下列各式. (1)1.69;　(2)-225;　(3)±949; (4)-(-17)2. 说明:要让学生明白各式所表示的意义;根据平方关系和算术平方根的概念进行求解,注意解题格式. 解:(1)1.69=1.32=1.3.　(2)-225=-152=-15.　(3)±949=±372=±37.　(4)-(-17)2=-172=-17. 【课件6】 　某小区有一块长方形草坪,为了加强保护,小区管理人员准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来.已知该长方形草坪的长是宽的4倍,草坪的面积是900 m2,求所需篱笆的总长度. 〔解析〕　(1)如果设所需篱笆的宽为x m,它的长是多少?怎样列方程?(2)怎样求出x的值? 解:设这块长方形草坪的宽为x m,则长为4x m. 因为长方形草坪的面积是900 m2,所以4x·x=900,即x2=225. 所以x=±225=±152=±15. x=-15不合题意,舍去. 所以x=15,2×(15+4×15)=150(m). 答:所需篱笆的总长度是150 m. [设计意图]　体会平方根和算术平方根的实际意义,理解实际情境中值的取舍;规范步骤,让学生养成良好的书写习惯. 三、课堂小结： 算术平方根的定义 一个正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根. 算术平方根的表示方法 a(a≥0)(即非负数有算术平方根) a2的意义 表示一个数的平方的算术平方根,它等于这个数的绝对值.即: a2=a=a(a>0),0(a=0),-a(a<0). 注意的问题 (1)只有非负数有算术平方根;(2)算术平方根具有双重非负性,一个是被开方数是非负数,二是结果是非负数;(3)a(a≥0)的最小值是0. - 4 -