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13.3全等三角形的判定（4） 教学目标 【知识与能力】 1.掌握三角形全等中的两个三角形的特殊位置关系,能利用平移或旋转这两种变换证明两个三角形全等. 2.能熟练使用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等. 【过程与方法】 经历探索的过程,让学生体会平移或旋转这两种变换,培养学生的探究能力和合作精神.. 【情感态度价值观】 通过观察、思考、合作,培养学生不断总结的良好习惯,体会知识间的密切联系. 教学重难点 【教学重点】 “角边角”及“角角边”的内容. 【教学难点】 分析问题,寻找判定两个三角形全等的条件. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 1.前面我们学过哪些全等三角形的判定方法?你能用语言叙述出来吗? 【课件1】　如图所示,已知∠ABC=∠DEF,AB=DE,试说明ΔABC≌ΔDEF. (1)若以“SAS”为依据,还需添加一个条件为　　　　;  (2)若以“ASA”为依据,还需添加一个条件为　　　　;  (3)若以“AAS”为依据,还需添加一个条件为　　　　.  2.思考:一个图形可以进行哪些变换?(平移或旋转) 【课件2】　你能发现如图所示的两组图形中两个三角形有什么美妙的关系吗? (甲:将ΔABC沿直线BC平移得到ΔDEF;乙:将ΔABC绕点A旋转180°得到ΔAED) 议一议: 各图中的两个三角形全等吗? 启示:一个图形经过平移、旋转后,变化了位置,但形状、大小都没有改变,所以平移、旋转前后的图形全等. [设计意图]　创设情境,激发学生的学习兴趣,让学生体会图形经过平移或旋转后得到的图形与原图形全等.同时对全等知识的复习有利于学生形成知识网络,为学习新知、掌握图形的变换与全等的证明打下基础. 导入二: 【教师活动】　提出问题:怎样画出一个图形经过平移或旋转变换后得到的图形? 请你任意画一个三角形,分别画出这个三角形经过平移、旋转后的图形. 【学生活动】　小组内交流、动手操作,利用直尺和量角器等画图形. 师:想一想,平移、旋转后的图形与原图形有怎样的关系? 【学生活动】　组内交流,得出:变换后的图形与原图形形状、大小没有发生变化,两个三角形全等. 【教师活动】　多媒体演示三角形的平移、旋转两种图形变换,让学生找出相应图形的对应角和对应边. [设计意图]　通过动手操作,让学生直观感知三角形的全等变换.从中发现规律,得出全等三角形的特殊位置关系. 导入三: “几何”这个词来源于希腊文,原意是土地测量,真正把几何总结成一门具有严密理论的学科的是希腊杰出的数学家欧几里得,他非常详尽地搜集了当时所能知道的一切几何事实,写成了数学史上的早期巨著—《几何原本》.欧几里得的《几何原本》共十三卷,第一卷讲的就是三角形全等的条件.在几何问题中存在着很多的秘密等待我们去发现和探索,今天我们就来研究具有平移、旋转等特殊位置关系的全等三角形. [设计意图]　通过史实的介绍激发学生学习的好奇心,让学生积极投入到问题的探究中,加深对知识探究的欲望. 二、新知构建： 活动一:感知三角形的全等变换 思路一 【课件3】　拿一张纸对折后,剪两个全等的三角形,试一试,如果其中一个三角形不动,怎样移动另一个三角形,能够得到如图所示的各图形. 说明:这一步要求小组同学合作完成,在小组内交流移动的过程与方法. 我们知道两个全等的三角形通过平移或旋转这两种变换,可以得到各种各样美妙的图形.请你分别再画出几种具有类似位置关系的两个三角形. 说明:可以让学生摆一摆两个全等的三角形,把具有类似位置关系的图形画下来,并加以展示. [设计意图]　通过学生的动手操作,体会图形变换的思想,让学生明确变换前后的两个三角形全等,同样,如果两个三角形全等,有时也有类似的位置关系.在这个过程中,让学生移一移、摆一摆、画一画,培养了学生的动手能力,有利于对问题的感知. 思路二 【课件4】　出示教材第48页“观察与思考”. 【提出问题】　每组的两个三角形,其中一个三角形经过怎样的图形变换,能够与另一个三角形重合? 观察每组图形中的两个三角形得出:(1)(2)中的一个三角形经过平移可以得到另一个三角形;(3)(4)(5)(6)中的一个三角形经过旋转可以得到另一个三角形. 【课件5】　如图所示,在等边三角形ABC中,取各边中点D,E,F,连接DE,EF,DF. 提问:图形中有哪些三角形是全等的?哪个三角形可以看成是另一个三角形经过平移或旋转得到的? 学生组内交流后派代表发言,得出:图形中的ΔADF,ΔBDE,ΔEFC,ΔDEF都全等,其中任何一个三角形都可以看成是由另外三个三角形经过平移或旋转得到的. [知识拓展]　一般来说,两个全等三角形的相互位置关系无论怎样变化,总离不开“转、移、翻”这三种基本形式,如图所示,各组图形中的两个三角形都是能够完全重合的两个三角形,它们都是全等三角形. [设计意图]　通过感知三角形平移、旋转,培养学生的观察能力和分类思想;通过对问题的讨论,充分发挥学生的小组合作精神,培养学生思维的严密性. 活动二:例题讲解 　　[过渡语]　实际上我们遇到的全等三角形的判定中,发现两个三角形间的平移或旋转关系,能够得到命题证明的图形,较快地解决问题. 【课件6】 　已知:如图所示,在ΔABC中,D是BC的中点,DE∥AB,交AC于点E,DF∥AC,交AB于点F.求证:ΔBDF≌ΔDCE. 问题1:观察图形,ΔBDF和ΔDCE有怎样的位置关系?可以怎样变换得到? (将ΔBDF沿BC方向向右平移线段BD的长度,可使ΔBDF与ΔDCE重合) 问题2:要证明ΔBDF与ΔDCE全等,题目中已知和未知的元素是什么?要采用哪种判定方法进行证明? (由D是BC的中点,可知BD=DC,再根据平行得到相应的角相等,最后由“ASA”得到两个三角形全等) 让学生写出证明过程,注意指导学生的书写要规范. 【课件7】 　已知:如图所示,在ΔABC中,D,E分别是AB,AC的中点,CF∥AB,交DE的延长线于点F.求证:DE=FE. 问题1:观察图形中哪两个三角形具有特殊的位置关系. (观察图形可知,将ΔFCE绕点E逆时针旋转180度,它可以和ΔDAE重合) 问题2:要证明DE=FE,需要先证什么? (证明线段相等,可先证ΔDAE≌ΔFCE) 说明:在证线段相等时,如果两条线段不在同一个三角形中,可以证这两条线段所在的两个三角形全等. 请你结合图形完成证明过程. 让学生总结由例1、例2发现的问题. 在三角形全等证明的过程中,要找到图形中具有平移、旋转这两种位置关系的三角形,找出题目中的条件,然后再进行证明. [设计意图]　通过例题的设计,让学生发现规律、总结规律,感知知识的形成过程. 三、课堂小结： 1.全等三角形是几何图形全等中的一种,根据全等变换,两个全等三角形有时可以看成是一个三角形由另一个三角形经过平移或旋转得到.当两个三角形存在这种位置关系时,这两个三角形就全等. 2.三角形全等的证明,要从图形的各种变换中发现图形全等的特征,善于将复杂的图形拆分成简单的图形来识别全等三角形,要结合题目的已知条件和结论选择合适的条件证明两个三角形全等.在证明的过程中要做到步步有据,注意步骤的规范. - 5 -