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13.1命题与证明 教学目标 【知识与能力】 1.理解逆命题的概念,能够判断命题的真假. 2.会把命题改写成“如果……那么……”的形式. 3.了解逆定理及证明的概念,会对一个真命题进行证明. 【过程与方法】 1.感受几何中推理的严谨性,掌握推理的方法. 2.通过对几何问题的演绎推理,体会证明的必要性,培养学生的逻辑推理能力. 【情感态度价值观】 通过积极参与,获取正确的数学推理方法,理解数学的严谨性,并培养与他人合作的意识. 教学重难点 【教学重点】 1.让学生弄清命题的条件和结论,熟悉命题的形式. 2.理解逆定理和证明的概念,能进行简单的证明. 【教学难点】 　理解证明的必要性. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 情境:小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》. 小亮:“哈!这个黑客终于被逮住了.” 小刚:“是的,现在网络广泛应用于我们的生活中,给我们带来了方便,但…”. 坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话,一边也在悄悄议论着. “这个黑客是小偷吗?” “可能是喜欢穿黑衣服的贼.” 你听完这节片段的故事,有何想法? 同学们各抒己见,老师给予同学的各种回答评价后,发表自己的看法:在日常生活中,我们会遇到许多概念,假如不对这些概念下定义,别人就无法理解这些概念的含义,以致无法正常地进行交流.同样,在数学学习中,要进行严格的论证,也必须首先对所涉及的概念下定义.本节我们就一起学习命题与证明. 导入二: 在电影《流浪者》中,法官和流浪者有这样一段对话,法官说:“贼的儿子永远是贼,因为你是贼的儿子,所以永远是贼.”同学们,法官这个推理对吗?显然是错误的,你知道这个荒谬的结论错在哪里吗?学完本节课“命题与证明”你就会明白了. [设计意图]　通过风趣幽默的对话,让学生感知证明的重要性,从而激发学生的求知欲望,能够更好地投入到本节课的学习之中,为学习本节课的知识做好铺垫. 导入三: 师:我们已经学过一些图形的特性,如“三角形的内角和等于180度”“三条边相等的三角形是等边三角形”等.根据我们已学过的图形的特性,试判断下列句子是否正确. 1.如果两个角是对顶角,那么这两个角相等. 2.两直线平行,同位角相等. 3.同旁内角相等,两直线平行. 4.平行四边形的四条边相等. 5.直角都相等. [设计意图]　通过对以前学过知识的掌握能够判断一个命题的真假,初步感知真命题和假命题,从而自然地引入新知. 二、新知构建： 活动一:真假命题与互逆命题 思路一 【课件1】　观察下面两个命题: (1)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; (2)两条直线被第三条直线所截,如果这两条直线平行,那么同位角相等. 引导学生思考: (1)在这两个命题中,其中一个命题的条件和结论,与另一个命题的条件和结论有怎样的关系? (2)请再举例说明两个具有这种关系的命题. 归纳:像这样,一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题,称为互逆命题. 在两个互逆的命题中,如果我们将其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就是这个原命题的逆命题. 让学生完成教材第32页“做一做”,指出原命题和逆命题的真假性. 教师在学生思考的基础上指导学生注意语言的规范性和逻辑性. [知识拓展]　每一个命题都有逆命题,只要将原命题的条件改成结论,并将结论改成条件,便可得到原命题的逆命题,但有很多命题的逆命题并不是简单地将原命题的条件与结论互换,必须正确运用数学语言. 强调:每个命题都有逆命题,但原命题正确,它的逆命题未必正确.要说明一个命题是假命题,只要举出反例就可以了. 例如:“若a=b,则a=b”这个命题是假命题,只要举出两个数的绝对值相等,但这两个数不相等的情况就可以判断这个命题是假命题.如:5=-5,但5≠-5. 让学生举出反例说明:“如果a+b>0,那么a-b>0”是个假命题. [设计意图]　明确真、假命题与互逆命题,通过区分两类概念,从中体会要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例就可以了,培养学生举反例进行说明的能力. 思路二 　　[过渡语]　刚才通过实例,我们初步了解了推理的重要性,首先我们来学习真假命题与互逆命题. 1.命题的条件和结论 教师讲解:在数学中,许多命题是由已知条件、结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.这样的命题常可以改写成“如果……那么……”的形式,用“如果”开始的部分是条件,“那么”开始的部分是结论. 有的命题的条件和结论不十分明显,可以将它写成“如果……那么……”的形式,就可以分清它的条件和结论了.例如:命题“直角都相等”可以写成“如果两个角是直角,那么这两个角相等”. 【课件2】　下列命题的条件是什么?结论是什么? (1)对顶角相等. (2)如果a>b,b>c,那么a=c. 引导学生把(1)先改写成“如果……那么……”的形式,再确定条件和结论. 解:(1)条件:两个角是对顶角.结论:这两个角相等. (2)条件:a>b,b>c,结论:a=c. 2.真假命题 　　[过渡语]　命题有真命题和假命题,真命题就是条件成立,结论也一定成立的命题;而假命题是条件成立时,不能保证结论总是成立的命题.请同学们看下面的问题. 【课件3】　判断下列句子是否正确. (1)三角形的内角和是180度. (2)同位角相等. (3)同角的余角相等. (4)一个锐角与一个钝角的和是180度. 让学生根据已有的知识进行判断,并说明理由. 3.互逆命题 教师讲解:例如“两直线平行,内错角相等”这个命题,条件为“如果两条直线被第三条直线所截,且两直线平行”,结论是“那么内错角相等”.如果把这个命题的条件和结论互换一下位置,新句子也是一个命题,这时条件为“如果两条直线被第三条直线所截,内错角相等”,结论变为“那么这两条直线平行”.这样我们就说后一个命题是前一个命题的逆命题,前一个命题也是后一个命题的逆命题.这两个命题互为逆命题. 一般来说,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做这个原命题的逆命题. 活动二:证明与互逆定理 　　[过渡语]　要说明一个命题是真命题,则要从命题的条件出发,根据已经学过的基本事实、定义、性质和定理等,进行有理有据的推理,这种推理叫做证明. 【课件4】　证明:平行于同一条直线的两条直线平行. 让学生首先判断这个命题的真假性,引导学生分析讨论证明的方法. 说明:教师要重点关注学生的证明过程的书写是否符合要求. 已知:如图所示,直线a,b,c,a∥c,b∥c. 求证:a∥b. 证明:如图所示,作直线d,分别与直线a,b,c相交. ∵a∥c(已知), ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等). ∵b∥c(已知), ∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等). ∴∠1=∠3(等量代换). ∴a∥b(同位角相等,两直线平行). 即平行于同一条直线的两条直线平行. 一般地,证明命题按如下步骤进行: (1)依据题意画图,将文字语言转换为符号(图形)语言;(2)根据图形写出已知、求证;(3)根据基本事实、已有定理等进行证明. 教师讲解:如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也就成了定理.这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理. 我们已经知道命题“两直线平行,内错角相等”和它的逆命题“内错角相等,两直线平行”都是真命题,所以它们都是定理,因此它们就是互逆定理. 你能举出我们学过的一些互逆定理吗? 一个假命题的逆命题可以是真命题,甚至可以是定理.例如:“相等的角是对顶角”是假命题,但它的逆命题“对顶角相等”是真命题,且是定理. 指导学生完成教材第33页“做一做”. 【课件5】　已知:如图所示,点O在直线AB上,OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线. 求证:OD⊥OE. 证明:∵OD平分∠AOC,OE平分∠BOC, ∴∠COD=12∠AOC,∠COE=12∠BOC, ∴∠COD+∠COE=12(∠AOC+∠BOC)=12×180°=90°, 即∠DOE=90°, ∴OD⊥OE. [设计意图]　通过做一做锻炼学生的逻辑思维能力,巩固所学的知识,同时培养学生的合作探究精神和归纳总结的能力,让学生理解定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据. 三、课堂小结： 命题的组成 每一个命题都是由条件和结论两部分组成的,条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项. 注意:对每一个讨论的命题,其条件和结论不一定只有一个. 真命题、假命题、反例 正确的命题称为真命题;错误的命题称为假命题;举一个例子,其具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例. 注意:要说明一个命题是假命题,通常举出反例来说明. 互逆命题与互逆定理 一般来说,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也就成了定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理. 注意:任何一个命题都有逆命题,但任何一个定理不一定有逆定理. 证明的一般步骤 (1)画图;(2)写出已知、求证;(3)证明. 注意:证明要做到有理有据. - 5 -