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12.1分式（2） 教学目标 【知识与能力】 1.类比分数的约分,理解分式约分的意义. 2.会用分式的基本性质进行约分,掌握分式约分的方法与步骤. 【过程与方法】 通过类比分数的约分,探索分式的约分法则,学会运用类比转化的思想研究数学问题. 【情感态度价值观】 1.通过研究解决问题的过程,培养学生合作交流的意识与探究精神. 2.通过对分式约分的探究,让学生充分参与到数学学习的过程中来,使他们体验到成功的乐趣. 教学重难点 【教学重点】 　运用分式的基本性质正确地进行分式的约分. 【教学难点】 约分时,最简公因式的确定. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【课件1】　怎样把分数24,-5-25约分?你做这些题目的依据是什么?8m2n2mn2与4mn相等吗?为什么? 学生将24,-5-25约分后,仿照分数约分的方法,根据分式的基本性质,约去分式8m2n2mn2的分子与分母的公因式2mn,得到4mn. 【教师点拨】　分式8m2n2mn2化为4mn,这样的分式变形过程就是分式的约分. 导入二: 【课件2】　下面的等式中右式是怎样从左式得到的?这种变换的理论根据是什么? (1)6a2b38a3b2=3b4a;　(2)x2+xyx2-y2=xx-y. 解:(1)式中的左边,分式的分子与分母都除以2a2b2,得到右式,这里a≠0,b≠0.　(2)式中的左边,分式的分子与分母都除以(x+y),得到右式,这里(x+y)≠0.这种变换的根据是分式的基本性质:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. 【课件3】　化简:(1)1824,(2)176264,并说出这是什么运算?运算的依据是什么? 解:(1)1824=34.　(2)176264=23.这种运算是分数的约分,运算的依据是分数的基本性质. 师:什么是分数的约分?约分的方法是什么?约分的目的是什么? 生:把一个分数化为与它相等,但是分子、分母都比较小的分数,这种运算叫做分数的约分.对于一个分数进行约分的方法是:把分子、分母都除以它们的公约数(1除外).约分的目的是把一个分数化为最简分数. 师:分式的约分和分数的约分类似,下面讨论分式的约分. 导入三: 同学们,想一想,对分数812怎样化简? 【课件4】　思考:下列分式是怎样从左边变形到右边的? (1)b2x=by2xy(y≠0);　(2)x2y=x3xy; (3)x+22x=x2-42x2-4x. 反过来,把一个分式的分子、分母都除以公因式之后,就完成了约分.下面我们先来看看分式的约分.(板书课题) [设计意图]　按由特殊到一般的思路让学生回忆有关内容,为学习新知识做好铺垫.在这个活动中,首先激活学生原有的知识,体现了学习是在原有知识的基础上自我生成的过程. 二、新知构建： 活动一:分式的约分和最简分式 　　[过渡语]　怎样进行分式的约分?分式的约分的依据是什么? 思路一 1.分式的约分 分式ab+acbd+cd能不能化简?如果能,那么化简的依据是什么?化简的结果又是什么? 教师指导学生将分式的分子和分母先因式分解,然后再约分. 展示【课件5】 教师根据学生化简的过程进行讲解. 归纳: (1)分式约分的依据是根据分式的基本性质. (2)约分:依据分式的基本性质,把分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分. 思考:若分子、分母都是单项式时,如何找公因式?当分子、分母都是多项式时,又如何找公因式? 生讨论回答后总结: 约分的步骤:①先找分子与分母中的公因式.②分子与分母同时除以公因式. 公因式的确定方法:①当分子与分母都是单项式时,所分离出的公因式的系数应是分子系数与分母系数的最大公约数,字母因式是分子、分母相同字母的最低次幂的乘积.②当分子与分母都是多项式时,应先分别进行因式分解,再找出它们的公因式. 进一步理解以上几句话 【课件6】　找出下列分式中分子与分母的公因式(口答): (1)8bc12ac;　(2)3a3b3c12ac2;　(3)(x+y)yxy2;　 (4)x2+xy(x+y)2;　(5)x2-y2(x-y)2. 2.最简分式 学生思考并交流:如果几个分式约分后,分别得到了12a,x4y,x2ay2,这几个分式有什么特点?还能继续约分吗? 生交流讨论后回答:不能再约分了. 师总结:这几个分式的分子与分母,除1以外没有其他的公因式,不能继续约分了,这样的分式叫最简分式.即分子和分母(除1以外)没有公因式的分式叫做最简分式. 【课件7】　在化简分式5xy20x2y时,小颖和小明的做法出现了分歧: 小颖:5xy20x2y=5x20x2; 小明:5xy20x2y=5xy4x·5xy=14x. 你对他们俩的解法有何看法?说说看! 引导学生分析得出小颖在化简时,没有化成最简分式,她的做法是错误的. 思路二 【课件8】　我们观察: (1)12a7x=36ab21bx(b≠0); (2)a+bab=(a+b)2ab(a+b)(a+b≠0). 这一过程由左到右是怎样变形的?根据的是什么?(小组讨论回答) 生:(1)式分子与分母同乘3b,(2)式分子与分母同乘(a+b),根据的是分式的基本性质. 师:将以上两个式子倒过来,又是怎样变形的?根据的是什么? 生:(1)式分子与分母同除以3b,(2)式分子与分母同除以(a+b),根据的是分式的基本性质. 我们把以上两式由右到左的变形过程叫分式的约分.(1)中的3b与(2)中的(a+b)分别是分子与分母的公因式. 由以上的学习过程,学生总结约分的定义(小组讨论回答): 利用分式的基本性质,把分式中分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分. 强调:分式约分的依据:分式的基本性质.分子、分母(除1以外)没有公因式的分式,叫做最简分式. 【课件9】　3ac2a2(a+b)是最简分式.这种说法对吗?为什么? 解:不正确.因为分式的分子和分母还能约分,即分子与分母中含有公因式a,所以3ac2a2(a+b)不是最简分式. [知识拓展]　分式的化简,就是把复杂的分式化为整式或最简分式,分式的约分是根据分式的基本性质,约去分子、分母中的公因式,最终变为整式或最简分式. 活动二:例题讲解 　　[过渡语]　掌握了分式约分和最简分式的概念,明确了分式约分的目的就是把分式化成最简分式或整式.下面我们来做几道例题,共同来巩固一下约分的方法. 【课件10】 　约分: (1)35a2b215a3b;　(2)x2-y2a(x+y);　(3)4m-m2m2-8m+16. 教师引导学生发现:①确定分子与分母的最大公因式:各项系数的最大公约数和相同因式的最低次幂的积;②分式约分的最后结果应为最简分式或整式,即分子、分母(除1以外)没有公因式. 学生先练,教师再根据情况指导. 解:(1)35a2b215a3b=7b·5a2b3a·5a2b=7b3a. (2)x2-y2a(x+y)=(x+y)(x-y)a(x+y)=x-ya. (3)4m-m2m2-8m+16=m(4-m)(4-m)2=m4-m. [方法归纳]　(1)如果分式的分子、分母都是单项式,那么直接约去分子与分母的公因式;(2)如果分式的分子、分母是多项式,那么能因式分解的先因式分解,由此找出公因式,再进行约分.(3)约分后,分子与分母(除1外)不能再有公因式. 【课件11】　教材第6页“做一做” 指导学生分别用直接代入求值和化简后代入求值这两种方法解答,并比较哪种方法简单. 【拓展延伸】　约分-32a2b3c24b2cd,为了把上述分式约分,应该先确定分式的分子与分母的公因式,那么分式的分子与分母的公因式是什么? 师:因为分式的分子与分母都是单项式,所以取分子、分母中相同因式的最低次幂和分子、分母的系数的最大公约数,把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式. 解:-32a2b3c24b2cd=-8b2c·4a2b8b2c·3d=-4a2b3d. 师:分子或分母的系数是负数时,一般先把负号移到分式本身的前边,这就同时改变了分式本身与分子或分母的符号,所以分式的值不变. [设计意图]　通过具体实例让学生归纳出约分的具体步骤,明确在进行分式约分时,关键是确定分子和分母的公因式. 三、课堂小结： 1.约分:(1)分式约分的结果一定要化成最简.(2)如果分式的分子或分母是多项式,可先考虑把它分解因式,得到因式乘积形式,再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式,此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分. 2.最简分式:判断一个分式是不是最简分式,关键是确定其分子和分母(除1以外)是否有公因式. 3.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式或整式.分式约分时要注意正确运用乘方的符号法则,如x-y=-(y-x),(x-y)2=(y-x)2,(x-y)3=-(y-x)3. - 4 -