第21讲 圆的基本性质.doc

优秀领先 飞翔梦想 成人成才 第六单元 圆 第21讲 圆的基本性质 一、 知识清单梳理 知识点一：圆的有关概念 关键点拨与对应举例 1.与圆有关的概念和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过 圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的 弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个 交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. （1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条； （2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个. （3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆. 知识点二 ：垂径定理及其推论 2.垂径定理及其推论 定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形. 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 延伸 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中： ① 弧AC=弧BC; ②弧AD=弧BD； ③AE=BE; ④AB⊥CD;⑤CD是直径. 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三. 知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系 3.圆心角、弧、弦的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立. 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 知识点四 ：圆周角定理及其推论 4.圆周角定理及其推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a, ∠A=1/2∠O. 图a 图b 图c ( 2 )推论： ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C. ② 直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°. ③ 圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°. 在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等. 例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°． 第 2 页 共 2 页