第7讲：因式分解（二）教师版.docx

七年级秋季班 因式分解（二） 内容分析 本节课继续学习因式分解的另外两种方法——十字相乘法和分组分解法．理解十字相乘法和分组分解法的概念，掌握十字相乘法分解二次项系数为1 的二次三项式，能够用分组分解法分解含有四项以上的多项式．重点能够灵活运用十字相乘法与分组分解方法进行分解因式，能够与前两种的方法相结合．难点能够总结归纳这两种方法所针对的多项式，可以在分解因式的时候快速确定方法． 知识结构 模块一：十字相乘法 知识精讲 1、二次三项式： 多项式ax2 + bx + c ，称为字母 x 的二次三项式，其中ax2 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项． 2、十字相乘法的依据 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则． 如在多项式乘法中有： (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab ， 反过来可得： x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) ． 7 / 24 3、十字交叉法的定义 一般地， x2 + px + q = x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 可以用十字交叉线表示为： 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． 4、用十字相乘法分解的多项式的特征 （1）必须是一个二次三项式； （2）二次三项式的系数为 1 时，常数项能分解成两个因数a 和b 的积，且这两个因数的和 a + b 正好等于一次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”； （3）对于二次项系数不是 1 的二次三项式，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定． 5、用十字相乘法因式分解的符号规律 （1）当常数项是“+”号时，分解的两个一次二项式中间同号； （2）当常数项是“ - ”号时，分解的两个一次二项式的因式中间是异号； （3）当二次项系数为负数是，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项． 例题解析 【例1】下列各式不能用十字相乘法分解因式的是（ ）． A ． x2 - 2x - 3 【难度】★ 【答案】B B ． x2 - x + 2 C ． x2 - x - 2 D ． x2 - 3x + 2 【解析】2 可以分解成1´ 2 和-1´ (-2) ，但两种情况相加均不为-1 ． 【总结】考察十字相乘法的方法． 【例2】因式分解5x2 -14xy + 8y2 正确的是（ ）． A ． (5x - y)(x - 8y) C ． (5x - 2y)(x - 4y) B ． (5x - 8y)(x - y) D ． (5x - 4y)(x - 2y) 【难度】★ 【答案】C 【解析】5x2 -14xy + 8y2 可以用十字交叉线表示为： 5x -4y x -2y 【总结】考察十字相乘法的方法． 【例3】分解因式： （1） x2 - 5x + 6 = ； （2） x2 - x - 6 = ； （3） 2x2 - 3x +1 = ； （4） 3a2 - 2a -1 = ． 【难度】★ 【答案】(1) (x - 3)(x - 2) ；(2) (x - 3)(x + 2) ；(3) (2x -1)(x -1) ；(4) (3a +1)(a -1) ． 【解析】(1)(2)直接“拆常数项，凑一次项”；(3)(4)需要画十字交叉线． 【总结】考察十字相乘法的方法． 【例4】分解因式： （1） (a - b)2 -10(a - b) - 24 = ； （2） a2 x2 - 5a2 xy - 66a2 y2 = ． 【难度】★ 【答案】(1) (a - b -12)(a - b + 2) ；(2)  a2 (x -11y)(x + 6y) ． 【解析】(1) 中可将a - b 看成一整体；(2) 中需要先提取公因式． 【总结】考察十字相乘法的方法． 【例5】对于一切 x ，等式 x2 - px + q = ( x +1)(x - 2) 均成立，则 p2 - 4q 的值为_ _______． 【难度】★ 【答案】9． 【解析】 x2 - px + q = (x +1)(x - 2) = x2 - x - 2 ，所以 p = 1，q = -2 ， p2 - 4q = 9 ． 【总结】考察求代数式的值，本题中需先根据等式成立条件求出 p、q． 七年级秋季班 【例6】若二次三项式 x2 - ax +15 在整数范围内可以分解因式，那么整数a 的值为 ． 【难度】★★ 【答案】8，-8，16，-16． 【解析】15 =1´15 = -1´ (-15) = 3´ 5 = -3´ (-5) ，所以 a 的值有四种情况． 【总结】考察二次三项式的系数为 1 时，常数项能分解成两个因数的积的几种情况． 【例7】分解因式： （1） x2 - 3 x + 1 ； （2） -a2 - 1 a + 1 ； 4 8 6 6 （3） (a - b)2 - 5c(a - b) + 6c2 ； （4） x4 -10x2 y2 + 9y4 ； （5） (x2 + x)2 - 8(x2 + x)+12 ． 【难度】★★ 【答案】(1) (x - 1)(x - 1) ； (2) 2 4 -(a + 1)(a - 1) ； (3) (a - b - 3c)(a - b - 2c) ； 2 3 (4) (x + y)(x - y)(x + 3y)(x - 3y) ； (5) (x -1)(x - 2)(x + 2)(x + 3) ． 【解析】(1)直接用十字相乘法分解；(2) 先提取符号在因式分解； (3)(5)先将小括号里看成一整体再分解；(4)中 x4 = (x2 )2 , y4 = ( y2 )2 ． 【总结】考察十字相乘法分解因式的方法，注意分解因式要彻底，如(5)． 【例8】分解因式： （1） -20x2 - 9x + 20 ； （2） 9x5 - 82x3 + 9x ； （3） (x2 - 3)2 - 4x2 ； （4） (x2 + 4x)2 + 7(x2 + 4x)+12 ； （5） (x2 - 3x)2 - 2(x2 - 3x + 4)． 【难度】★★ 【答案】(1) -(4x + 5)(5x - 4) ； (2) (3) (x +1)(x -1)(x + 3)(x - 3) ； (4)  x(x + 3)(x - 3)(3x +1)(3x -1) ； (x +1)(x + 2)2 (x + 3) ； (5) (x -1)(x +1)(x - 4)(x - 2) ． 【解析】(1) 先提取负号；(2) 先提取公因式 x；(3) 先将小括号看成一整体，利用平方差公式分解；(4)(5)将小括号里的代数式看成一整体，(5)需先将常数项放在括号外面来． 【总结】考察十字相乘法分解因式的方法，注意分解因式要彻底． 【例9】用简便方法计算： 9982 + 9980 +16 ． 【难度】★★ 【答案】1006000． 【解析】9982 + 9980 +16 = 9982 + 998´10 +16 = (998 + 8)(998 + 2) = 1006´1000 = 1006000 ． 【总结】考察利用十字相乘法进行简便计算． 【例10】已知(x2 + y2 )(x2 + 3 + y2 )- 54 = 0 ，试求 x2 + y2 的值． 【难度】★★ 【答案】6 【解析】令 x2 + y2 =a，则 a>0． 原式可化为a (a + 3) - 54 = 0 ， 所以a2 + 3a - 54 = (a + 9)(a - 6) = 0 ，所以 a=6，即 x2 + y2 = 6 ． 【总结】考察利用十字相乘法求代数式的值，本题中注意 x2 + y2 的符号． 【例11】试判断：当k 为大于等于 3 的正整数时， k5 - 5k3 + 4k 一定能被120 整除． 【难度】★★★ 【答案】成立． 【解析】k5 - 5k3 + 4k = k(k4 - 5k2 + 4) = k(k2 - 4)(k2 -1) = (k - 2)(k -1)k(k +1)(k + 2) 为 5 个连续自然数的乘积． 5 个连续自然数中，至少有一个能被 3 整除，至少有一个能被 5 整除，至少有一个能被 4 整除， 另外( 除了能被 4 整除的这个) 还至少有一个能被 2 整除， 3´ 5´ 4´ 2 = 12 ， 所以 5 个连续自然数的乘积一定能被 120 整除，即k 为大于等于 3 的正整数时， k5 - 5k3 + 4k 一定能被120 整除． 【总结】考察代数式的因式分解，及被某数整除的条件． 七年级秋季班 【例12】分解因式： （1） (x2 + 3x - 2)(x2 + 3x + 4)-16 ； （2）(x - 3)(x -1)(x + 2)(x + 4) + 24 ； （3） (1- y2 )x2 - 4yx - (1- y2 ) ． 【难度】★★★ 【答案】(1) (x2 + 3x + 6)(x + 4)(x -1) ； (2) (x + 3)(x - 2)(x2 + x - 8) ； (3) (x - y + xy +1)(x - y - xy -1) ． 【解析】(1) (x2 + 3x - 2)(x2 + 3x + 4)-16 = (x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) - 24 = (x2 + 3x + 6)(x2 + 3x - 4) = (x2 + 3x + 6)(x + 4)(x -1) ； (2) (x - 3)(x -1)(x + 2)(x + 4) + 24 = (x2 + x -12)(x2 + x - 2) + 24 = (x2 + x - 2)2 -10(x2 + x - 2) + 24 = (x2 + x - 2 - 4)(x2 + x - 2 - 6) = (x + 3)(x - 2)(x2 + x - 8) ； (3) (1- y2 )x2 - 4yx - (1- y2 ) = x2 - x2 y2 - 4xy -1+ y2 = (x2 - 2xy + y2 ) - (x2 y2 + 2xy +1) = (x - y)2 - (xy +1)2 = (x - y + xy +1)(x - y - xy -1) ． 【总结】考察较复杂的代数式因式分解的方法． 【例13】分解因式： （1） x2 - 3xy -10y2 + x + 9y - 2 ； （2） 2x2 + xy - y2 - 4x + 5y - 6 ． 【难度】★★★ 【答案】(1) (x + 2y -1)(x - 5y + 2) ；(2) (2x - y + 2)(x + y - 3) ． 7 / 24 【解析】(1) x2 - 3xy -10y2 + x + 9y - 2 = (x - 5y)(x + 2y) + 2x + 4y - x + 5y - 2 = (x - 5y)(x + 2y) + 2(x + 2y) - (x - 5y + 2) = (x - 5y + 2)(x + 2y) - (x - 5y + 2) = (x - 5y + 2)(x + 2y -1) ； (2) 2x2 + xy - y2 - 4x + 5y - 6 = (2x - y)(x + y) - 6x + 3y + 2x + 2y - 6 = (2x - y)(x + y) - 3(2x - y) + 2(x + y) - 6 = (2x - y)(x + y - 3) + 2(x + y - 3) = (2x - y + 2)(x + y - 3) ． 【总结】考察较复杂代数式因式分解的方法，本题还可以用双十字相乘法． 模块二：分组分解法 知识精讲 1、分组原则： （1）分组后能直接提取公因式；（2）分组后能直接运用公式． 2、分组分解法分解因式的几点注意 （1）分组分解法主要应用于四项以上（包括四项）的多项式的因式分解； （2）解题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组； （3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解； （4）五项式一般采用三项、两项分组； （5）六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组； （6）原多项式中带有括号时一般不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解． 例题解析 【例14】把多项式4x2 - 2x - y2 - y 用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ）． A ． (4x2 - y)- (2x + y2 ) C ． 4x2 - (2x + y2 + y) B ． (4x2 - y2 )- (2x + y) D ． (4x2 - 2x)- (y2 + y) 【难度】★ 【答案】B 【解析】B 中分组之后还可以继续分解，其余不行． 【总结】考察分组的原则． 【例15】把多项式2xy - x2 - y2 +1分解因式（ ）． A ． (x - y +1)( y - x +1) C ． (x - y -1)(x - y +1) B ． (x - y -1)( y - x +1) D ． (x - y +1)(x - y +1) 【难度】★ 【答案】A 【解析】2xy - x2 - y2 +1 = 1- (x2 - 2xy + y2 ) = 1- (x - y)2 = (1+ x - y)(1- x + y) ． 【总结】考察分组的方法． 【例16】将多项式a2 - ab + ac - bc 分解因式，分组的方法共有 种． 【难度】★ 【答案】2 【解析】一二分组或一三分组． 【总结】考察分组的方法． 【例17】（1）若a3 - a2b - ab2 + b3 有因式(a - b)，则另外的因式是 ． （2）若多项式 x3 + 3x2 - 3x + m 有一个因式为(x + 3) ，则 m 的值为 ． 【难度】★★ 【答案】(1) (a + b)(a - b) ；(2) -9． 【解析】(1) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2 (a - b) - b2 (a - b) = (a - b)(a2 - b2 ) = (a + b)(a - b)2 ； (2) x3 + 3x2 - 3x + m = x2 (x + 3) - 3(x - m) ，由题意， - m = 3，m = -9 ． 3 3 【总结】考察分组的方法． 【例18】分解因式： （1）1- 4x2 - 4y2 + 8xy ； （2） a2 x2 - 4 + a2 y 2 -2a2 xy ； （3） x2 + 4x3 - 4 -16x ； （4） x3 + x2 y - xy2 - y3 ． 【难度】★★ 【答案】(1) (1+ 2x - 2y)(1- 2x + 2y) ；(2) (ax - ay + 2)(ax - ay - 2) ； (3) (1+ 4x)(x + 2)(x - 2) ； (4) (x + y)2 (x - y) ． 【解析】(1) 后三项一组提取公因式 4；(2) 一三四一组提取 a2； (3)一二、三四分组；(4) 一二、三四分组． 【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底． 【例19】分解因式： （1） ax - ay - x2 + 2xy - y2 ； （2） 2x2 - 2x - xy + 2y - y2 ． 【难度】★★ 【答案】(1) (x - y)(a - x + y) ；(2) (x - y)(2x + y - 2) ． 【解析】(1) 一二、三四五分组； (2) 2x2 - 2x - xy + 2y - y2 = x2 - 2x - xy + 2y + x2 - y2 ，然后按顺序两两分组． 【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底． 11 / 24 【例20】分解因式： （1） x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 ； （2） x2 - y2 - z2 - 2yz +1- 2x ． 【难度】★★ 【答案】(1) (x +1)(x2 + x +1)(x2 - x +1) ；(2) (x + y + z -1)(x - y - z -1) ． 【解析】(1) x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 = x3 (x2 + x +1) + (x2 + x +1) = (x2 + x +1)(x3 +1) = (x2 + x +1)(x +1)(x2 - x +1) ； (2) x2 - y2 - z2 - 2yz +1- 2x = (x2 - 2x +1) - ( y2 + z2 + 2yz) = (x -1)2 - ( y + z)2 = (x + y + z -1)(x - y - z -1) ． 【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底． 【例21】分解因式： （1） 4x2 + 3y - x(3y + 4) ； （2） ab(c2 + d 2 ) + cd(a2 + b2 ) ． 【难度】★★ 【答案】(1) (x -1)(4x - 3y) ；(2) (ac + bd)(bc + ad) ． 【解析】(1) 小括号展开后一四、二三分组； (2) 小括号展开后一四、二三分组；或者一三、二四分组． 【总结】考察分组的方法． 【例22】请将下列多项式因式分解，并求值： （1）1- 4x2 +12xy - 9y2 ，其中 x = 1 ，y = 8 ； 2 3 （2） x2 - 4xy + 4y2 - 6x +12y + 5 ，其中 x = 2y + 8 ． 【难度】★★ 【答案】(1) (1+ 2x - 3y)(1- 2x + 3y) ，-48；(2) (x - 2y -1)(x - 2y - 5) ，21． 【解析】(1) 1- 4x2 +12xy - 9y2 = 1- (2x - 3y)2 = (1+ 2x - 3y)(1- 2x + 3y) ， 把 x = 1 ，y = 8 代入上式得值为-48； 2 3 (2) x2 - 4xy + 4y2 - 6x +12y + 5 = (x - 2y)2 - 6(x - 2y) + 5 = (x - 2y -1)(x - 2y - 5) ， 把 x = 2y + 8 代入上式得值为 21． 【总结】考察先因式分解再求值，注意方法的合理选择及运用． 【例23】当 a + c = 2b 时，求式子a2 - c2 - 4b2 + 4bc 的值． 【难度】★★ 【答案】0． 【解析】a2 - c2 - 4b2 + 4bc = a2 - (c2 - 4bc + 4b2 ) = a2 - (c - 2b)2 = (a + c - 2b)(a - c + 2b) 当 a + c = 2b 时，代入上式第二个因式为 0，所以原式值为 0． 【总结】考察先因式分解再求值． 【例24】用因式分解的方法说明当n 为任意正整数时，代数式3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n 的值一定是 10 的整数倍． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n = 3n (32 +1) - 2n (22 +1) = 10 ´ 3n - 5´ 2n = 10(3n - 2n-1 ) ． 当n 为任意正整数时， 3n - 2n-1 必为整数，所以代数式3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n 的值一定是10 的整数倍． 【总结】考察分组分解法分解因式及倍数的概念． 【例25】求证：无论 x、y 为何值， 4x2 -12x + 9y2 + 30y + 35 的值恒为正． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】 4x2 -12x + 9y2 + 30y + 35 = 4x2 -12x + 9 + 9y2 + 30y + 25 +1 = (2x - 3)2 + (3y + 5)2 +1 >0 所以：无论 x、y 为何值， 4x2 -12x + 9y2 + 30y + 35 的值恒为正． 【总结】考察将代数式化成完全平方的形式． 【例26】如果多项式kx2 - 2xy - 3y2 + 3x - 5y + 2 能分解成两个一次因式乘积， 求 k2 + 5k + 0.25 的值． 【难度】★★★ 【答案】-3.75 ． 【解析】kx2 - 2xy - 3y2 + 3x - 5y + 2 = kx2 + (3 - 2y)x - (3y2 + 5y - 2) = kx2 + (3 - 2y)x - (3y -1)( y + 2) 因为接下来再用十字相乘法分解时，常数项可分为3y -1 和 -( y + 2) ，两者之和正好为 3 - 2 y ，所以k = -1． 所以k2 + 5k + 0.25 = 1- 5 + 0.25 = -3.75 ． 【总结】本题综合性较强，主要考察将复杂代数式分解因式的方法． 【例27】对于多项式 x3 - 5x2 + x +10 ,我们把 x = 2 代入多项式，发现 x = 2 能使多项式 x3 - 5x2 + x +10 的值为0 ，由此可以断定多项式 x3 - 5x2 + x +10 中有因式(x - 2)． ［注：把 x = a 代入多项式，能使多项式的值为 0 ，则多项式一定含有因式(x - a) ］，于是我们可以把多项式写成： x3 - 5x + x +10 = (x - 2)(x2 + mx + n) ，分别求出m、n 后再代入 x3 - 5x + x +10 = (x - 2)(x2 + mx + n)，就可以把多项式 x3 - 5x2 + x +10 因式分解． （1）求式子中 m、n 的值． （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项 x3 + 5x2 + 8x + 4 ． 【难度】★★★ 【答案】(1) m = -3，n = -5 ；(2) x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x +1)(x + 2)2 ． 13 / 24 【解析】(1) x3 - 5x2 + x +10 = (x - 2)(x2 + mx + n) = x3 + (m - 2)x2 + (n - 2m)x - 2n 根据系数对应相等得： ìm - 2 = -5 ，解得： ìm = -3 ． î î í-2n = 10 ín = -5 (2) x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x +1)(x2 + mx + n) (根据试根法可得多项式含因式 x+1) = x3 + (m +1)x2 + (m + n)x + n 根据系数对应相等得： ìm + 1 = 5 ， 解得： ìm = 4 ． î î ín = 4 ín = 4 所以 x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x +1)(x2 + 4x + 4) = (x +1)(x + 2)2 【总结】本题主要考察对试根法的理解及其应用，综合性较强，主要考查对题目的理解能力． 随堂检测 【习题1】下列多项式不能用十字相乘法分解因式的是（ ）． A ． x2 + x - 2 B ． 3x2 -10x2 + 3x C ． x2 - 3x + 2 D ． x2 - 6xy - 7 y2 【难度】★ 【答案】B 【解析】B 中合并同类项之后变成两项，而十字相乘法分解因式的形式为二次三项式． 【总结】考察能用十字相乘法分解因式的条件． 【习题2】下列因式分解错误的是（ ）． A ． a2 - bc + ac - ab = (a - b)(a + c) B ． ab - 5a + 3b -15 = (b - 5)(a + 3) C ． x2 - 6xy -1+ 9y2 = (x + 3y +1)(x + 3y -1) D ． x2 + 3xy - 2x - 6y = (x + 3y)(x - 2) 【难度】★ 【答案】C 【解析】C 中正确答案应为 x2 - 6xy -1+ 9y2 = (x - 3y +1)(x - 3y -1) ． 【总结】考察分解因式的方法，注意符号问题． 【习题3】分解因式： x2 + 5x + = (x + )(x + 4) ． 【难度】★ 【答案】4，1． 【解析】由一次项系数可得后面小括号填 1，那么常数项为 4． 【总结】考察二次项系数为 1 的二次三项式十字相乘法分解的方法． 【习题4】若(x - 2)(x + 3)是二次三项式 x2 - mx + n 的因式分解的结果，则m 的值是 ． 【难度】★ 【答案】-1 ． 【解析】(x - 2)(x + 3) = x2 + x - 6 = x2 - mx + n ， 利用系数对应相等可得m = -1． 【总结】考察二次项系数为 1 的二次三项式十字相乘法分解的逆运算． 【习题5】若 x2 - kx -15 = (x + a)(x + b)，则a + b 的值不可能是（ ）． A ．14 B ．16 C ． 2 D ． -14 【难度】★★ 【答案】B 【解析】ab = -15 ， -15 = -1´15 = -15´1 = -3´ 5 = -5´ 3 ， 所以a + b 的值可能是 14，-14，2，-2 四种． 【总结】考察二次项系数为 1 的二次三项式十字相乘法分解的方法． 【习题6】分解因式： （1） -3ab + 2a - 4 + 6b = ； （2） a2bx - a2cx - bx + cx = ； （3） a2 - 2a - 4b2 + 4b = ． 21 / 24 【难度】★★ 【答案】(1) (2 - 3b)(a - 2) ；(2)  x(b - c)(a +1)(a -1) ；(3) (a - 2b)(a + 2b - 2) ． 【解析】(1) 一二、三四分组；(2) 一二、三四分组；(3) 一三、二四分组． 【总结】考察分组分解法分解因式． 【习题7】分解因式： （1） x2 +10 - 24 ； （2） -x2 - 4x + 21； （3） 3x2 + 8xy - 3y2 ； （4） x4 -10x2 + 9 ． 【难度】★★ 【答案】(1) (x +12)(x - 2) ； (2)  -(x + 7)(x - 3) ； (3) (3x - y)(x + 3y) ； (4) (x +1)(x -1)(x + 3)(x - 3) ． 【解析】(1)(3)直接十字相乘法分解；(2) 先提取负号；(4)先将 x4 = (x2 )2 ，注意分解彻底． 【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法． 【习题8】分解因式： （1） 36 - 5(m + n) - (m + n)2 ； （2） (a + b)2 - 9(ac + bc) + 20c2 ． 【难度】★★ 【答案】(1) 【解析】(1) -(m + n + 9)(m + n - 4) ；(2) (a + b - 4c)(a + b - 5c) ． 36 - 5(m + n) - (m + n)2 = -[(m + n)2 + 5(m + n) - 36] = -[(m + n) + 9][(m + n) - 4] = -(m + n + 9)(m + n - 4) ； (2) (a + b)2 - 9(ac + bc) + 20c2 = (a + b)2 - 9(a + b)c + 20c2 = (a + b - 4c)(a + b - 5c) ． 【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法，本题在于将小括号里的因式看成一整体． 【习题9】分解因式： （1） 4a2 - 4 - 4ab + b2 ； （2） x3 - x2 y + xy - y2 + x - y ； （3） x2 - 4xy + 4y2 - 6x +12y + 9 ； （4） x2n + xn - 1 y2 + 1 ． 9 4 【难度】★★ 【答案】(1) (2a - b + 2)(2a - b - 2) ；(2)  (x - y)(x2 + y +1) ； (3) (x - 2 y - 3)2 ； (4) (xn + 1 + 1 y)(xn + 1 - 1 y) ． 2 3 2 3 【解析】(1) 一三四分组；(2) 两两顺次分组； (3) 一二三、四五、六分组；(4) 一二四分组． 【总结】考察分组的方法． 【习题10】若一个长方形的周长为32 ，长为 x ，宽为 y ，且满足 x3 + x2 y - xy2 - y3 = 0 ． 求这个长方形的面积． 【难度】★★ 【答案】64． 【解析】 x3 + x2 y - xy2 - y3 = x2 (x + y) - y2 (x + y) = (x + y)(x2 - y2 ) = (x + y)2 (x - y) = 0 ， 由题意只有 x = y ，又4x = 32，所以x = 8，所以x2 = 64 ． 即这个长方形的面积为 64． 【总结】考察多项式的因式分解及实际问题中值为 0 的条件． 【习题11】用两种不同的分组方法分解因式： x5 + x4 - x3 - x2 - x -1． 【难度】★★ 【答案】(x +1)(x4 - x2 -1) ． 【解析】法一： x5 + x4 - x3 - x2 - x -1 = x4 (x +1) - x2 (x +1) - (x +1) = (x +1)(x4 - x2 -1) ； 法二： x5 + x4 - x3 - x2 - x -1 = (x5 - x3 - x) + (x4 - x2 -1) = x(x4 - x2 -1) + (x4 - x2 -1) = (x +1)(x4 - x2 -1) ． 【总结】考察分组的方法． 【习题12】已知 x2 + 3x + a2 + a + 5 = 0 ，求 x + 3a 的值． 2 【难度】★★ 【答案】-3． 【解析】 x2 + 3x + a2 + a + 5 = x2 + 3x + 9 + a2 + a + 1  = (x + 3)2 + (a + 1)2 = 0 ， 2 4 4 2 2 所以 x = - 3 ，a = - 1 ，则 x + 3a = -3 ． 2 2 【总结】考察根据代数式求值的方法． 【习题13】已知a、b、c、d 是整数，且a + b = 7 ， c + d = 7 ，判断ad - bc 的值能否被7 整除，并简要说明理由． 【难度】★★★ 【答案】能，见解析 【解析】因为a + b = 7 ， 所以(a + b)d = 7d ①； 因为c + d = 7 ，所以b(c + d) = 7b ②． 两式相减得ad - bc = 7d - 7b = 7(d - b) ， 因为 a、b、c、d 是整数，所以 d - b 也为整数，所以7(d - b) 能被 7 整除， 即原题成立． 【总结】考察能被 7 整除的条件． 【习题14】分解因式： （1） 3x2 + 5xy - 2y2 + x + 9y - 4 ； （2） x2 + 3xy + 2y2 + 4x + 5y + 3 ． 【难度】★★★ 【答案】(1) (3x - y + 4)(x + 2y -1) ；(2) (x + 2y + 3)(x + y +1) ． 【解析】(1) 3x2 + 5xy - 2y2 + x + 9y - 4 = 3x2 + (5y +1)x - (2y2 - 9y + 4) = 3x2 + (5y +1)x - (2y -1)( y - 4) = (3x - y + 4)(x + 2y -1) ； (2) x2 + 3xy + 2y2 + 4x + 5y + 3 = x2 + (3y + 4)x + (2y2 + 5y + 3) = x2 + (3y + 4)x + (2y + 3)( y +1) = (x + 2y + 3)(x + y +1) ． 【总结】考察较复杂代数式分解因式的方法，本题可用双十字相乘法分解． 【习题15】分解因式： （1） (x2 + x - 6)(x2 + x - 8)- 24 ； （2） (x +1)(x - 2)(x - 3)(x - 6) + 20 ． 【难度】★★★ 【答案】(1) (x + 4)(x - 3)(x + 2)(x -1) ；(2) 【解析】(1) (x2 + x - 6)(x2 + x - 8)- 24  (x2 - 5x - 4)(x -1)(x - 4) = (x2 + x - 6)2 - 2(x2 + x - 6) - 24 = (x2 + x - 6 - 6)(x2 + x - 6 + 4) = (x + 4)(x - 3)(x + 2)(x -1) ； (2) (x +1)(x - 2)(x - 3)(x - 6) + 20 = (x2 - 5x - 6)(x2 - 5x + 6) + 20 = (x2 - 5x - 6)2 +12(x2 - 5x - 6) + 20 = (x2 - 5x - 6 + 2)(x2 - 5x - 6 +10)