第5章 二次函数测试卷（1）.docx

二次函数测试卷（1） 一、选择题 1．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大 　 2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0 　 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 　 4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．a＞0B．3是方程ax2+bx+c=0的一个根C．a+b+c=0D．当x＜1时，y随x的增大而减小 　 5．在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图中的（　　） A． B． C． D． 　 6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣ 　 7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列五个结论中：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＜0；④abc＜0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　 8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为（，1），下列结论：①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b=0；④4ac﹣b2＞4a，其中错误的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 　 9．如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），对于下列结论：①2a+b=0；②abc＜0；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　 10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 　 11．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法： ①abc＜0； ②2a﹣b=0； ③4a+2b+c＜0； ④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2． 其中说法正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 　 12．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．a＞0 B．c＞0 C．ac＞0 D．bc＜0 　 13．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论： ①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 　 14．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论： ①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根. 其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　 15．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论： ①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 　 16．已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题 17．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法： ①ab＞0； ②‚方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3； ③ƒa+b+c＞0； ④当x＞1时，随x值的增大而增大． 其中正确的说法有　 　. 　 18．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c=　 　. 　 19．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　 　. 三、解答题 20．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第　 　象限. 　 21．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0） (1)求该抛物线的解析式； (2)求梯形COBD的面积. 　 22．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2. (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 　 23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）. (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）.若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围. 　 24．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长. 注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）． 　 25．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式. 　 26．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）. (1)求抛物线的函数表达式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）. 答案 　一、选择题 1．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：A、抛物线的开口方向向下，则a＜0．故A选项错误； B、根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3， 所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．故B选项正确； C、根据图示知，该抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．故C选项错误； D、根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故D选项错误． 故选B． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 　 2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，再结合抛物线的对称轴与y轴的关系判断b与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点的个数判断b2﹣4ac与0的关系． 【解答】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴右边， ∴a，b异号即b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c＞0， ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2﹣4ac＞0． 故选D． 【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定： (1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0． (2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号． (3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0． (4)b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0． 　 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】由于抛物线过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，则得到抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，于是可判断a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0；利用抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；由于x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，变形得2a+b+=0，则根据0＜c＜2得2a+b+1＞0；根据根与系数的关系得到2x1=，即x1=，所以﹣2＜＜﹣1，变形即可得到2a+c＞0． 【解答】解：如图， ∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交， ∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，即x=﹣＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，所以①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确； 当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0， ∴2a+b+=0， ∵0＜c＜2， ∴2a+b+1＞0，所以③错误； ∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0）， ∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，2， ∴2x1=，即x1=， 而﹣2＜x1＜﹣1， ∴﹣2＜＜﹣1， ∵a＜0， ∴﹣4a＞c＞﹣2a， ∴2a+c＞0，所以④正确． 故选C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点． 　 4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．a＞0B．3是方程ax2+bx+c=0的一个根C．a+b+c=0D．当x＜1时，y随x的增大而减小 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】根据抛物线的开口方向可得a＜0，根据抛物线对称轴可得方程ax2+bx+c=0的根为x=﹣1，x=3；根据图象可得x=1时，y＞0；根据抛物线可直接得到x＜1时，y随x的增大而增大． 【解答】解：A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误； B、根据对称轴为x=1，一个交点坐标为（﹣1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项正确； C、把x=1代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中得：y=a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误； D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误； 故选B． 【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是从抛物线中的得到正确信息． ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 　 5．在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图中的（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数图象与系数的关系；反比例函数的性质． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】根据反比例函数图象的性质确定出m＜0，则二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴，即可得出答案． 【解答】解：∵反比例函数y=，中，当x＞0时，y随x的增大而增大， ∴根据反比例函数的性质可得m＜0； 该反比例函数图象经过第二、四象限， ∴二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴． ∴只有A选项符合． 故选A． 【点评】本题考查了二次函数图象、反比例函数图象．利用反比例函数的性质，推知m＜0是解题的关键，体现了数形结合的思想． 　 6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣ 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故选项A错误； B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选项B错误； C、由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选项C错误； D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x=﹣==1，故选项D正确． 故选D． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键． 　 7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列五个结论中：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＜0；④abc＜0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】分别结合图象判定出x=1，﹣1，2时对应y的值，再利用对称轴位置以及抛物线与坐标轴交点得出答案． 【解答】解：如图所示：当x=1时，y=a+b+c＜0，故①a+b+c＜0正确； 当x=﹣1时，y=a+b+c＜0，故②a﹣b+c＞0，错误； ③∵﹣＞﹣1， ∴＜1， ∴b＞2a， 即2a﹣b＜0，故此选项正确； ∵抛物线开口向下，∴a＜0， ∵0＞﹣＞﹣1， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交与负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0， 故选项④正确； 当x=2时，⑤y=4a+2b+c＜0，故此选项错误， 故错误的有2个． 故选B． 【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键． 　 8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为（，1），下列结论：①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b=0；④4ac﹣b2＞4a，其中错误的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】①根据抛物线与y轴的交点坐标即可确定； ②根据抛物线与x轴的交点情况即可判定； ③根据抛物线的对称轴即可判定； ④根据抛物线的顶点纵坐标即可判定． 【解答】解：①抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，故①正确； ②抛物线与x轴相交于两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为x=，∴x=﹣=，∴a+b=0，故③正确； ④∵抛物线顶点的纵坐标为1，∴=1，∴4ac﹣b2=4a，故④错误； 其中错误的是④． 故选D． 【点评】此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数的自变量与对应的函数值，顶点坐标的熟练运用． 　 9．如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），对于下列结论：①2a+b=0；②abc＜0；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线对称轴方程得到﹣=1，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b=﹣2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x=1时，y＞0可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断． 【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∴﹣=1，即2a+b=0，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵b=﹣2a， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以②正确； ∵x=1时，y＞0， ∴a+b+c＞0，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，所以④正确． 故选D． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 　 10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0； B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0； C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0； D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣＞0． 故选D． 【点评】主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 　 11．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法： ①abc＜0； ②2a﹣b=0； ③4a+2b+c＜0； ④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2． 其中说法正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④． 【解答】解：∵二次函数的图象的开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1， ∴﹣=﹣1， ∴b=2a＞0， ∴abc＜0，∴①正确； 2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确； ∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）． ∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0）， ∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误； ∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1， ∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1）， 根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∵＜3， ∴y2＜y1，∴④正确； 故选C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力． 　 12．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．a＞0 B．c＞0 C．ac＞0 D．bc＜0 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】由抛物线开口向下得到a小于0，再根据对称轴在y轴左侧得到a与b同号得到b大于0，由抛物线与y轴交点在负半轴得到c小于0，即可作出判断． 【解答】解：根据图象得：a＜0，c＜0，b＜0， 则ac＞0，bc＞0， 故选C． 【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 　 13．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论： ①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案． 【解答】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点， ∴b2﹣4ac＜0； 故①错误； 当x=1时，y=1+b+c=1， 故②错误； ∵当x=3时，y=9+3b+c=3， ∴3b+c+6=0； ③正确； ∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值， ∴x2+bx+c＜x， ∴x2+（b﹣1）x+c＜0． 故④正确． 故选B． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 　 14．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论： ①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根. 其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根． 【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，所以①错误； ∵顶点为D（﹣1，2）， ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1， ∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间， ∴当x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，所以②正确； ∵抛物线的顶点为D（﹣1，2）， ∴a﹣b+c=2， ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1， ∴b=2a， ∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确； ∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2， 即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2， ∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确． 故选C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点． 　 15．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论： ①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到﹣1＜﹣＜0，则根据不等式性质即可得到2a﹣b＜0；由于x=﹣2时，对应的函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0；同样当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，x=1时，a+b+c＜0，则（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，利用平方差公式展开得到（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴x=﹣＜0， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＞0，（故①正确）； ∵﹣1＜﹣＜0， ∴2a﹣b＜0，（故②正确）； ∵当x=﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，（故③正确）； ∵当x=﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∵当x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0， ∴（a+c）2﹣b2＜0，（故④正确）． 综上所述，正确的个数有4个； 故选D． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点． 　 16．已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于抛物线过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则点（0，5）到对称轴的距离大于点（10，8）到对称轴的距离，所以h﹣0＞10﹣h，然后解不等式后进行判断． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=h， 而（0，5）、（10，8）两点在抛物线上， ∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5． 故选D． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 17．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法： ①ab＞0； ②‚方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3； ③ƒa+b+c＞0； ④当x＞1时，随x值的增大而增大． 其中正确的说法有　 　. 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】填空题 【难度】中 【分析】①由抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，判断a，b与0的关系，得到ab＜0；故①错误； ②由抛物线与x轴的交点坐标得到方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；故②正确； ③由x=1时，得到y=a+b+c＞0；故③正确； ④根据对称轴x=1，得到当x＞1时，随x值的增大而减小，故错误． 【解答】解：①∵抛物线的开口向下， ∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧， ∴b＞0 ∴ab＜0；故①错误； ②∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；故②正确； ③当x=1时，a+b+c＞0；故③正确； ④∵当x＞1时，随x值的增大而减小，故错误． 故答案为：②③． 【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 　 18．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c=　 　. 【考点】待定系数法求二次函数解析式． 【专题】填空题 【难度】中 【分析】把两点的坐标代入二次函数的解析式，通过①+②，得出2a+2c=﹣4，即可得出a+c的值． 【解答】解：把点（1，2）和（﹣1，﹣6）分别代入y=ax2+bx+c（a≠0）得： ， ①+②得：2a+2c=﹣4， 则a+c=﹣2； 故答案为：﹣2． 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是通过①+②，得到2a+2c的值，再作为一个整体出现，不要单独去求a，c的值． 　 19．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　 　. 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】填空题 【难度】中 【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可． 【解答】解：∵y=﹣x2+x+2， ∴当y=0时，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0， 解得 x=2或x=﹣1 故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0）， ∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6． ∴当x=1时，C最大值=6，． 即：四边形OAPB周长的最大值为6． 故答案是：6． 【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法． 20．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第　 　象限. 【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系． 【专题】填空题 【难度】中 【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，利用一次函数的性质即可判断出一次函数y=bx+c不经过的象限． 【解答】解：根据图象得：a＜0，b＞0，c＞0， 故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限． 故答案为：四． 【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键． 　 21．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0） (1)求该抛物线的解析式； (2)求梯形COBD的面积. 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点． 【专题】解答题 【难度】难 【分析】(1)将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式； (2)抛物线解析式令x=0求出y的值，求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y=0求出x的值，确定出OB的长，利用梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积． 【解答】解：(1)将A（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2+4中，得：0=4a+4， 解得：a=﹣1， 则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4； (2)对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3， ∵抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4的对称轴为直线x=1， ∴CD=1， ∵A（﹣1，0）， ∴B（3，0），即OB=3， 则S梯形COBD==6． 【点评】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数与x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 　 22．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2. (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【考点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称﹣最短路线问题． 【专题】解答题 【难度】难 【分析】(1)根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可； (2)因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可． 【解答】解：(1)由题意得，， 解得b=4，c=3， ∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3； (2)∵点A与点C关于x=2对称， ∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所