第20讲：拓展与提高-教师版(1).docx

六年级同步 拓展与提高 内容分析 本讲在六年级课内知识的基础上补充了一些关于整除性质和分数数列计算的知识点和相关习题，有余力的同学可以加以学习． 知识结构 模块一：整除性质 知识精讲 1、 整除性质 （1）能被2整除的数的特征：个位能被2整除，即末位数字为0、2、4、6、8； （2）能被5整除的数的特征：个位能被5整除，即末位数字为0或5； （3）能被4或25整除的数的特征：末两位能被4或25整除； （4）能被8或125整除的数的特征：末三位能被8或125整除； （5）能被3或9整除的数的特征：各个数位上的数之和能被3或9整除； （6）能被7或11或13整除的数的共同特征： 若一个数是1001的倍数，则这个数能同时被7、11和13整除：因为； 从一个数的末三位开始，每三位作为一段，若奇数段之和与偶数段之和的差是7或11或13倍数，则这个数能被7或11或13整除； 把一个数的末三位作为一个数，末三位之前的部分作为一个数，用较大的数减去较小的数，如果差能被7或11或13整除，则这个数能被7或11或13整除； （7）能被11整除的数的特征：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除； （8）能被99整除的数的特征：从一个数的个位开始，两位一段，若各段的和能被99整除，则这个数能被99整除； （9）能被999整除的数的特征：从一个数的个位开始，三位一段，若各段的和能被999整除，则这个数能被999整除． 注：若数m能被数n整除，可记作：． 2、 解题技巧 （1）熟记整除性质，若遇到未学过的，则尽量分解成互质的几个数相乘：如； （2）当同时能被多个数整除时，一般优先顺序为2和5确定个位，再4、25、8、125来确定十位、百位，接着考虑3和9，最后7、11、13； （3）看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5． 例题解析 【例1】 已知四位数，在方框中填上一个数字，使其是3的倍数，则可以填__________；在方框中填上一个数字，使其是9的倍数，这个数可以填_________． 【难度】★ 【答案】0、3、6、9；0、9． 【解析】∵，∴，∴= 0、3、6、9； ∵，∴，∴= 0、9． 【总结】考查能被3或9整除的数的特征． 【例2】 在□内填上适当的数字，使五位数23□6□既能被3整除又能被5整除． 【难度】★ 【答案】23160、23460、23760、23265、23565、23865． 【解析】设五位数23□6□为． ∵，∴b = 0或5；又∵，∴，即； 当b = 0时，a = 1、4、7；当b = 5时，a = 2、5、8； ∴这个五位数可以是23160、23460、23760、23265、23565、23865． 【总结】考查能同时被被3和5整除的数的特征，此题中，先考虑5，再考虑3． 【例3】 试判断1347365978这个数能否被7或11或13整除． 【难度】★ 【答案】不能被7和11整除，能被13整除． 【解析】奇数位数字之和为：； 偶数位数字之和为：； ∵，∴1347365978不能被7和11整除，能被13整除． 【总结】考查能被7或11或13整除的数的特征． 【例4】 六位数能被99整除，是多少？ 【难度】★ 【答案】71． 【解析】设六位数为． ∵，∴，即，∴． 【总结】考查能被99整除的数的特征． 【例5】 已知五位数能被72整除，求x + y的值． 【难度】★★ 【答案】8． 【解析】∵的余数为20，∴原数=，∴． 【总结】只有末两位数未知，故不利用数的整除特征，而采用试除法解题． 【例6】 ，要使这个乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？ 【难度】★★ 【答案】20． 【解析】，975中只有两个因数5；，935中只有1个因数5； ，972中只有2个因数2；因为乘积的末尾有4个零，所以“”代表的数 中至少可以分解出1个因数5和2个因数2，所以“”最小为． 【总结】看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5． 【例7】 的乘积的末尾有多少个连续的0？的乘积的末尾有多少个连续的0？ 【难度】★★ 【答案】249；225． 【解析】（1）中因数2的个数明显多于因数5的个数，所以只需要计 算一共有多少个因数5．因数5的个数的计算方法如下： ，，，， 因数5的个数=， 所以的乘积的末尾有249个连续的0； （2）的乘积的末尾连续的0的个数=的乘积 的末尾连续的0的个数减去的乘积的末尾连续的0的个数： 的乘积的末尾连续的0的个数=， ∴的乘积的末尾连续的0的个数=． 【总结】看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5． 【例8】 的结果除以10，所得到的商再除以10，…，重复这样的操作，在第______次除以10时，首次出现余数． 【难度】★★ 【答案】26． 【解析】根据题意，目的就是求的结果的末尾有多少个连续的 0．先计算的乘积的末尾连续的0的个数，再计算 的乘积的末尾连续的0的个数，两者做差再加1即为所求． ，， ∴在第26次除以10时，首次出现余数． 注：表示数a的整数部分，如：表示的整数部分，等于2． 【总结】考察几个数相乘后末尾有多少个0． 【例9】 从0，3，5，7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数共有几个？ 【难度】★★ 【答案】2 【解析】∵能同时被2和5整除，∴三位数的末位一定为0；设这个三位数为， ∵能被3整除，∴，对于3，5，7三个数，只有5+7为3的倍数， ∴=570或750，∴这样的三位数共有2个． 【总结】考查数的整除特征，当能同时被多个数整除时，优先考虑2和5，确定个位． 【例10】 已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数，那么这个九位数是____________． 【难度】★★ 【答案】200731212． 【解析】设这个9位数为，∵既是9的倍数，又是11的倍数，∴， ∴，即，∴， ∴，，∴这个九位数是200731212． 【总结】考查能被99整除的数的特征． 【例11】 某个七位数能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数是______． 【难度】★★ 【答案】320． 【解析】先求2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数，为2520，所以． 余680，， 所以这个七位数的最后三位数为320． 【总结】考查点：最小公倍数和试除法的运用． 【例12】 已知是77的倍数，则为______． 【难度】★★ 【答案】47． 【解析】∵，其中不能被7和11 整除，∴能被77整除，∴=，=47． 【总结】考点：重码数、倍数的综合运用． 【例13】 若，试问能否被8整除？请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】能． 【解析】 ， 故一定能被8整除． 【总结】考点：位值原理、整除性质． 【例14】 如果能被11整除，那么n的最小值是______． 【难度】★★★ 【答案】7． 【解析】奇数位数字之和为，偶数位数字之和为， ，∵，∴，n的最小值为7． 【总结】考点：能被11整除的数的特征． 【例15】 求能被11整除，且数字和等于43的五位数． 【难度】★★★ 【答案】99979、97999和98989． 【解析】∵五位数的数字和最大为， ∴数字和等于43的五位数的由9、9、9、9、7或者9、9、9、8、8这五个数字组 成．若五位数由9、9、9、9、7组成，当奇数位数字之和为，偶数位 数字之和为时，这个五位数能被11整除，这样的五位数有99979和97999； 若五位数由9、9、9、8、8组成，当奇数位数字之和为，偶数位数字 之和为时，这个五位数能被11整除，这样的五位数有98989． 综上：能被11整除，且数字和等于43的五位数为99979、97999和98989． 【总结】考点：能被11整除的数的特征． 模块二：分数数列计算 知识精讲 1、 常用公式 （1）； （2）； （3）； （4）． 例题解析 【例16】 计算：． 【难度】★ 【答案】． 【解析】原式． 【总结】考点：分数裂项． 【例17】 计算：． 【难度】★ 【答案】． 【解析】原式． 【总结】考点：分数裂项． 【例18】 计算：． 【难度】★ 【答案】． 【解析】原式 ． 【总结】考点：分数裂项． 【例19】 计算：． 【难度】★ 【答案】． 【解析】原式 ． 【总结】考点：分数裂项． 【例20】 计算：． 【难度】★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项． 【例21】 计算：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项． 【例22】 计算：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项． 【例23】 计算：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项． 【例24】 计算：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项． 【例25】 计算：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项． 【例26】 计算：． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项． 【例27】 计算：． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项． 【例28】 计算：． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项． 【例29】 计算：． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项． 【例30】 计算：． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项、平方差公式． 课后作业 【作业1】 如果六位数能被105整除，那这个六位数为____________． 【难度】★ 【答案】199290． 【解析】∵的余数为10，∴原数=． 【总结】考点：试除法． 【作业2】 若能被11整除，则a =______． 【难度】★ 【答案】2． 【解析】∵，∴，∴． 【总结】考点：能被11整除的数的特征． 【作业3】 42□28□能被99整除，方框里应该填什么数？ 【难度】★ 【答案】7和4． 【解析】设这个六位数为，∵，∴， 即，， ∴， ∴，，这个数为427284． 【总结】考查被99整除的数的特征． 【作业4】 计算： 【难度】★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项． 【作业5】 计算：． 【难度】★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项． 【作业6】 学生问数学老师的年龄，老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就是我的年龄”，则老师今年 岁． 【难度】★★ 【答案】37． 【解析】设一个三位数为，由题意得：老师的年龄=（岁）． 【总结】利用字母代表数的思想． 【作业7】 已知一个数能被91整除，那么三位数是______ 【难度】★★ 【答案】546． 【解析】∵，其中不能被7和13 整除，∴能被91整除，∴=． 【总结】考点：重码数，整除特征． 【作业8】 计算：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项、等差数列求和． 【作业9】 计算：． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项． 【作业10】 计算： ． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】 【总结】考点：分数裂项． 17 / 18