第7章 锐角三角函数测试卷（2）.docx

锐角三角函数测试卷（2） 一、选择题 1．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（　　） A．500•sinα米 B．米 C．500•cosα米 D．米 2．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，设∠ABC=α，则下列结论错误的是（　　） A．BC= B．CD=AD•tanα C．BD=ABcosα D．AC=ADcosα 4．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（　　） A．S1=S2 B．S1=S2 C．S1=S2 D．S1=S2 5．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（　　） A．a•sinα B．a•cosα C．a•tanα D． 6．如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m，眼睛与地面的距离为1.6m，那么这棵树的高度大约是（　　） A．5.2m B．6.8m C．9.4m D．17.2m 7．某实践小组去公园测量人工湖AD的长度.小明进行如下测量：点D在点A的正北方向，点B在点A的北偏东50°方向，AB=40米.点E在点B的正北方向，点C在点B的北偏东30°方向，CE=30米.点C和点E都在点D的正东方向，求AD的长（结果精确到1米）.（参考数据：≈1.732，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192） 8．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（　　） A．20米 B．米 C．米 D．米 　 9．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（　　）（结果精确到0.1m，≈1.73）. A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m 　 二、填空题 10．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为　 　m（结果不作近似计算）。 　 11．如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=　 　米. 　 12．如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离CD=6米，他与积水的距离BC=1米，他的眼睛距离地面AB=1.5米，则旗杆的高度DE=　 　米. 　 三、解答题 13．如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB，在地面D处测得塔尖的仰角∠ADC=60°，塔底的仰角∠BDC=45°，点D距塔AB的距离DC为100米，求手机信号中转塔AB的高度（结果保留根号）. 14．在一个阳光明媚，微风习习的周末，小明和小强一起到聂耳文化广场放风筝，放了一会儿，两个人争吵起来： 小明说：“我的风筝飞得比你的高”. 小强说：“我的风筝引线比你的长，我的风筝飞得更高”. 谁的风筝飞得更高呢？于是他们将两个风筝引线的一段都固定在地面上的C处（如图），现已知小明的风筝引线（线段AC）长30米，小强的风筝引线（线段BC）长36米，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°，请通过计算说明谁的风筝飞得更高？ （结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73） 　 15．如图，一热气球在距地面90米高的P处，观测地面上点A的俯角为60°，气球以每秒9米的速度沿AB方向移动，5秒到达Q处，此时观测地面上点B的俯角为45°.（点P，Q，A，B在同一铅直面上）. (1)若气球从Q处继续向前移动，方向不变，再过几秒位于B点正上方？ (2)求AB的长（结果保留根号）. 　 16．钓鱼岛是我国固有领土，为测量钓鱼岛东西两端A，B的距离，如图2，我勘测飞机在距海平面垂直高度为1公里的点C处，测得端点A的俯角为45°，然后沿着平行于AB的方向飞行3.2公里到点D，并测得端点B的俯角为37°，求钓鱼岛两端AB的距离.（结果精确到0.1公里，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41） 　 17．在数学课外实践活动中，要测量教学楼的高度AM.下面是两位同学的对话： 请你根据两位同学的对话，结合图形计算教学楼的高度AM.（参考数据：sin20°≈，cos20°≈，tan20°≈） 　 18．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米.（结果保留整数，参考数值：=1.732，=1.414） 　 19．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位） 　 20．如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41） 　 21．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）. 　 22．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米. （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） (1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？ (2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？ 答案 1．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（　　） A．500•sinα米 B．米 C．500•cosα米 D．米 【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】根据题意画出图形，再利用坡角的正弦值即可求解． 【解答】解：如图，∠A=α，AE=500． 则EF=500sinα． 故选A． 【点评】此题主要考查坡度坡角问题，正确掌握坡角的定义是解题关键． 2．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】T1：锐角三角函数的定义；KQ：勾股定理． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解． 【解答】解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4， ∴AC===2， ∴cosC===． 故选B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理． 3．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，设∠ABC=α，则下列结论错误的是（　　） A．BC= B．CD=AD•tanα C．BD=ABcosα D．AC=ADcosα 【考点】T7：解直角三角形． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数求角边关系即可． 【解答】解：A．在Rt△ABC中，sinα=， ∴BC=，故A正确； B．∵∠B+∠BAD=90°，∠CAD+∠BAD=90°， ∴∠B=∠CAD=α， 在Rt△ADC中，tanα=， ∴CD=AD•tanα， 故B正确； C．在Rt△ABD中， cosα=， ∴BD=AB•cosα， 故C正确； D．在Rt△ADC中，cosα=， ∴AD=AC•cosα， 故D错误； 故选D． 【点评】本题主要考查了直角三角形角边关系，熟练掌握边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）是解答此题的关键． 4．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（　　） A．S1=S2 B．S1=S2 C．S1=S2 D．S1=S2 【考点】T7：解直角三角形；K3：三角形的面积． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，根据三角函数可求AG，在Rt△ABG中，根据三角函数可求DH，根据三角形面积公式可得S1，S2，依此即可作出选择． 【解答】解：过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H． 在Rt△ABG中，AG=AB•sin40°=5sin40°， ∠DEH=180°﹣140°=40°， 在Rt△DHE中，DH=DE•sin40°=8sin40°， S1=8×5sin40°÷2=20sin40°， S2=5×8sin40°÷2=20sin40°． 则S1=S2． 故选C． 【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，关键是作出高线构造直角三角形． 5．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（　　） A．a•sinα B．a•cosα C．a•tanα D． 【考点】T8：解直角三角形的应用． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】根据已知角的正切值表示即可． 【解答】解：∵AC=a，∠ABC=α，在直角△ABC中tanα=， ∴AB=． 故选D． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 6．如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m，眼睛与地面的距离为1.6m，那么这棵树的高度大约是（　　） A．5.2m B．6.8m C．9.4m D．17.2m 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】三角尺和树构成直角三角形，根据一直角边和三角尺的度数，可将眼睛到树尖的距离求出，加上眼睛与地面的距离即为这棵树的高度． 【解答】解：由图中所示：眼睛到树尖的距离h1=tan30°×9=， 眼睛与地面之间的距离：h2=1.6， ∴这棵树的高度h=h1+h2=3+1.6≈6.8（m）． 故选B． 【点评】本题主要是将实际问题与解直角三角形联系起来，使求解过程变得简单． 7．某实践小组去公园测量人工湖AD的长度.小明进行如下测量：点D在点A的正北方向，点B在点A的北偏东50°方向，AB=40米.点E在点B的正北方向，点C在点B的北偏东30°方向，CE=30米.点C和点E都在点D的正东方向，求AD的长（结果精确到1米）.（参考数据：≈1.732，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192） 【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题． 【专题】解答题 【难度】难 【分析】首先过点B作BF⊥AD于点F，根据题意得在Rt△ABF中，∠A=50°，AB=40米，在Rt△BCF中，∠CBF=30°，CE=30米，直接利用三角函数的知识，可求得BE与AF的长，继而求得答案． 【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F， 在Rt△ABF中，∠A=50°，AB=40米， ∴AF=AB•cos50°≈40×0.643=25.72（米）， 在Rt△BCF中，∠CBF=30°，CE=30米， ∴BE===30≈51.96（米）， ∵四边形BEDF是矩形， ∴AD=AF+DF=25.72+51.96≈78（米）． 答：AD的长为78米． 【点评】此题考查了方向角问题．注意准确构造直角三角形并解直角三角形是关键． 8．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（　　） A．20米 B．米 C．米 D．米 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】选择题 【难度】易 【分析】根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC中求出BC，在Rt△AFD中求出DF，继而可求出CD的长度． 【解答】解：∵点G是BC中点，EG∥AB， ∴EG是△ABC的中位线， ∴AB=2EG=30米， 在Rt△ABC中，∠CAB=30°， 则BC=ABtan∠BAC=30×=10米． 如图，过点D作DF⊥AF于点F． 在Rt△AFD中，AF=BC=10米， 则FD=AF•tanβ=10×=10米， 综上可得：CD=AB﹣FD=30﹣10=20米． 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度． 　 9．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（　　）（结果精确到0.1m，≈1.73）. A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】选择题 【难度】易 【专题】12 ：应用题． 【分析】设CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x的值，再由树高=CD+FD即可得出答案． 【解答】解：设CD=x， 在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°， 则tan30°=CD：AD=x：AD 故AD=x， 在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°， 则tan60°=CD：ED=x：ED 故ED=x， 由题意得，AD﹣ED=x﹣x=4， 解得：x=2， 则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m． 故选D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度． 　 10．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为　 　m（结果不作近似计算）。 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】填空题 【难度】中 【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， 则四边形BCDE是矩形， 根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m， ∴DE=BC=18m，CD=BE， 在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18（m）， 在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6（m）， ∴DC=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）． 故答案为：12． 【点评】本题考查俯角的知识．此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用． 　 11．如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=　 　米. 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【【专题】填空题 【难度】中 【分析】在Rt△BDC中，根据∠BDC=45°，求出DC=BC=3米，在Rt△ADC中，根据∠ADC=60°即可求出AC的高度． 【解答】解：在Rt△BDC中， ∵∠BDC=45°， ∴DC=BC=3米， 在Rt△ADC中， ∵∠ADC=60°， ∴AC=DCtan60°=3×=3（米）． 故答案为：3． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形，解直角三角形，难度一般． 　 12．如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离CD=6米，他与积水的距离BC=1米，他的眼睛距离地面AB=1.5米，则旗杆的高度DE=　 　米. 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】填空题 【难度】中 【分析】先根据光的反射定律得出∠ACB=∠ECD，再得出Rt△ACB∽Rt△ECD，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论． 【解答】解：根据光的反射定律，∠ACB=∠ECD， ∵∠ACB=∠EDC，CD=6米，AB=1.5米，BC=1米， ∴Rt△ACB∽Rt△ECD， ∴=，即=，解得DE=9． 故答案为：9． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 　 13．如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB，在地面D处测得塔尖的仰角∠ADC=60°，塔底的仰角∠BDC=45°，点D距塔AB的距离DC为100米，求手机信号中转塔AB的高度（结果保留根号）. 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【分析】先在Rt△BCD中，根据∠BDC=45°，得出BC=CD=100；再在Rt△ACD中，根据正切函数的定义，求出AC=100，然后由AB=AC﹣BC即可求解． 【解答】解：由题意可知，△ACD与△BCD都是直角三角形． 在Rt△BCD中，∵∠BDC=45°， ∴BC=CD=100． 在Rt△ACD中，∵∠ADC=60°，CD=100， ∴tan∠ADC=，即， ∴， ∴AB=AC﹣BC=． 答：手机信号中转塔的高度为米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，难度适中，解答本题的关键是借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 　 14．在一个阳光明媚，微风习习的周末，小明和小强一起到聂耳文化广场放风筝，放了一会儿，两个人争吵起来： 小明说：“我的风筝飞得比你的高”. 小强说：“我的风筝引线比你的长，我的风筝飞得更高”. 谁的风筝飞得更高呢？于是他们将两个风筝引线的一段都固定在地面上的C处（如图），现已知小明的风筝引线（线段AC）长30米，小强的风筝引线（线段BC）长36米，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°，请通过计算说明谁的风筝飞得更高？ （结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73） 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解答题 【难度】难 【分析】在Rt△ACD和Rt△BCE中，分别解直角三角形，求得AD和BE的高度，比较即可． 【解答】解：分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E， 在Rt△ACD中， ∵sin∠ACD=， ∴AD=AC•sin∠ACD=30×sin60°=15≈26.0（米）． 在Rt△BCE中， ∵sin∠BCE=， ∴BE=BC•sin∠BCE=36×sin45°=18≈25.4（米）． ∵26.0＞25.4， ∴小明的风筝飞得更高． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 　 15．如图，一热气球在距地面90米高的P处，观测地面上点A的俯角为60°，气球以每秒9米的速度沿AB方向移动，5秒到达Q处，此时观测地面上点B的俯角为45°.（点P，Q，A，B在同一铅直面上）. (1)若气球从Q处继续向前移动，方向不变，再过几秒位于B点正上方？ (2)求AB的长（结果保留根号）. 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解答题 【难度】难 【分析】(1)首先过点B作BH⊥PQ，垂足为H，即可得出QH=HB=90m，进而利用平移速度得出答案； (2)首先过点P作PE⊥AB，垂足为E，利用tan60°===，进而得出AE的长，再利用PH=BE进而得出AB的长． 【解答】解：(1)过点B作BH⊥PQ，垂足为H， ∵一热气球在距地面90米高的P处， ∴HB=90m， ∵∠HQB=45°， ∴∠2=45°， ∴QH=HB=90m， ∴90÷9=10（秒）， 答：气球从Q处继续向前移动，方向不变，再过10秒位于B点正上方； (2)过点P作PE⊥AB，垂足为E， ∵一热气球在距地面90米高的P处， ∴PE=90m， ∵∠QPA=60°， ∴∠1=60°， ∴tan60°===， ∴AE==30， ∵气球以每秒9米的速度沿AB方向移动，5秒到达Q处， ∴PQ=5×9=45（m）， ∴PH=45+90=135（m）， ∴BE=135（m）， ∴AB=BE﹣AE=（135﹣30）m， 答：AB的长为（135﹣30）m． 【点评】此题主要考查了仰角与俯角的应用，根据题意得出直角三角形利用已知角度得出HQ的长是解题关键． 　 16．钓鱼岛是我国固有领土，为测量钓鱼岛东西两端A，B的距离，如图2，我勘测飞机在距海平面垂直高度为1公里的点C处，测得端点A的俯角为45°，然后沿着平行于AB的方向飞行3.2公里到点D，并测得端点B的俯角为37°，求钓鱼岛两端AB的距离.（结果精确到0.1公里，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41） 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解答题 【难度】难 【分析】首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=1公里，CD=3.2公里，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得钓鱼岛两端AB的距离． 【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F． ∵AB∥CD， ∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°， ∴四边形ABFE为矩形， ∴AB=EF，AE=BF=1公里， 在Rt△AEC中，∠C=45°，AE=1公里． ∴CE=AE=1（公里）． 在Rt△BFD中，∠BDF=37°，BF=1公里， ∴DF=≈1.33公里， ∴AB=EF=CD+DF﹣CE=3.2+1.33﹣1=3.53≈3.5（公里）． 答：钓鱼岛两端AB的距离约为3.5公里． 【点评】此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 　 17．在数学课外实践活动中，要测量教学楼的高度AM.下面是两位同学的对话： 请你根据两位同学的对话，结合图形计算教学楼的高度AM.（参考数据：sin20°≈，cos20°≈，tan20°≈） 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解答题 【难度】难 【分析】设AB=x，则BC=x，DB=20+x，在Rt△△ABD中利用20°的锐角三角函数值即可求出BC的长，又因为AM=AB+BM，问题得解． 【解答】解：由题意得∠ABC=90° ∵∠ACB=45° ∴∠CAB=90°﹣∠ACB=90°﹣45°=45° ∴AB=BC 设AB=x，则BC=x，DB=20+x 在Rt△ABD中 ∵tan∠ADB= ∴tan20°=， ∵tan20°≈， ∴， x=11.25 ∵BM=CE=1.5 ∴AM=11.25+1.5=12.75 答：教学楼的高AM是12.75米． 方法二 解：设BD为x，则BC=x﹣20 ∵∠ACB=45°，∠ABC=90° ∴∠CAB=45° ∴AB=BC=x﹣20 在Rt△ABD中 ∵tan∠ADB=， ∴tan20°=， ∵tan20°=， ∴， x=31.25 ∴BC=31.25﹣20=11.25 ∵BM=CE=1.5 ∴AM=11.25+1.5=12.75． 答：教学楼的高AM约为12.75米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法． 　 18．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米.（结果保留整数，参考数值：=1.732，=1.414） 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解答题 【难度】难 【分析】设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分别用CF表示AC、BC的长度，然后根据AC﹣BC=1200，求得x的值，用h﹣x即可求得最高海拔． 【解答】解：设CF=x， 在Rt△ACF和Rt△BCF中， ∵∠BAF=30°，∠CBF=45°， ∴BC=CF=x， =tan30°， 即AC=x， ∵AC﹣BC=1200米， ∴x﹣x=1200， 解得：x=600（+1）， 则DF=h﹣x=2001﹣600（+1）≈362（米）． 答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形求出AC、BC的长度，难度一般． 　 19．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位） 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解答题 【难度】难 【分析】易得DE=AB，利用BC长和60°的正弦值即可求得CD长，加上DE长就是此时风筝离地面的高度． 【解答】解：依题意得，∠CDB=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°， ∴四边形ABDE是矩形，（1分） ∴DE=AB=1.5，（2分） 在Rt△BCD中，，（3分） 又∵BC=20，∠CBD=60°， ∴CD=BC•sin60°=20×=10，（4分） ∴CE=10+1.5≈19米，（5分） 答：此时风筝离地面的高度约为19米． 【点评】考查仰角的定义，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是仰角问题常用的方法． 　 20．如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41） 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解答题 【难度】难 【分析】先判断△ACE为等腰三角形，在Rt△AEF中表示出EF、AF，在Rt△BEF中求出BF，根据AB=AF﹣BF即可得出答案． 【解答】解：依题意可得：∠AEB=∠EAB=30°，∠ACE=15°， 又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE ∴∠CAE=15°， 即△ACE为等腰三角形， ∴AE=CE=100m， 在Rt△AEF中，∠AEF=60°， ∴EF=AEcos60°=50m，AF=AEsin60°=50m， 在Rt△BEF中，∠BEF=30°， ∴BF=EFtan30°=50×=m， ∴AB=AF﹣BF=50﹣=≈58（米）． 答：塔高AB大约为58米． 【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般． 　 21．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）. 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解答题 【难度】难 【分析】首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD﹣AB=CD﹣112；在Rt△BCD中，可得BD=CD•tan36°，即可得CD•tan36°=CD﹣112，继而求得答案． 【解答】解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m， ∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°， ∴AD=CD， ∵AD=AB+BD， ∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m）， ∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=，∠BCD=90°﹣∠CBD=36°， ∴tan36°=， ∴BD=CD•tan36°， ∴CD•tan36°=CD﹣112， ∴CD=≈≈415（m）． 答：天塔的高度CD约为：415m． 【点评】本题考查了仰角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 　 22．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米. （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） (1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？ (2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？ 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解答题 【难度】难 【分析】(1)根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，可知∠DFG=90°﹣53°=37°，在△DFG中，已知DF的长度，求出DG的长度，若DG＞3，则看不见老鼠，若DG＜3，则可以看见老鼠； (2)根据(1)求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt△CAG中，根据=sin∠ACG=sin37°，即可求出CG的长度． 【解答】解：(1)能看到； 由题意得，∠DFG=90°﹣53°=37°， 则=tan∠DFG， ∵DF=4米， ∴DG=4×tan37°≈4×0.75=3（米）， 故能看到这只老鼠； (2)由(1)得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米）， 又=sin∠ACG=sin37°， 则CG=≈=9.5（米）． 答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞约9.5米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段，难度一般．