2020-2021学年上海市普陀区八年级（下）期中数学试卷（Word版 含解析）.doc

2020-2021学年上海市普陀区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 1．（3分）下列四个函数中，一次函数是（　　） A．y＝x2﹣2x B．y＝x﹣2 C．y＝+1 D．y＝+1 2．（3分）一次函数y＝（k+3）x+1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．k＜﹣3 D．k＞﹣3 3．（3分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，那么下列结论中正确的是（　　） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 4．（3分）下列四个命题中，真命题是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D．对角线互相垂直相等的四边形是正方形 二、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分） 5．（2分）若函数y＝（m﹣2）x+5是一次函数，则m满足的条件是　 　． 6．（2分）将直线y＝3x+2沿y轴向下平移4个单位，那么平移后直线的表达式是　 　． 7．（2分）已知函数f（x）＝x﹣1，则f（2）＝　 　． 8．（2分）一次函数y＝3（x﹣2）在y轴上的截距是　 　． 9．（2分）若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在一次函数y＝﹣x+3的图象上，x1＜x2，则y1﹣y2　 　0（填“＞”“＜”或“＝”）． 10．（2分）一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形是　 　边形． 11．（2分）已知菱形的两条对角线的长分别是8和6，则该菱形的周长是　 　． 12．（2分）已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是　 　（只填一个你认为正确的即可）． 13．（2分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（4，0）与（0，4），那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是　 　． 14．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则BC的长为　 　． 15．（2分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD＝2，BC＝4，则该梯形的面积为　 　． 16．（2分）如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为　 　度． 17．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB≠CD，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是　 　． 18．（2分）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积是1cm2，则它移动的距离AA′等于　 　cm． 三、简答题（本大题共7题，满分60分） 19．（7分）已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x+3平行，且与直线y＝4x﹣5交于点（2，m）．求此一次函数的解析式． 20．（7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，AD＝8，AB＝，CD＝26，求BC的长． 21．（7分）已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长． 22．（8分）甲、乙两人从学校出发，甲先出发，乙后出发，都匀速骑车前往图书馆，乙在骑行途中休息片刻后，以原速度继续骑行．已知乙的速度是甲的1.6倍，甲、乙两人离学校的距离y（米）与乙行驶的时间x（分钟）之间的关系如图，请根据图象回答问题． （1）乙骑行的速度是　 　米/分钟；甲骑行的速度是　 　米/分钟； （2）甲比乙先出发　 　分钟； （3）求线段BD所表示的y与x之间的函数解析式． 23．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 24．（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，∠QAO＝45°，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y＝﹣2x+8与直线AQ交于点P． （1）求直线AQ的表达式； （2）在y轴上取一点F，当四边形BPFO为是梯形时，求点F的坐标； （3）点D为直角坐标平面内一点，如果以Q、P、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标． 25．（12分）如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF＝EF，AB＝12，设AE＝x，BF＝y． （1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长； （2）求y与x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由． 2020-2021学年上海市普陀区八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 1．（3分）下列四个函数中，一次函数是（　　） A．y＝x2﹣2x B．y＝x﹣2 C．y＝+1 D．y＝+1 【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【解答】解：A、y＝x2﹣2x是二次函数，故本项错误； B、y＝x﹣2是一次函数，故正确； C、自变量次数不为1，故不是一次函数； D、自变量次数不为1，故不是一次函数， 故选：B． 2．（3分）一次函数y＝（k+3）x+1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．k＜﹣3 D．k＞﹣3 【分析】根据一次函数y＝（k+3）x+1中，y随x的增大而减小，推出k+3＜0即可找到k的取值范围． 【解答】解：∵一次函数y＝（k+3）x+1中，y随x的增大而减小， ∴k+3＜0， 解得：k＜﹣3． 故A、B、D错误， 故选：C． 3．（3分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，那么下列结论中正确的是（　　） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【分析】根据等腰梯形的性质，即可得AC＝BD，然后根据相等向量与相反向量，以及平行向量的定义，即可求得答案． 【解答】解：A、∵AB＝CD，但AB不平行于CD，≠，故本选项错误； B、∵AD∥BC，AB＝CD，∴AC＝BD，但AC不平行于BD，∴≠，故本选项错误； C、∵AD≠BC，∴与不是相反向量，故本选项错误； D、∵AD∥BC，∴与是平行向量，故本选项正确． 故选：D． 4．（3分）下列四个命题中，真命题是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D．对角线互相垂直相等的四边形是正方形 【分析】利用菱形、矩形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意； D、对角线互相垂直相等的四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分） 5．（2分）若函数y＝（m﹣2）x+5是一次函数，则m满足的条件是　m≠2　． 【分析】根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，即可得出答案． 【解答】解：由题意得：m﹣2≠0， 解得：m≠2． 故答案为：m≠2． 6．（2分）将直线y＝3x+2沿y轴向下平移4个单位，那么平移后直线的表达式是　y＝3x﹣2　． 【分析】由平移的规律可直接求得答案． 【解答】解：直线y＝3x+2沿y轴向下平移4个单位长度后的函数解析式是y＝3x+2﹣4＝3x﹣2， 故答案为：y＝3x﹣2． 7．（2分）已知函数f（x）＝x﹣1，则f（2）＝　0　． 【分析】根据函数f（x）＝x﹣1，可以得到x＝2对应的f（x）的值． 【解答】解：∵函数f（x）＝x﹣1， ∴f（2）＝×2﹣1＝1﹣1＝0， 故答案为：0． 8．（2分）一次函数y＝3（x﹣2）在y轴上的截距是　﹣6　． 【分析】代入x＝0求出与之对应的y值，此题得解． 【解答】解：当x＝0时，y＝3×（0﹣2）＝﹣6． 故答案为：﹣6． 9．（2分）若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在一次函数y＝﹣x+3的图象上，x1＜x2，则y1﹣y2　＞　0（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合x1＜x2可得出y1＞y2，进而可得出y1﹣y2＞0． 【解答】解：∵k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵x1＜x2， ∴y1＞y2， ∴y1﹣y2＞0． 故答案为：＞． 10．（2分）一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形是　10　边形． 【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式得出（n﹣2）×180°＝1440，求出方程的解即可． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 则（n﹣2）×180°＝1440°， 解得：n＝10， 即这个多边形是10边形， 故答案为：10． 11．（2分）已知菱形的两条对角线的长分别是8和6，则该菱形的周长是　20　． 【分析】根据菱形对角线平分且垂直的性质及勾股定理求得其边长，则其周长就不难求得了． 【解答】解：如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，且BD＝8，AC＝6，求菱形的周长． ∵菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，且AC＝6，BD＝8， ∴AC⊥BD，BO＝DO＝4，AO＝CO＝3， ∴AB＝5， ∴菱形的周长＝5×4＝20． 故答案为：20． 12．（2分）已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是　AB＝AD　（只填一个你认为正确的即可）． 【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定四边形ABCD为矩形， 因此再添加条件：AB＝AD，即可判定四边形ABCD为正方形， 故答案为：AB＝AD． 13．（2分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（4，0）与（0，4），那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是　x＜4　． 【分析】首先利用图象可找到图象在x轴上方时x＜3，进而得到关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜4． 【解答】解：由题意可得：一次函数y＝kx+b中，kx+b＞0时，图象在x轴上方，x＜4， 则关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜4， 故答案是：x＜4． 14．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则BC的长为　7　． 【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，且AD＝BC，结合角平分线的性质可求得DE＝DC＝AB＝5，则可求得AD的长，可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD＝5，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∵CE平分∠BCD， ∴∠DCE＝∠BCE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝DC＝5， ∵AE＝2， ∴AD＝BC＝2+5＝7， 故答案为：7． 15．（2分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD＝2，BC＝4，则该梯形的面积为　9　． 【分析】过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F，证平行四边形ADEC，推出AC＝DE＝BD，∠BDE＝90°，根据等腰三角形性质推出BF＝DF＝EF＝BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可． 【解答】解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E， ∵AD∥BC（已知）， 即AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AD＝CE＝2，AC＝DE， 在等腰梯形ABCD中，AC＝DB， ∴DB＝DE（等量代换）， ∵AC⊥BD，AC∥DE， ∴DB⊥DE， ∴△BDE是等腰直角三角形， 作DF⊥BC于F， 则DF＝BE＝3， S梯形ABCD＝（AD+BC）•DF＝（2+4）×3＝9． 故答案为：9． 16．（2分）如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为　75　度． 【分析】根据矩形的性质可得△BOA为等边三角形，得出BA＝BO，又因为△BAE为等腰直角三角形，BA＝BE，由此关系可求出∠BOE的度数． 【解答】解：在矩形ABCD中，∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝45°， 又知∠EAO＝15°， ∴∠OAB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△BOA为等边三角形， ∴BA＝BO， ∵∠BAE＝45°，∠ABC＝90°， ∴△BAE为等腰直角三角形， ∴BA＝BE． ∴BE＝BO，∠EBO＝30°， ∠BOE＝∠BEO， 此时∠BOE＝75°． 故答案为75°． 17．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB≠CD，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是　AD＝BC　． 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AD且EF＝AD，同理可得GH∥AD且GH＝AD，EH∥BC且EH＝BC，然后证明四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形解答． 【解答】解：还应满足AD＝BC． 理由如下：∵E，F分别是AB，BD的中点， ∴EF∥AD且EF＝AD， 同理可得：GH∥AD且GH＝AD，EH∥BC且EH＝BC， ∴EF∥GH且EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AD＝BC， ∴AD＝BC， 即EF＝EH， ∴▱EFGH是菱形． 故答案是：AD＝BC． 18．（2分）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积是1cm2，则它移动的距离AA′等于　1　cm． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质及平移的基本性质． 【解答】解：设CD与A′C′交于点H，AC与A′B′交于点G， 由平移的性质知，A′B′与CD平行且相等，∠ACB′＝45°，∠DHA′＝∠DA′H＝45°， ∴△DA′H是等腰直角三角形，A′D＝DH，四边形A′GCH是平行四边形， ∵SA′GCH＝HC•B′C＝（CD﹣DH）•DH＝1cm2， ∴DH＝A′D＝1cm， ∴AA′＝AD﹣A′D＝1cm． 故答案为1． 三、简答题（本大题共7题，满分60分） 19．（7分）已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x+3平行，且与直线y＝4x﹣5交于点（2，m）．求此一次函数的解析式． 【分析】先设一次函数的解析式为y＝kx+b，利用两条直线平行确定出k，再利用两条直线的交点求出b即可． 【解答】解：设一次函数解析式为：y＝kx+b， ∵与直线y＝﹣2x+3平行， ∴k＝﹣2， 又∵与直线y＝4x﹣5交于点P（2，m）， ∴将点P（2，m）代入y＝4x﹣5得：m＝4×2﹣5＝3， 将点P（2，3）代入y＝kx+b，其中k＝﹣2， 得：3＝﹣2×2+b， 解得：b＝7， ∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+7． 20．（7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，AD＝8，AB＝，CD＝26，求BC的长． 【分析】作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，由此可得出四边形AEFD是矩形，在Rt△ABE中利用勾股定理可求出AE的长，在Rt△DFC中利用勾股定理可求出FC的长，再根据线段之间的关系即可得出BC的长． 【解答】解：作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，如图所示． ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEF＝∠DFE＝90°，AE∥DF． ∵AD∥BC， ∴四边形AEFD是矩形， ∴AE＝DF，AD＝EF＝8． 在Rt△ABE中，由∠B＝45°，得AE＝BE ∴， ∴AE＝BE＝10， ∴DF＝10． 在Rt△DFC中，由DF＝10，CD＝26， ∴FC＝＝24， ∴BC＝BE+EF+FC＝42． 21．（7分）已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出AF＝BE，则四边形ABEF是平行四边形，由AE⊥BF，即可得出四边形ABEF是菱形； （2）由菱形的性质得出AB＝BE＝4，AB∥EF，证出△ABE是等边三角形，得出AE＝AB＝4． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CE＝DF， ∴AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又∵AE⊥BF， ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：∵菱形ABEF的周长为16， ∴AB＝BE＝4，AB∥EF， ∴∠ABE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣120°＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝4． 22．（8分）甲、乙两人从学校出发，甲先出发，乙后出发，都匀速骑车前往图书馆，乙在骑行途中休息片刻后，以原速度继续骑行．已知乙的速度是甲的1.6倍，甲、乙两人离学校的距离y（米）与乙行驶的时间x（分钟）之间的关系如图，请根据图象回答问题． （1）乙骑行的速度是　320　米/分钟；甲骑行的速度是　200　米/分钟； （2）甲比乙先出发　2　分钟； （3）求线段BD所表示的y与x之间的函数解析式． 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出甲从学校到图书馆的时间，然后即可计算出甲比乙先出发多长时间； （3）根据函数图象中的数据，可以计算出线段BD所表示的y与x之间的函数解析式． 【解答】解：（1）由图象可得， 乙骑行的速度为：3200÷10＝320（米/分钟）， 甲骑行的速度为：320÷1.6＝200（米/分钟）， 故答案为：320，200； （2）甲从学校到图书馆的时间为：6400÷200＝32（分钟）， 甲比乙先出发32﹣30＝2（分钟）， 故答案为：2； （3）点D的纵坐标为：200×2＝400， 故点D的坐标为（0，400），点B的坐标为（30，6400）， 设线段BD所表示的y与x之间的函数解析式是y＝kx+b， ， 解得， 即线段BD所表示的y与x之间的函数解析式是y＝200x+400（0≤x≤30）． 23．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，证出EG＝CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE＝OB，DF＝OD， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵AC＝2OA，AC＝2AB， ∴AB＝OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG＝90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， 由（1）得：△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， ∵EG＝AE， ∴EG＝CF， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG＝90°， ∴四边形EGCF是矩形． 24．（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，∠QAO＝45°，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y＝﹣2x+8与直线AQ交于点P． （1）求直线AQ的表达式； （2）在y轴上取一点F，当四边形BPFO为是梯形时，求点F的坐标； （3）点D为直角坐标平面内一点，如果以Q、P、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标． 【分析】（1）利用已知条件求出A，Q两点的坐标，用待定系数法可求； （2）求出点P的坐标，利用已知可知点P和点F的纵坐标相同，结论可得； （3）分类三种情况讨论，利用平行四边形的性质，求出相应线段的长度后D点坐标可得． 【解答】解：（1）∵直线AQ在y轴上的截距为2， ∴OQ＝2． ∵∠QAO＝45°，OA⊥OQ， ∴OA＝OQ＝2． ∴A（﹣2，0）． 设直线AQ的表达式为y＝kx+2， ∴0＝﹣2k+2． ∴k＝1． ∴直线AQ的表达式为：y＝x+2． （2）在y轴上取一点F，当四边形BPFO为是梯形时，如图： 过点P作PC⊥OB于点C， ∵四边形BPFO为是梯形， ∴PF∥OB． ∴P，F两点纵坐标相同． 解方程组得： ． ∴P（2，4）． ∴F（0，4）． （3）如果以Q、P、B、D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： 当PD∥QB时，如图， 对于y＝﹣2x+8，令y＝0，则x＝4． ∴B（4，0）． ∴OB＝4． 过点D作DH⊥x轴于H，过P作PG⊥y轴于G， ∵四边形PQBD是平行四边形， ∴BD∥PQ，BD＝PQ． ∴∠DBH＝∠QAO＝45°． ∵∠GQP＝∠AQO＝45°， ∴∠DBH＝∠GQP． ∵PG⊥GQ，DH⊥BH， ∴∠PGQ＝∠DHB＝90°． ∴△PGD≌DHB（AAS）． ∴PG＝DH． ∵OG＝PC＝4，OQ＝2， ∴QG＝4﹣2＝2． ∴BH＝DH＝QG＝2． ∴OH＝4+2＝6． ∴D（6，2）． 当PB∥QD时，如图， 过点D作DG⊥y轴于点G， ∵P（2，4）， ∴OC＝2，PC＝4． ∵四边形PBDQ是平行四边形， ∴PB∥QD，PB＝QD． ∴∠BPC＝∠DQG． ∵PC⊥BC，DG⊥QG， ∴∠PCB＝∠QGD＝90°． ∴△PCB≌△QGD（AAS）． ∴GD＝BC＝2，QG＝PC＝4． ∵OQ＝2， ∴OG＝4﹣2＝2． ∴D（2，﹣2）． 当PD∥BQ时，如图， 过D作DG⊥y轴于点G， ∵P（2，4）， ∴OC＝2，PC＝4． ∵四边形PDQB是平行四边形， ∴DQ∥PB，PB＝QD． ∴∠BPC＝∠DQG． ∵PC⊥BC，DG⊥QG， ∴∠PCB＝∠QGD＝90°． ∴△PCB≌△QGD（AAS）． ∴GD＝BC＝2，QG＝PC＝4． ∵OQ＝2， ∴OG＝4+2＝6． ∴D（﹣2，6）． 综上，D点的坐标为（6，2）或（2，﹣2）或（﹣2，6）． 25．（12分）如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF＝EF，AB＝12，设AE＝x，BF＝y． （1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长； （2）求y与x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）当△BEF是等边三角形时，有∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，则可解Rt△ABE，求得BF即BE的长． （2）作EG⊥BF，垂足为点G，则四边形AEGB是矩形，在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF2＝（BF﹣BG）2+EG2．即y2＝（y﹣x）2+122．故可求得y与x的关系． （3）当把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A'处，应有∠BA'F＝∠BA'E＝∠A＝90°，若△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B＝A'F＝AB＝12，有FA′＝EF﹣A′E＝y﹣x＝12，故可由（1）得到的y与x的关系式建立方程组求得AE的值． 【解答】解：（1）当△BEF是等边三角形时，∠ABE＝30°． ∵AB＝12， ∴AE＝， ∴BF＝BE＝． （2）作EG⊥BF，垂足为点G， 根据题意，得EG＝AB＝12，FG＝y﹣x，EF＝y， ∴y2＝（y﹣x）2+122， ∴所求的函数解析式为（0＜x＜12）． （3）∵∠AEB＝∠FBE＝∠FEB， ∴点A'落在EF上， ∴A'E＝AE，∠BA'F＝∠BA'E＝∠A＝90， ∴要使△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B＝A'F． 而A'B＝AB＝12，A'F＝EF﹣A'E＝BF﹣A'E， ∴y﹣x＝12． ∴﹣x＝12． 整理得x2+24x﹣144＝0， 解得， 经检验：都原方程的根， 但不符合题意，舍去， 当AE＝时，△A'BF为等腰三角形．