2020-2021学年上海市浦东新区九年级上学期期中数学试卷 （Word版 含解析）.doc

2020-2021学年上海市浦东新区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共6小题）. 1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为（　　） A．4：9 B．2：3 C．8：18 D．16：81 3．已知，下列说法中，错误的是（　　） A． B． C． D． 4．已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（　　） A． B． C． D． 5．已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m，那么此人升高了（　　） A．50m B．100m C．150m D．200m 二、填空题（共12小题）. 7．如果在某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°，那么从目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为　 　． 8．如果向量与单位向量方向相反，且长度为2，那么用向量表示＝　 　 9．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2cm，则AC＝　 　cm． 10．如果，那么用表示　 　． 11．已知梯形的上下两底长度为4和6，将两腰延长交于一点，这个交点到两底边的距离之比是　 　． 12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m，那么边AB上的高为　 　． 13．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝　 　（结果保留根号） 14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，EC＝2BE，连接AE交BD于点F，若△BFE的面积为2，则△AFD的面积为　 　． 15．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝　 　． 16．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝　 　． 17．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝2，那么点A的坐标是　 　． 18．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为　 　． 三、解答题（本大题共7题，满分78题）【请将解题过程写在答题纸的相应位置】 19．计算：cos245°﹣+cot230°． 20．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F． （1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长； （2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长． 21．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，交BD于点G，AE：AB＝1：3，设＝，＝． （1）用向量、分别表示下列向量： ＝　 　，＝　 　，＝　 　； （2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果） 22．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7） 23．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G． （1）求证：∠CDF＝∠DAE； （2）如果DE＝CE，求证：AE＝3EG． 24．如果，已知△ABC，A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）求sin∠BAC的值． （2）若点P在y轴上，且△POC与△AOB相似，请直接写出点P的坐标． （3）已知点M在y轴上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标． 25．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC比AB大3，sinB＝，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q． （1）求AG的长； （2）当∠APQ＝90°时，直线PG与边BC相交于点M．求的值； （3）当点Q在边AC上时，设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． 参考答案 一．选择题（共6小题，每题4分，共24分） 1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，据此进行计算即可． 解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴tanA＝＝． 故选：C． 2．已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为（　　） A．4：9 B．2：3 C．8：18 D．16：81 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 解：∵两个相似三角形的周长比为4：9， ∴两个相似三角形的相似比为4：9， ∴两个相似三角形的面积比为16：81， 故选：D． 3．已知，下列说法中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质（合分比定理）来解答． 【解答】A、如果，那么（a+b）：b＝（c+d）：d （b、d≠0）．所以由，得，故该选项正确； B、如果a：b＝c：d那么（a﹣b）：b＝（c﹣d）：d （b、d≠0）．所以由，得，故该选项正确； C、由得，5a＝3b，所以a≠b；又由得，ab+b＝ab+a即a＝b．故该选项错误； D、由得，5a＝3b；又由得，5a＝3b．故该选项正确； 故选：C． 4．已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（　　） A． B． C． D． 【分析】若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥AB． 解：如图， 若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例， 即＝，＝，故选项A、B正确； ＝，即＝，故选项C正确； 而＝，故D选项答案错误． 故选：D． 5．已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出图形，因为点C是线段AB的中点，所以根据线段中点的定义解答． 解：A、＝，故本选项错误； B、＝，故本选项正确； C、+＝，故本选项错误； D、+＝，故本选项错误． 故选：B． 6．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m，那么此人升高了（　　） A．50m B．100m C．150m D．200m 【分析】已知了坡面长为260米，可根据坡度比设出两条直角边的长度，根据勾股定理可列方程求出坡面的铅直高度，即此人上升的最大高度． 解：如图，Rt△ABC中，tanA＝，AB＝260米． 设BC＝x，则AC＝2.4x，根据勾股定理，得： x2+（2.4x）2＝2602， 解得x＝100（负值舍去）． 故选：B． 二、填空题 7．如果在某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°，那么从目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为　37°　． 【分析】根据俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°． 解：如图， ∵某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°， ∴目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°， 故答案为：37° 8．如果向量与单位向量方向相反，且长度为2，那么用向量表示＝　﹣2　 【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答． 解：∵的长度为2，向量是单位向量， ∴a＝2e， ∵与单位向量的方向相反， ∴＝﹣2． 故答案为：﹣2． 9．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2cm，则AC＝　（）　cm． 【分析】根据黄金分割的定义得到AC＝AB，把AB＝2cm代入计算即可． 解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴AC＝AB， 而AB＝2cm， ∴AC＝×2＝（﹣1）cm． 故答案为（﹣1）． 10．如果，那么用表示　＝　． 【分析】利用加减消元的思想，消去即可解决问题． 解：∵， ∴3+3＝6，4﹣2＝6， ∴3+3＝4﹣2， ∴＝， 故答案为＝． 11．已知梯形的上下两底长度为4和6，将两腰延长交于一点，这个交点到两底边的距离之比是　2：3　． 【分析】首先根据题意画出图形，由题意易得△EAD∽△EBC，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，求得答案． 解：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6， ∴△EAD∽△EBC， ∵EN⊥BC， ∴EN⊥AD， ∴EM：EN＝AD：BC＝4：6＝2：3， 即这个交点到两底边的距离之比是：2：3． 故答案为：2：3． 12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m，那么边AB上的高为　msinαcosα　． 【分析】利用直角三角形中的余弦三角函数的定义求得AC的长度，然后利用三角形的面积公式求得AB边上的高的长度． 解：根据题意，知 AC＝mcosα，BC＝msinα， ∴AC•BC＝mh，即h＝msinαcosα， 故答案是：msinαcosα． 13．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝　　（结果保留根号） 【分析】先根据AB＝5，∠B＝60°，求出△ABC中BC边上的高，再根据三角形的面积公式代入计算即可． 解：∵AB＝5，∠B＝60°， ∴△ABC中，BC边上的高＝sin60°×AB＝×5＝， ∵BC＝8， ∴S△ABC＝×8×＝10； 故答案为：10． 14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，EC＝2BE，连接AE交BD于点F，若△BFE的面积为2，则△AFD的面积为　18　． 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形得到BC∥AD，判定△ADF∽△EBF，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△AFD的面积． 解：∵ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△ADF∽△EBF， ∵EC＝2BE， ∴BC＝3BE， 即：AD＝3BE， ∴S△AFD＝9S△EFB＝18． 故答案为：18． 15．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝　4　． 【分析】根据相似三角形的判定及已知可得到△ABC∽△CDE，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长． 解：∵AB⊥BD，ED⊥BD ∴∠B＝∠D＝90°，∠A+∠ACB＝90° ∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB＝90° ∴∠A＝∠ECD ∴△ABC∽△CDE ∴ ∴AB＝4． 16．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝　　． 【分析】菱形对角线互相垂直，故AC⊥BD，根据∠OAE＝∠BAO，∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO，∴∠AOE＝∠BAO，根据AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值． 解：∵菱形对角线互相垂直， ∴∠OEA＝∠AOB， ∵∠OAE＝∠BAO， ∴△OAE∽△ABO， ∴∠AOE＝∠ABO， ∵AO＝AC＝2，AB＝6， ∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝＝． 故答案为：． 17．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝2，那么点A的坐标是　（﹣1，0）或（3，0）　． 【分析】已知tan∠ABO＝2就是已知一次函数的一次项系数是或﹣．根据函数经过点P，利用待定系数法即可求得函数解析式，进而可得到A的坐标． 解：在Rt△AOB中，由tan∠ABO＝2，可得OA＝2OB，则一次函数y＝kx+b中k＝±． ∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1）， ∴当k＝时，求可得b＝； k＝﹣时，求可得b＝． 即一次函数的解析式为y＝x+或y＝﹣x+． 令y＝0，则x＝﹣1或3， ∴点A的坐标是（﹣1，0）或（3，0）． 故答案为：（﹣1，0）或（3，0）． 18．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为　或　． 【分析】先根据勾股定理得到AC＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5，设AD＝x，则AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝2x﹣4，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC是直角三角形，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解． 解：在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4， ∴AC＝5， ∵DE∥BC， ∴AD：AB＝AE：AC，即AD：AE＝AB：AC＝4：5， 设AD＝x，则AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝2x﹣4， 在Rt△A′BC中，A′C＝， ∵△A′EC是直角三角形， ∴①当A'落在边AB上时，∠EA′C＝90°，∠BA′C＝∠ACB，A′B＝3×tan∠ACB＝，AD＝； ②点A在线段AB的延长线上（）2+（5﹣x）2＝（x）2， 解得x1＝4（不合题意舍去），x2＝． 故AD长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题，满分78题）【请将解题过程写在答题纸的相应位置】 19．计算：cos245°﹣+cot230°． 【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案． 解：原式＝（）2﹣+（）2 ＝﹣+3 ＝． 20．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F． （1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长； （2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长． 【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长． （2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB的长，然后即可得出BE的长． 解：（1）∵AD∥BE∥CF， ∴， ∵AB＝6，BC＝8，DF＝21， ∴， ∴DE＝9． （2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G， 则CG＝BH＝AD＝9， ∴GF＝14﹣9＝5， ∵HE∥GF， ∴， ∵DE：DF＝2：5，GF＝5， ∴， ∴HE＝2， ∴BE＝9+2＝11． 21．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，交BD于点G，AE：AB＝1：3，设＝，＝． （1）用向量、分别表示下列向量： ＝　　，＝　﹣　，＝　﹣　； （2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果） 【分析】（1）根据AE＝BA即可求出，根据＝+即可求出，先证明EG＝EC，即可求出 （2）首先过点G作GM∥AB，NN∥BC，根据平行四边形法则即可求得答案． 解：（1）∵＝，AE＝BA， ∴＝， ∵＝+，EB＝﹣，＝， ∴＝﹣， ∵CD∥EB， ∴EG：CG＝EB：CD＝4：3， ∴EG：EC＝4：7， ∴＝﹣， 故答案分别为，﹣，﹣． （2）点G作GM∥AB交BC于M，NN∥BC交AB于N，则向量、是向量分别在、方向上的分向量． 22．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7） 【分析】首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x，即可表示出AC，BC的长，进而求出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案． 解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x． 在Rt△ACD中，sin∠A＝，AC＝＝2x， 在Rt△BCD中，sin∠B＝，BC＝＝x， ∵AC+BC＝2x+x＝68 ∴x＝≈＝20． 在Rt△ACD中，tan∠A＝，AD＝＝20， 在Rt△BCD中，tan∠B＝，BD＝＝20， AB＝20+20≈54， AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）． 答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米． 23．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G． （1）求证：∠CDF＝∠DAE； （2）如果DE＝CE，求证：AE＝3EG． 【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到AD＝CD，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠DCF，推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得到∠CDF＝∠DAE； （2）过E作EH∥BF交DF于H，根据三角形中位线的性质得到EH＝CF，推出DE＝CF＝CD＝AD，求得EH＝AD，根据相似三角形的性质即可得到结论． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DCF， 在△ADE与△DCF中， ， ∴△ADE≌△DCF， ∴∠CDF＝∠DAE； （2）过E作EH∥BF交DF于H， ∵DE＝CE， ∴EH＝CF， ∵△ADE≌△DCF， ∴DE＝CF＝CD＝AD， ∴EH＝AD， ∵EH∥AD， ∴△GHE∽△GDA， ∴， ∴AE＝3EG． 24．如果，已知△ABC，A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）求sin∠BAC的值． （2）若点P在y轴上，且△POC与△AOB相似，请直接写出点P的坐标． （3）已知点M在y轴上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标． 【分析】（1）由两点距离公式可求AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2，BC＝6，AC＝4，∠BCA＝45°，由直角三角形的性质可求BH的长，即可求解； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （3）取OA的中点，记为点N，证明∠OMB＝∠NBA，分两种情况讨论： ①当点M在点N的上方时，记为M1，因为∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B，所以△ABN∽△AM1B，求出AM1＝10，又根据A（0，﹣4），所以M1（0，6）． ②当点M在点N的下方时，记为M2，点M1与点M2关于x轴对称，所以M2（0，﹣6）． 解：（1）∵A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0）， ∴AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2， ∴BC＝6，AC＝4，∠BCA＝45°， 如图1，过点B作BH⊥AC于H， ∴∠BCA＝∠CBH＝45°， ∴BH＝CH， ∴BC＝BH＝6， ∴BH＝3＝HC， ∴sin∠BAC＝＝＝； （2）∵点P在y轴上， ∴∠POC＝∠AOB＝90°， 当时，则△AOB∽△COP， ∴， ∴PO＝2， ∴点P（0，2）或（0，﹣2）； 当时，则△AOB∽△POC， ∴， ∴OP＝8， ∴点P（0，8）或（0，﹣8）， 综上所述：当点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）时，△POC与△AOB相似； （3）如图2：取OA的中点，记为点N， ∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∵点N是OA的中点， ∴ON＝2， 又∵OB＝2， ∴OB＝ON， 又∵∠BON＝90°， ∴∠ONB＝45°， ∴∠ACB＝∠ONB， ∵∠OMB+∠OAB＝∠ACB， ∠NBA+∠OAB＝∠ONB， ∴∠OMB＝∠NBA； ①当点M在点N的上方时，记为M1， ∵∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B， ∴△ABN∽△AM1B ∴， 又∵AN＝2，AB＝2， ∴AM1＝10， 又∵A（0，﹣4） ∴M1（0，6）． ②当点M在点N的下方时，记为M2， 点M1与点M2关于x轴对称， ∴M2（0，﹣6）， 综上所述，点M的坐标为（0，6）或（0，﹣6）． 25．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC比AB大3，sinB＝，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q． （1）求AG的长； （2）当∠APQ＝90°时，直线PG与边BC相交于点M．求的值； （3）当点Q在边AC上时，设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． 【分析】（1）根据已知条件和重心的性质得出BD＝DC＝BC，AD⊥BC，再根据sinB＝＝，求出AB、BC、AD的值，从而求出AG的长； （2）根据∠GMD+∠MGD＝90°和∠GMD+∠B＝90°，得出∠MGD＝∠B，再根据特殊角的三角函数值求出DM、CM＝CD﹣DM的值，在△ABC中，根据AA求出△QCM∽△QGA，即可求出的值； （3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF，得出＝，求出BE的值，同理可得出CF的值，最后根据BD＝CD，求出EG＝FG，即可得出CE+BE＝2GD，从而得出求y关于x的函数解析式并得出它的定义域． 解：（1）在△ABC中， ∵AB＝AC，点G是△ABC的重心， ∴BD＝DC＝BC， ∴AD⊥BC． 在Rt△ADB中， ∵sinB＝＝， ∴＝． ∵BC﹣AB＝3， ∴AB＝15，BC＝18． ∴AD＝12． ∵G是△ABC的重心， ∴AG＝AD＝8． （2）在Rt△MDG， ∵∠GMD+∠MGD＝90°， 同理：在Rt△MPB中，∠GMD+∠B＝90°， ∴∠MGD＝∠B． ∴sin∠MGD＝sinB＝， 在Rt△MDG中，∵DG＝AD＝4， ∴DM＝， ∴CM＝CD﹣DM＝， 在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD． ∵∠QCM＝∠CDA+∠DAC＝90°+∠DAC， 又∵∠QGA＝∠APQ+∠BAD＝90°+∠BAD， ∴∠QCM＝∠QGA， 又∵∠CQM＝∠GQA， ∴△QCM∽△QGA． ∴＝＝． （3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF． ∵BE∥AD，∴＝，即＝， ∴BE＝． 同理可得：＝，即＝， ∴CF＝． ∵BE∥AD∥CF，BD＝CD， ∴EG＝FG． ∴CF+BE＝2GD，即+＝8， ∴y＝，（0≤x≤）．