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2018年甘肃省兰州市中考数学模拟试卷（5月份 一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1. −5的绝对值是(　　) A. 15 B. 5 C. −15 D. −5 【答案】B 【解析】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|−5|=5． 故选：B． 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的性质． 2. 如图所示的几何体左视图是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：从左边看是一个矩形中间为虚线， 故选：C． 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 3. 下列根式中是最简二次根式的是(　　) A. 12 B. 15 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】解：A、12=23，不是最简二次根式，故此选项错误； B、15，是最简二次根式，故此选项正确； C、8=22，不是最简二次根式，故此选项错误； D、12=22，不是最简二次根式，故此选项错误； 故选：B． 直接利用最简二次根式的定义分别判断得出答案． 此题主要考查了最简二次根式，正确把握相关定义是解题关键． 4. 如图，BC⊥AE于点C，CD//AB，∠ECD=50∘，则∠B=(　　) A. 70∘ B. 60∘ C. 50∘ D. 40∘ 【答案】D 【解析】解：∵CD//AB，∠ECD=50∘， ∴∠A=∠ECD=50∘， ∵BC⊥AE， ∴∠ACB=90∘， ∴∠B=90∘−∠A=90∘−50∘=40∘． 故选：D． 先根据平行线的性质求出∠A的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论． 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 5. 下列运算正确的是(　　) A. a+2a=3a2 B. 3a3⋅2a2=6a6 C. a8÷a2=a4 D. (2a)3=8a3 【答案】D 【解析】解：A、不是同类项不能合并，故A错误； B、单项式乘单项式系数乘系数，同底数的幂相乘，单独出现的字母连同指数作为积的因式，故B错误； C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误； D、积的乘方等于乘方的积，故D正确； 故选：D． 根据合并同类项，可判断A；根据单项式的乘法，可判断B；根据同底数幂的除法，可判断C；根据积的乘方，可判断D． 本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 6. 如图为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象，则下列正确的是(　　) A. k>0，b>0 B. k>0，b<0 C. k<0，b>0 D. k<0，b<0 【答案】C 【解析】解：∵一次函数经过二、四象限， ∴k<0， ∵一次函数与y轴的交于正半轴， ∴b>0． 故选：C． 根据一次函数经过的象限可得k和b的取值． 考查一次函数的图象与系数的关系的知识；用到的知识点为：一次函数经过一三象限或二四象限，k>0或<0；与y轴交于正半轴，b>0，交于负半轴，b<0． 7. 如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC的大小是(　　) A. 60∘ B. 45∘ C. 30∘ D. 15∘ 【答案】C 【解析】解： 如图，连接OC， ∵BC=3，AB=6，且AB为直径， ∴OC=OB=BC， ∴△BOC为等边三角形， ∴∠BOC=60∘， ∴∠BDC=12∠BOC=30∘， 故选：C． 连接OC，可证得△BOC为等边三角形，则可求得∠BOC，再利用圆周角定理可求得答案． 本题主要考查圆周角定理，求得∠BOC的大小是解题的关键． 8. 如图，点A是反比例函数y=kx(x>0)图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且OB=OC，若△ABC的面积等于6，则k的值等于(　　) A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】解：∵OB=OC， ∴S△AOB=12S△ABC=12×6=3， ∴|k|=2S△ABC=6， ∵反比例函数的图象位于第一象限， ∴k=6， 故选：B． 首先确定三角形AOB的面积，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义确定k的值即可． 本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是能够确定三角形AOB的面积，难度不大． 9. 分式方程1x=2x+1的解为(　　) A. x=3 B. x=2 C. x=1 D. x=−1 【答案】C 【解析】解：去分母得：x+1=2x， 解得：x=1， 经检验x=1是分式方程的解． 故选：C． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根． 10. 如图，▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=40∘，∠CEF=15∘，则∠D的度数是(　　) A. 65∘ B. 55∘ C. 70∘ D. 75∘ 【答案】A 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AEF=90∘， ∵∠CEF=15∘， ∴∠AEB=180∘−90∘−15∘=75∘， ∵∠B=180∘−∠BAE−∠AEB=180∘−40∘−75∘=65∘， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D=∠B=65∘ 故选：A． 想办法求出∠B，利用平行四边形的性质∠D=∠B即可解决问题． 本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 11. 有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为(　　) A. 67 B. 3037 C. 127 D. 6037 【答案】D 【解析】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q． ∵S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BP， ∴BP=AB⋅BCAC=3×45=125． ∵DE//AC， ∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C， ∴△BDE∽△BAC， ∴DEAC=BQBP． 设DE=x，则有：x5=125−x125， 解得x=6037， 故选：D． 过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得． 本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键． 12. 如图，抛物线y=−23x2+103x+4分别交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，动点P从D(0,2)出发，先到达x轴上的某点E，再到达抛物线对称轴上的某点F，最后运动到点C，求点P运动的最短路径长为(　　) A. 61 B. 8 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】解：作C点关于直线x=52的对称点C′，做D点关于x轴的对称点D′，连接C′D′． 则E、F就是直线C′D′与x轴和抛物线对称轴的交点，此时即为点P运动的最短路径长， 则有C′(5,4)，D′(0,−2)； 故点P运动的最短路径长． 故选：A． 根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解.可做C点关于直线x=52的对称点C′，做D点关于x轴的对称点D′，连接C′D′.那么E、F就是直线C′D′与x轴和抛物线对称轴的交点，求出长度即可． 此题主要考查了轨迹，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，以及利用对称求最小值问题等知识，得出C′、D′点的坐标是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，共16.0分） 13. 因式分解：2a2b−8ab+8b=______． 【答案】2b(a−2)2 【解析】解：2a2b−8ab+8b=2b(a2−4a+4) =2b(a−2)2． 故答案为：2b(a−2)2． 首先提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 14. 已知关于x的方程x2+2x−m=0没有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】m<−1 【解析】解：∵关于x的方程x2+2x−m=0没有实数根， ∴△=22−4×1×(−m)=4+4m<0， 解得：m<−1． 故答案为：m<−1． 由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论． 本题考查了根的判别式，牢记“当△<0时，方程无实数根.”是解题的关键． 15. 如图，在△ABC中，DE//BC，AD=4，DB=2，AE=6，则EC的长为______． 【答案】3 【解析】解：∵DE//BC， ∴ADDB=AEEC， 即42=6EC， 解得：EC=3， 则EC的长是3． 故答案为：3． 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案． 此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键． 16. 如图，等边三角形ABC的边长为9cm，AD=AE=6cm，连接DE，将△ADE绕点D逆时针旋转，得到△DEF，连接CF，则CF=______cm． 【答案】33 【解析】解： ∵△ABC是等边三角形 ∴AC=AB=BC=9cm，∠B=∠ACB=∠A=60∘且AD=AE=6cm， ∴CD=EB=3cm，△ADE是等边三角形． ∵将△ADE绕点D逆时针旋转，得到△DEF ∴DF=EF=3=DE，∠EDF=60∘且∠ADE=60∘ ∴∠CDF=60∘，且∠ACB=60∘ ∴△CDG为等边三角形 ∴CD=DG=CG=3cm， ∴GF=3cm ∴DG=FG=CG=3cm ∴△CDF为直角三角形，∠DCF=90∘且CD=3cm，DF=6cm ∴CF=33cm 故答案为33cm 由等边三角形ABC的边长为9cm，AD=AE=6cm可得AD=AE=DE=6cm，CD=BE=3cm，将△ADE绕点D逆时针旋转，得到△DEF，可得DF=6 可证△DCG为等边三角形，可得DG=CG=3cm，则可得GF=3cm=DG=CG，可得△CDF为直角三角形，再根据勾股定理可求CF的长． 本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，本题关键是证明△DCF为直角三角形． 三、计算题（本大题共4小题，共25.0分） 17. 先化简，再求值：(1−3x+1)÷x2−4x+4x2−1，其中x=3． 【答案】解：(1−3x+1)÷x2−4x+4x2−1 =x+1−3x+1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2 =x−2x+1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2 =x−1x−2， 当x=3时，原式=3−13−2=2． 【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 18. 解不等式组：5x+2>3x−6x−26>x2−1，并写出它的非负整数解． 【答案】解：解不等式5x+2>3x−6，得：x>−4， 解不等式x−26>x2−1，得：x<2， 则不等式组的解集为−4<x<2， 所以不等式组的非负整数解为0、1． 【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 如图，直线y=kx+2与x轴，y轴分别交于点A(−1,0)和点B，与反比例函数y=mx的图象在第一象限内交于点C(1,n)． (1)求一次函数y=kx+2与反比例函数y=mx的表达式； (2)过x轴上的点D(a,0)作平行于y轴的直线l(a>1)，分别与直线y=kx+2和双曲线y=mx交于P、Q两点，且PQ=2QD，求点D的坐标． 【答案】解：(1)把A(−1,0)代入y=kx+2得−k+2=0，解得k=2， ∴一次函数解析式为y=2x+2； 把C(1,n)代入y=2x+2得n=4， ∴C(1,4)， 把C(1,4)代入y=mx得m=1×4=4， ∴反比例函数解析式为y=4x； (2)∵PD//y轴， 而D(a,0)， ∴P(a,2a+2)，Q(a,4a)， ∵PQ=2QD， ∴2a+2−4a=2×4a， 整理得a2+a−6=0，解得a1=2，a2=−3(舍去)， ∴D(2,0)． 【解析】(1)把A点坐标代入y=kx+2中求出得到一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定C点坐标，然后把C点坐标代入y=mx中求出m，从而得到反比例函数解析式； (2)利用反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征得到P(a,2a+2)，Q(a,4a)，再利用PQ=2QD得到2a+2−4a=2×4a，然后解方程即可得到D点坐标． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系数法求函数解析式． 20. 鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元.经市场调查发现：日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式． (3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 【答案】解：(1)设y=kx+b，根据题意得100=50k+b80=60k+b， 解得：k=−2，b=200， ∴y=−2x+200(30≤x≤60)； (2)W=(x−30)(−2x+200)−450=−2x2+260x−6450=−2(x−65)2+2000； (3)W=−2(x−65)2+2000， ∵30≤x≤60， ∴x=60时，w有最大值为1950元， ∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元． 【解析】(1)根据y与x成一次函数解析式，设为y=kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可； (2)根据利润=单价×销售量列出W关于x的二次函数解析式即可； (3)利用二次函数的性质求出W的最大值，以及此时x的值即可． 此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 四、解答题（本大题共8小题，共61.0分） 21. 计算：8+(π−3)0+(12)−1−2cos45∘． 【答案】解：原式=22+1+2−2×22 =22+1+2−2 =2+3． 【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简进而得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 22. 如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上不同两点，BE//DF，求证：四边形BFDE是平行四边形． 【答案】证明：连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OD=OB， ∵BE//DF， ∴∠BEO=∠DFO， ∵在△BEO和△DFO中， ∠BEO=∠DFO∠BOE=∠DOFOB=OD， ∴△BEO≌△DFO(AAS)， ∴OE=OF， ∵OB=OD， ∴四边形BFDE是平行四边形． 【解析】连接BD交AC于O，根据平行四边形性质得出OA=OC，OB=OD，根据平行线性质得出∠BEO=∠DFO，根据AAS证△BEO≌△DFO，推出OE=OF，根据平行四边形的判定推出即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，对顶角相等，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 23. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写大赛”.为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表： 成绩x(分) 频数(人) 频率 50≤x<60 10 0.05 　60≤x<70 30 0.15 　70≤x<80 40 n 　80≤x<90 m 0.35 　90≤x≤100 50 0.25 a 1 请根据所给信息，解答下列问题： (1)m=______，n=______，a=______； (2)补全频数直方图； (3)这若干名学生成绩的中位数会落在______分数段； (4)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？ 【答案】70；0.20；200；80≤x<90 【解析】解：(1)总人数a=10÷0.05=200， 则m=200×0.35=70、n=40÷200=0.20， 故答案为：70、0.20、200； (2)补全频数直方图如下： (3)因为在共200个数据中，中位数是第100、101个数据的平均数，而第100、101个数据均落在80≤x<90的分数段， 所以中位数落在80≤x<90的分数段， 故答案为：80≤x<90． (4)估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有3000×50200=750人． (1)由50≤x<60的频数及其频率可得总数a的值，再根据“频率=频数÷总数”可得m、n的值； (2)根据所求结果即可补全图形； (3)根据中位数的定义求解可得； (4)用总人数乘以样本中90≤x≤100分数段人数所占比例可得． 本题考查读频数(率)分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.也考查了中位数和利用样本估计总体． 24. 九(3)班“2017年新年联欢会”中，有一个摸奖游戏，规则如下：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、2张哭脸.现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌． (1)现小芳有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖.她从中随机翻开一张纸牌，小芳获奖的概率是______． (2)如果小芳、小明都有翻两张牌的机会.小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌.他们翻开的两张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖.他们获奖的机会相等吗？通过树状图分析说明理由． 【答案】12 【解析】解：(1)∵有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、2张哭脸，翻一次牌正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖， ∴获奖的概率是12； 故答案为：12； (2)他们获奖机会不相等，理由如下： 小芳： 笑1 笑2 哭1 哭2 笑1 笑1，笑1 笑2，笑1 哭1，笑1 哭2，笑1 笑2 笑1，笑2 笑2，笑2 哭1，笑2 哭2，笑2 哭1 笑1，哭1 笑2，哭1 哭1，哭1 哭2，哭1 哭2 笑1，哭2 笑2，哭2 哭1，哭2 哭2，哭2 ∵共有16种等可能的结果，翻开的两张纸牌中只要出现笑脸的有12种情况， ∴P(小芳获奖)=1216=34； 小明： 笑1 笑2 哭1 哭2 笑1 笑2，笑1 哭1，笑1 哭2，笑1 笑2 笑1，笑2 哭1，笑2 哭2，笑2 哭1 笑1，哭1 笑2，哭1 哭2，哭1 哭2 笑1，哭2 笑2，哭2 哭1，哭2 ∵共有12种等可能的结果，翻开的两张纸牌中只要出现笑脸的有10种情况， ∴P(小明获奖)=1012=56， ∵P(小芳获奖)≠P(小明获奖)， ∴他们获奖的机会不相等． (1)根据正面有2张笑脸、2张哭脸，直接利用概率公式求解即可求得答案； (2)首先根据题意分别列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与获奖的情况，再利用概率公式求解即可求得他们获奖的概率，比较即可求得答案． 此题考查了列表法或树状图法求概率.注意小芳属于放回实验，小明属于不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 25. 在某大型娱乐场，景点A、B、C依次位于同一直线上(如图)，B处是登高观光电梯的入口.已知A、C之间的距离为70米，EB⊥AC，电梯匀速运行10秒可从B处到达D处，此时可观察到景点C，电梯再次以相同的速度匀速运行30秒可到达E处，此时可观察到景点A.在D、E处分别测得∠BDC=60∘，∠BEA=30∘，求电梯在上升过程中的运行速度． 【答案】解：设电梯在上升过程中的速度为xm/s， ∵BE⊥AC， ∴∠ABE=∠CBE=90∘， 在RT△ABE中，∠ABE=90∘，∠BEA=30∘， ∴tan∠BEA=ABBE， ∴tan30∘=ABBE， ∴33=AB40x， ∴AB=4033x， 在RT△BDC中，∠CBD=90∘，∠BDC=60∘， ∴tan∠BDC=BCBD，∴tan60∘=BCBD， ∴BC=103x， ∴AC=AB+BC=4033x+103x=7033x， ∵AC=70， ∴7033x=70， ∴x=3， ∴电梯在上升过程中的速度为3m/s， 【解析】设电梯在上升过程中的速度为xm/s，分别求出AB、BC列出方程，即可解决问题． 本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是构建方程，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 26. 在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF． (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积． 【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB//CD， ∴DF//BE， ∵CF=AE， ∴DF=BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90∘， ∴四边形BFDE是矩形． (2)∵AB//CD， ∴∠BAF=∠AFD， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF=∠AFD， ∴AD=DF， 在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4， ∴AD=32+42=5， ∴矩形的面积为20． 【解析】(1)根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定． (2)首先证明AD=DF，求出AD即可解决问题． 本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题． 27. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过BD上一点E作EG//AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG，连接CE． (1)求证：EG是⊙O的切线； (2)延长AB交GE的延长线于点M，若AH=3，CH=4，求EM的值． 【答案】解：(1)如图，连接OE， ∵FG=EG， ∴∠GEF=∠GFE=∠AFH， ∵OA=OE， ∴∠OAE=∠OEA， ∵CD⊥AB， ∴∠AFH+∠FAH=90∘， ∴∠GEF+∠AEO=90∘， ∴∠GEO=90∘， ∴GE⊥OE， ∴EG是⊙O的切线； (2)连接OC，设⊙O的半径为r， ∵AH=3、CH=4， ∴OH=r−3，OC=r， 则(r−3)2+42=r2， 解得：r=256， ∵GM//AC， ∴∠CAH=∠M， ∵∠OEM=∠AHC， ∴△AHC∽△MEO， ∴AHEM=HCOE，即3EM=4256， 解得：EM=258． 【解析】(1)连接OE，由FG=EG得∠GEF=∠GFE=∠AFH，由OA=OE知∠OAE=∠OEA，根据CD⊥AB得∠AFH+∠FAH=90∘，从而得出∠GEF+∠AEO=90∘，即可得证； (2)连接OC，设OA=OC=r，再Rt△OHC中利用勾股定理求得r=256，再证△AHC∽△MEO得AHEM=HCOE，据此求解可得． 本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质． 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+6与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=−13(x−m)2+n的顶点P在直线y=−x+6上(点P不与点B重合)，与y轴交于点C，以BC为边作矩形BCDE，且CD=3，点P、D在y轴的同侧． (1)填空：点B的坐标为______，点P的坐标为______，n=______.(用含m的代数式表示)； (2)当点P在第一象限时，求矩形BCDE的面积S与m的函数表达式； (3)当点P在直线y=−x+6上任意移动时，若矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上，请直接写出符合条件的m的值． 【答案】(0,6)；(m,−m+6)；−m+6 【解析】解：(1)当x=0时，y=6， ∴B(0,6)， ∵P是抛物线y=−13(x−m)2+n的顶点P， ∴P(m,n)， ∵P在直线y=−x+6上， ∴P(m,−m+6)，n=−m+6， 故答案为：(0,6)，(m,−m+6)，−m+6； (2)y=−13(x−m)2+n， 当x=0时，y=−13m2+n， ∴C(0,−13m2+n)， ∴BC=OB−OC=6−(−13m2+n)=13m2−n+6， ∴S=BC⋅CD=(13m2−n+6)×3=m2−3n+18=m2−3(−m+6)+18=m2+3m； (3)如图①②，点C、D在抛物线上时，由CD=3可知对称轴为x=±1.5，即m=±1.5； 如图③④，点C、E在抛物线上时， 由B(0,6)和CD=3得E(−3,6)， 则6=−13(−3−m)2+(−m+6)， m2+9m+9=0， 解得：m1=−9±352， 综上所述，m=1.5或−1.5或−9+352或−9−352． (1)点B是抛物线与y轴的交点，令x=0可求得，P是抛物线的顶点，又在直线上，所以根据项点式可写出P(m,n)，满足直线y=−x+6，则n=−m+6； (2)根据抛物线的解析式表示BC的长，利用矩形面积可得S与m的函数表达式； (3)①点C、D在抛物线上时，由CD=3可知对称轴为x=±1.5，即m=±1.5；②点C、E在抛物线上时，由B(0,6)和CD=3得E(−3,6)，代入抛物线解析式，解之可得答案． 本题主要考查二次函数的综合运用能力，熟练掌握抛物线与直线相交的问题及矩形的性质是解题的关键． 第7页，共8页