2015-2016学年九年级（下）第一次月考数学试卷（解析版）.doc

2015-2016学九年级（下）第一次月考数学试卷 　 一、选择题。 1．﹣3的倒数为（　　） A．﹣3 B．﹣ C．3 D． 2．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4[来源:学。科。网Z。X。X。K] 3．计算（﹣2a）2﹣3a2的结果是（　　） A．﹣a2 B．a2 C．﹣5a2 D．5a2 4．如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 5．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1 6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（　　） A．32° B．58° C．68° D．60° 7．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（　　）[来源:学科网ZXXK] A．13 B．11 C．11 或13 D．12或15 8．对于反比例函数y=，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（1，﹣1） B．图象位于第二、四象限 C．图象是中心对称图形 D．当x＜0时，y随x的增大而增大 9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，那么cosA的值是（　　） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为 A（1，1），B（1，﹣1），C（﹣1，﹣1），D（﹣1，1），y轴上有一点 P（0，2）．作点P关于点A的对称点P1，作点P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称轴P3，作点P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作点P5关于点B的对称点P6，…，按此操作下去，则点P2016的坐标为（　　） A．（0，2） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0） 　 二、填空题。 11．重庆地铁一号线起于朝天门，止于虎溪大学城，全长约36080米．将36080用科学记数法表示为　　　　　　． 12．若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=　　　　　　． 13．一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是　　　　　　． 14．抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是　　　　　　． 15．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为　　　　　　． 16．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧的长为　　　　　　cm． 　 三、解答题：解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（2015•滨州模拟）计算：﹣（3.14﹣π）0+（1﹣cos30°）×（）﹣2． 18．（2015•滨州模拟）解分式方程：． 19．（2015•滨州模拟）已知：如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠CDA的平分线交BC于F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接EF、BD，求证：EF与BD互相平分． 20．（2010•湛江）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早晨，小丽的妈妈用不透明的袋子装着一些粽子（粽子除内部馅料不同外，其他一切均相同），其中香肠馅粽子两个，还有一些绿豆馅粽子，现小丽从中任意拿出一个是香肠馅粽子的概率为． （1）求袋子中绿豆馅粽子的个数； （2）小丽第一次任意拿出一个粽子（不放回），第二次再拿出一个粽子，请你用树形图或列表法，求小丽两次拿到的都是绿豆馅粽子的概率． 21．（2015秋•平阳县期末）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数． 22．（2009•中山）如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1．414） 23．（2012•锦州）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围． （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 24．（2011•毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．[来源:学+科+网] （1）求该抛物线的解析式． （2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式． （3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标． 25．（2016春•莆田校级月考）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA﹣AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值； （2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围； （3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 　 2015-2016学年九年级（下）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题。 1．﹣3的倒数为（　　） A．﹣3 B．﹣ C．3 D． 【分析】据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）=1， ∴﹣3的倒数是﹣， 故选B． 　 2．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【分析】由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值 【解答】解：∵x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根， ∴△=16﹣4k=0， 解得：k=4． 故选C． 　 3．计算（﹣2a）2﹣3a2的结果是（　　） A．﹣a2 B．a2 C．﹣5a2 D．5a2 【分析】首先利用积的乘方的性质求得（﹣2a）2=4a2，再合并同类项，即可求得答案．[来源:Z&xx&k.Com] 【解答】解：（﹣2a）2﹣3a2=4a2﹣3a2=a2． 故选B． 　 4．如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【分析】由题意知，四边形CEFD是正方形，利用正方形的性质可求得CE=EF=CD=10﹣6=4cm． 【解答】解：∵四边形CEFD是正方形，AD=BC=10，BE=6 ∴CE=EF=CD=10﹣6=4cm． 故选A． 　 5．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1 【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围即可． 【解答】解：由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2． 故选：D． 　 6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（　　） A．32° B．58° C．68° D．60° 【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答． 【解答】解：根据题意可知，∠2=∠3， ∵∠1+∠2=90°， ∴∠2=90°﹣∠1=58°． 故选：B． 　 7．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（　　） A．13 B．11 C．11 或13 D．12或15 【分析】首先从方程x2﹣6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长． 【解答】解：由方程x2﹣6x+8=0，得： 解得x1=2或x2=4， 当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去； 当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6=13． 故选A． 　 8．对于反比例函数y=，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（1，﹣1） B．图象位于第二、四象限 C．图象是中心对称图形 D．当x＜0时，y随x的增大而增大 【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵1×（﹣1）=﹣1≠1，∴点（1，﹣1）不在反比例函数y=的图象上，故本选项错误； B、∵k=1＞0，∴反比例函数y=的图象在一、三象限，故本选项错误； C、∵函数y=是反比例函数，∴此函数的图象是中心对称图形，故本选项正确； D、∵k=1＞0，∴此函数在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误． 故选：C． 　 9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，那么cosA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先画出图形，再由锐角三角函数的定义求解即可． 【解答】解：cosA==． 故选B． 　 10．在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为 A（1，1），B（1，﹣1），C（﹣1，﹣1），D（﹣1，1），y轴上有一点 P（0，2）．作点P关于点A的对称点P1，作点P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称轴P3，作点P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作点P5关于点B的对称点P6，…，按此操作下去，则点P2016的坐标为（　　） A．（0，2） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0） 【分析】从特殊到一般寻找规律，发现从P5开始出现循环，由此即可解决问题． 【解答】解：由题意P1（2，0），P2（0，﹣2），P3（﹣2，0），P4（0，2），P5（2，0），…P5与P1重合，从P5开始出现循环， 2016÷4=504， ∴P2016与P4重合， ∴P2016（0，2）． 故选A． 　 二、填空题。 11．重庆地铁一号线起于朝天门，止于虎溪大学城，全长约36080米．将36080用科学记数法表示为　3.608×104　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将36080用科学记数法表示为3.608×104． 故答案为：3.608×104． 　 12．若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=　3　． 【分析】将m2﹣n2按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n的值． 【解答】解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6， 故m+n=3． 故答案为：3． 　 13．一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是　16或17　． 【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为5；（2）当等腰三角形的腰为6；两种情况讨论，从而得到其周长． 【解答】解：①当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为5+5+6=16． ②当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为5+6+6=17． 故这个等腰三角形的周长是16或17． 故答案为：16或17． 　 14．抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是　（﹣1，2）　． 【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 【解答】解：∵y=x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2， ∴抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是（﹣1，2）． 故答案为：（﹣1，2）． 　 15．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为　x=﹣1　． 【分析】先根据一次函数y=kx+b过（2，3），（0，1）点，求出一次函数的解析式，再求出一次函数y=x+1的图象与x轴的交点坐标，即可求出答案． 【解答】解∵一次函数y=kx+b过（2，3），（0，1）点， ∴， 解得：， 一次函数的解析式为：y=x+1， ∵一次函数y=x+1的图象与x轴交于（﹣1，0）点， ∴关于x的方程kx+b=0的解为x=﹣1． 故答案为：x=﹣1． 　 16．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧的长为　2π　cm． 【分析】根据切线的性质可得出OB⊥AB，继而求出∠BOA的度数，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度数，代入弧长公式即可得出答案． 【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线， ∴OB⊥AB， 又∵∠A=30°， ∴∠BOA=60°， ∵弦BC∥AO，OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， 即可得∠BOC=60°， ∴劣弧的长==2πcm． 故答案为：2π． 　 三、解答题：解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（2015•滨州模拟）计算：﹣（3.14﹣π）0+（1﹣cos30°）×（）﹣2． 【分析】分别计算绝对值、零指数幂，特殊角的三角形函数值，及负整数指数幂，然后得出各部分的最简值，继而合并可得出答案． 【解答】解：原式=﹣1+（1﹣）×4 =﹣1+4﹣2 =； 　 18．（2015•滨州模拟）解分式方程：． 【分析】根据分式方程的解法，先去分母化成整式方程，再解这个整式方程，最后进行检验即可． 【解答】解： +=2， ﹣=2， 1﹣（1﹣x）=2（x﹣2）， 1﹣1+x=2x﹣4， x﹣2x=﹣4， x=4， 经检验x=4是原方程的解， 则原方程的解是x=4． 　 19．（2015•滨州模拟）已知：如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠CDA的平分线交BC于F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接EF、BD，求证：EF与BD互相平分． 【分析】（1）首先由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD；∠A=∠C，∠ABC=∠CDA，再由条件∠ABC的平分线交AD于E，∠CDA的平分线交BC于F可得∠ABE=∠ABC，∠CDF=∠CDA，进而得到∠ABE=∠CDF，再利用ASA定理可判定△ABE≌△CDF； （2）首先根据△ABE≌△CDF可得AE=CF，再根据平行四边形的性质可得AD=CB，AD∥BC，进而得到DE=BF且DE∥BF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边可证出四边形BFDE是平行四边形，再根据平行四边形对角线互相平分可证出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠A=∠C，∠ABC=∠CDA， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDA， ∴∠ABE=∠ABC，∠CDF=∠CDA． ∴∠ABE=∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（ASA）． （2）证明：连接EF、DB， ∵△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=CB，AD∥BC， ∴DE=BF且DE∥BF． ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴EF与BD互相平分． 　 20．（2010•湛江）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早晨，小丽的妈妈用不透明的袋子装着一些粽子（粽子除内部馅料不同外，其他一切均相同），其中香肠馅粽子两个，还有一些绿豆馅粽子，现小丽从中任意拿出一个是香肠馅粽子的概率为． （1）求袋子中绿豆馅粽子的个数； （2）小丽第一次任意拿出一个粽子（不放回），第二次再拿出一个粽子，请你用树形图或列表法，求小丽两次拿到的都是绿豆馅粽子的概率． 【分析】（1）香肠馅粽子数除以它的概率即为总粽子数，减去香肠馅粽子数即为绿豆馅粽子的个数； （2）列举出所有情况，看两次拿到的都是绿豆馅粽子的情况占总情况的多少即可． 【解答】解：（1）2÷﹣2=2（个）； （2）设绿豆馅的粽子分别为1，2；香肠馅的粽子分别为3，4． 共有12种情况，两次拿到的都是绿豆馅粽子的有2种，所以概率是． 　 21．（2015秋•平阳县期末）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数． 【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等； （2）根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可． 【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（AAS）； （2）解：∵△ABE≌△DCE， ∴BE=EC， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°， ∴∠EBC=25°． 　 22．（2009•中山）如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1．414） 【分析】过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC就都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长，得到一个关于PC的方程，解出PC的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区． 【解答】解：过点P作PC⊥AB，C是垂足． 则∠APC=30°，∠BPC=45°， AC=PC•tan30°，BC=PC•tan45°． ∵AC+BC=AB， ∴PC•tan30°+PC•tan45°=100km， ∴PC=100， ∴PC=50（3﹣）≈50×（3﹣1.732）≈63.4km＞50km． 答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 　 23．（2012•锦州）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围． （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式． （2）把y=2520时代入y=﹣10x2+130x+2300中，求出x的值即可． （3）把y=﹣10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可． 【解答】解：（1）根据题意得： y=（30+x﹣20）（230﹣10x）=﹣10x2+130x+2300， 自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数； （2）当y=2520时，得﹣10x2+130x+2300=2520， 解得x1=2，x2=11（不合题意，舍去） 当x=2时，30+x=32（元） 答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元． （3）根据题意得： y=﹣10x2+130x+2300 =﹣10（x﹣6.5）2+2722.5， ∵a=﹣10＜0， ∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5， ∵0＜x≤10且x为正整数， ∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元）， 当x=7时，30+x=37，y=2720（元）， 答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元． 　 24．（2011•毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴． （1）求该抛物线的解析式． （2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式． （3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标． 【分析】（1）根据图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），可利用交点式求出二次函数解析式； （2）根据直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，得出AC，BC的长，得出B点的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式； （3）利用三角形相似求出△ABC∽△CBF，即可求出圆的半径，即可得出P点的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3）， ∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3）， 将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得： 3=3a，[来源:Zxxk.Com] ∴a=1， ∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3； （2）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6 ∴AC×BC=6， ∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点， ∴二次函数对称轴为x=2， ∴AC=3， ∴BC=4， ∴B点坐标为：（2，4）， 一次函数解析式为：y=kx+b， ∴， 解得：， y=x+； 当点B在x轴下方， ∵抛物线的对称轴和x轴围成的面积为6， ∴B′C=4， ∴B′（2，﹣4）， ∴， ∴ 可得：y=﹣x﹣； （3）过点P作FP⊥AB，设半径PC=PF=r，当点B在x轴上面时， ∵∠ABC=∠PBF， ∠BCA=∠BFP=90°， ∴△BPF∽△BAC， ∴=，即=∴r=1.5， ∵B点坐标为：（2，4）， ∴P点坐标为：（2，1.5）， 如图2，∵∠B=∠B， ∠BCA=∠BFP=90°， ∴△BPF∽△BAC， ∴=， 即=， ∴r=6， ∴P点坐标为：（2，﹣6）， 当点B在x轴的下面，同理可得出P点坐标为：（2，﹣1.5）和（2，6）， ∴P点坐标有4种情况：（2，﹣1.5）或（2，6）、（2，1.5）或（2，﹣6）． 　 25．（2016春•莆田校级月考）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA﹣AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值； （2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围； （3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）问题的本质就是求BP的长度．当正方形PQMN的边MN恰好过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4，作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，则GP=AQ=AD﹣DQ=1，BP=BG+GP=4，即t=4； （2）分四种情况：0＜t≤3；3＜t≤4；4＜t≤7；7＜t≤8．对于每一种情况，画出标示意图，确定重叠部分的形状，再计算面积； （3）分三种情况：EF=EP；FE=FP；PE=PF．同样，对于每一种情况，画出对应图形，列方程求解． 【解答】解：（1）如图2，作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，则四边形AGHD是矩形． ∵梯形ABCD中，AB=AD=DC=5， ∴△ABG≌△DCH， ∴BG=（BC﹣AD）=3，AG=4， ∴当正方形PQMN的边MN恰好过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4， GP=AQ=AD﹣DQ=1，BP=BG+GP=4， ∴当t=4时，正方形PQMN的边MN恰好过点D． （2）如图1，当0＜t≤3时，BP=t， ∵tan∠DBC=，tan∠C=tan∠ABC=， ∴GP=t，PQ=t，BN=t+t=t，NR=t， ∴， 如图3，当3＜t≤4时， BP=t，GP=t，PQ=4，BN=t+4，NR=t+2， ∴； 图4，当4＜t≤7时， BP=t，GP=t，PQ=4，PH=8﹣t，BN=t+4，HN=t+4﹣8=t﹣4； ∴CN=3﹣（t﹣4）=7﹣t，NR=， ∴S==； 如图5，当7＜t≤8时， BP=t，GP=t，PQ=4，PH=8﹣t， ∴+=+22； ∴综上所述： （3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF， ∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC， ∴cos∠ABC=cos∠PEF=， 由（1）可知EP=BP=t，则EF=EQ=PQ﹣EP=4﹣t， 如图6，当EF=EP时， ， ∴t=4； 如图7，当FE=FP时， 作FR⊥EP于R， ∴ER=EP=EF， ∴， ∴， 如图8，当PE=PF时， 作PS⊥EF于S， ∴ES=EF=PE， ∴， ∴； 综上所述，当t=4，、时，△PEF是等腰三角形．