2019年浙江省杭州市中考数学试卷.doc

2019年浙江省杭州市中考数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的； 1．（3分）（2019•杭州）计算下列各式，值最小的是　　 A． B． C． D． 2．（3分）（2019•杭州）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则　　 A．， B．， C．， D．， 3．（3分）（2019•杭州）如图，为圆外一点，，分别切圆于，两点，若，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（3分）（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有人，则　　 A． B． C． D． 5．（3分）（2019•杭州）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是　　 A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 6．（3分）（2019•杭州）如图，在中，点，分别在和上，，为边上一点（不与点，重合），连接交于点，则　　 A． B． C． D． 7．（3分）（2019•杭州）在中，若一个内角等于另外两个内角的差，则　　 A．必有一个内角等于 B．必有一个内角等于 C．必有一个内角等于 D．必有一个内角等于 8．（3分）（2019•杭州）已知一次函数和，函数和的图象可能是　　 A． B． C． D． 9．（3分）（2019•杭州）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于　　 A． B． C． D． 10．（3分）（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则　　 A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分； 11．（4分）（2019•杭州）因式分解：　 　． 12．（4分）（2019•杭州）某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为，则这个数据的平均数等于　　． 13．（4分）（2019•杭州）一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于　　（结果精确到个位）． 14．（4分）（2019•杭州）在直角三角形中，若，则　　． 15．（4分）（2019•杭州）某函数满足当自变量时，函数值，当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式　　． 16．（4分）（2019•杭州）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，△的面积为4，△的面积为1，则矩形的面积等于　　． 三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）（2019•杭州）化简： 圆圆的解答如下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案． 18．（8分）（2019•杭州）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）． 实际称量读数和记录数据统计表 序号 数据 1 2 3 4 5 甲组 48 52 47 49 54 乙组 2 4 （1）补充完成乙组数据的折线统计图． （2）①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的等量关系． ②甲，乙两组数据的方差分别为，，比较与的大小，并说明理由． 19．（8分）（2019•杭州）如图，在中，． （1）已知线段的垂直平分线与边交于点，连接，求证：． （2）以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接．若，求的度数． 20．（10分）（2019•杭州）方方驾驶小汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为（单位：小时），行驶速度为（单位：千米小时），且全程速度限定为不超过120千米小时． （1）求关于的函数表达式； （2）方方上午8点驾驶小汽车从地出发． ①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达地，求小汽车行驶速度的范围． ②方方能否在当天11点30分前到达地？说明理由． 21．（10分）（2019•杭州）如图，已知正方形的边长为1，正方形的面积为，点在边上，点在的延长线上，设以线段和为邻边的矩形的面积为，且． （1）求线段的长； （2）若点为边的中点，连接，求证：． 22．（12分）（2019•杭州）设二次函数，是实数）． （1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由． （2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）． （3）已知二次函数的图象经过和两点，是实数），当时，求证：． 23．（12分）（2019•杭州）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接． （1）若， ①求证：． ②当时，求面积的最大值． （2）点在线段上，，连接，设，，是正数），若，求证：． 2019年浙江省杭州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的； 1．（3分）计算下列各式，值最小的是　　 A． B． C． D． 【考点】：有理数的混合运算 【分析】有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【解答】解：， ． ． ．， 故选：． 2．（3分）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则　　 A．， B．， C．， D．， 【考点】：关于轴、轴对称的点的坐标 【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出答案． 【解答】解：点与点关于轴对称， ，． 故选：． 3．（3分）如图，为圆外一点，，分别切圆于，两点，若，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】：切线的性质 【分析】连接、、，根据切线的性质得出，，然后证得，即可求得． 【解答】解：连接、、， ，分别切圆于，两点， ，， 在和中， ， ， ， 故选：． 4．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有人，则　　 A． B． C． D． 【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程 【分析】直接根据题意表示出女生人数，进而利用30位学生种树72棵，得出等式求出答案． 【解答】解：设男生有人，则女生人，根据题意可得： ． 故选：． 5．（3分）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是　　 A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【考点】：算术平均数；：中位数；：方差；：标准差 【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断． 【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关． 故选：． 6．（3分）如图，在中，点，分别在和上，，为边上一点（不与点，重合），连接交于点，则　　 A． B． C． D． 【考点】：相似三角形的判定与性质 【分析】先证明得到，再证明得到，则，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：． 7．（3分）在中，若一个内角等于另外两个内角的差，则　　 A．必有一个内角等于 B．必有一个内角等于 C．必有一个内角等于 D．必有一个内角等于 【考点】：三角形内角和定理 【分析】根据三角形内角和定理得出，把代入求出即可． 【解答】解：，， ， ， 是直角三角形， 故选：． 8．（3分）已知一次函数和，函数和的图象可能是　　 A． B． C． D． 【考点】：一次函数的图象 【分析】根据直线①判断出、的符号，然后根据、的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断． 【解答】解：、由①可知：，． 直线②经过一、二、三象限，故正确； 、由①可知：，． 直线②经过一、二、三象限，故错误； 、由①可知：，． 直线②经过一、二、四象限，交点不对，故错误； 、由①可知：，， 直线②经过二、三、四象限，故错误． 故选：． 9．（3分）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于　　 A． B． C． D． 【考点】：解直角三角形的应用坡度坡角问题；：矩形的性质 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点到的距离，本题得以解决． 【解答】解：作于点，作于点， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ，， ， 故选：． 10．（3分）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【考点】：抛物线与轴的交点 【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与轴的交点个数，若一次函数，则与轴只有一个交点，据此解答． 【解答】解：， △， 函数的图象与轴有2个交点， ， 函数， 当时，△，函数的图象与轴有2个交点，即，此时； 当时，不妨令，，，函数为一次函数，与轴有一个交点，即，此时； 综上可知，或． 故选：． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分； 11．（4分）因式分解：　　． 【考点】54：因式分解运用公式法 【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解． 【解答】解：， 故答案为：． 12．（4分）某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为，则这个数据的平均数等于　　． 【考点】：加权平均数 【分析】直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数． 【解答】解：某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为， 则这个数据的平均数等于：． 故答案为：． 13．（4分）一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于　113　（结果精确到个位）． 【考点】：近似数和有效数字；：圆锥的计算 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积． 故答案为113． 14．（4分）在直角三角形中，若，则　或　． 【考点】：锐角三角函数的定义 【分析】讨论：若，设，则，利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求的值；若，设，则，利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求的值． 【解答】解：若，设，则，所以，所以； 若，设，则，所以，所以； 综上所述，的值为或． 故答案为或． 15．（4分）某函数满足当自变量时，函数值，当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式　　． 【考点】：反比例函数的性质；：正比例函数的性质；：一次函数的性质；：二次函数的性质 【分析】根据题意写出一个一次函数即可． 【解答】解：设该函数的解析式为， 函数满足当自变量时，函数值，当自变量时，函数值， 解得：， 所以函数的解析式为， 故答案为：． 16．（4分）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，△的面积为4，△的面积为1，则矩形的面积等于　　． 【考点】：矩形的性质；：翻折变换（折叠问题） 【分析】设，由翻折可知：，，因为△的面积为4，△的面积为1，推出，设，则，由△△，推出，推出，可得，再利用三角形的面积公式求出即可解决问题． 【解答】解：四边形是矩形， ，，设， 由翻折可知：，， △的面积为4，△的面积为1， ，设，则， △△， ， ， ， 或（舍弃）， ， ， ， ， ，，， ， 矩形的面积． 故答案为 三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）化简： 圆圆的解答如下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案． 【考点】：分式的加减法 【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案． 【解答】解：圆圆的解答错误， 正确解法： ． 18．（8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）． 实际称量读数和记录数据统计表 序号 数据 1 2 3 4 5 甲组 48 52 47 49 54 乙组 2 4 （1）补充完成乙组数据的折线统计图． （2）①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的等量关系． ②甲，乙两组数据的方差分别为，，比较与的大小，并说明理由． 【考点】：算术平均数；：折线统计图；：方差 【分析】（1）利用描点法画出折线图即可． （2）利用方差公式计算即可判断． 【解答】解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示： （2）①． ②． 理由：． ， ． 19．（8分）如图，在中，． （1）已知线段的垂直平分线与边交于点，连接，求证：． （2）以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接．若，求的度数． 【考点】：线段垂直平分线的性质；：等腰三角形的性质 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质即可证得； （2）根据题意可知，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和公式即可解答． 【解答】解：（1）证明：线段的垂直平分线与边交于点， ， ， ， ； （2）根据题意可知， ， ，， ， ， ， ． 20．（10分）方方驾驶小汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为（单位：小时），行驶速度为（单位：千米小时），且全程速度限定为不超过120千米小时． （1）求关于的函数表达式； （2）方方上午8点驾驶小汽车从地出发． ①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达地，求小汽车行驶速度的范围． ②方方能否在当天11点30分前到达地？说明理由． 【考点】：反比例函数的应用 【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入关于的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围； ②8点至11点30分时间长为小时，将其代入关于的函数表达式，可得速度大于120千米时，从而得答案． 【解答】解：（1），且全程速度限定为不超过120千米小时， 关于的函数表达式为：，． （2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时 将代入得；将代入得． 小汽车行驶速度的范围为：． ②方方不能在当天11点30分前到达地．理由如下： 8点至11点30分时间长为小时，将代入得千米小时，超速了． 故方方不能在当天11点30分前到达地． 21．（10分）如图，已知正方形的边长为1，正方形的面积为，点在边上，点在的延长线上，设以线段和为邻边的矩形的面积为，且． （1）求线段的长； （2）若点为边的中点，连接，求证：． 【考点】：矩形的性质；：正方形的性质 【分析】（1）设出正方形的边长，然后根据，即可求得线段的长； （2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出和的长，即可证明结论成立． 【解答】解：（1）设正方形的边长为， 正方形的边长为1， ， ， ， 解得，（舍去），， 即线段的长是； （2）证明：点为边的中点，， ， ， ，， ， ． 22．（12分）设二次函数，是实数）． （1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由． （2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）． （3）已知二次函数的图象经过和两点，是实数），当时，求证：． 【考点】：抛物线与轴的交点；：二次函数的性质；：二次函数的最值；：二次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）将，代入求出函数解析式即可求解； （2）对称轴为，当时，是函数的最小值； （3）将已知两点代入求出，，再表示出，由已知，可求出，，即可求解． 【解答】解：（1）当时，；当时，； 二次函数经过点，， ，， ， 当时，， 乙说点的不对； （2）对称轴为， 当时，是函数的最小值； （3）二次函数的图象经过和两点， ，， ， ，， ． 23．（12分）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接． （1）若， ①求证：． ②当时，求面积的最大值． （2）点在线段上，，连接，设，，是正数），若，求证：． 【考点】：圆的综合题 【分析】（1）①连接、，则，即可求解；②长度为定值，面积的最大值，要求边上的高最大，即可求解； （2），而，即可求解． 【解答】解：（1）①连接、， 则， ， ； ②长度为定值， 面积的最大值，要求边上的高最大， 当过点时，最大，即：， 面积的最大值； （2）如图2，连接， 设：， 则，， 则， ， ， ，， 即：， 化简得：． 第23页（共23页）