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2020年天水市初中毕业与升学学业考试（中考）试卷 数学 A卷（100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来） 1.下列四个实数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2.天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元，将数341000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是（ ） A.文 B.羲 C.弘 D.化 4.某小组8名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43，40，42.该组数据的众数、中位数分别为（ ） A.40，42 B.42，43 C.42，42 D.42，41 5.如图所示，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7.若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ） A. B. C. D. 9.若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10.观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.只要求填写最后结果） 11.分解因式：_________. 12.一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______. 13.已知函数，则自变量的取值范围是___________. 14.已知，，则的值为_________. 15.如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是________. 16.如图所示，若用半径为8，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是_________. 17.如图所示，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为_________. 18.如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到.若，则的长为__________. 三、解答题（本大题共3小题，共28分.解答时写出必要的文字说明及演算过程） 19.（1）计算：. （2）先化简，再求值：，其中. 20.为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计.将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图. 请结合图中的信息，解决下列问题： （1）此次调查中接受调查的人数为__________人； （2）请你补全条形统计图； （3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为__________度； （4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性.请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率. 21.如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4. （1）分别求出和的值； （2）结合图象直接写出中的取值范围； （3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标. B卷（50分） 四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程） 22.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行30分钟后到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上. （1）求的度数； （2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：，） 23.如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、. （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留）. 24.性质探究 如图（1），在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为_________. 理解运用 （1）若顶角为的等腰三角形的周长为，则它的面积为_________； （2）如图（2），在四边形中，.在边，上分别取中点，连接.若，，求线段的长. 类比拓展 顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为__________（用含的式子表示） 25.天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同.商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元. （1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案. 26.如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线.点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，. （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的面积等于的面积的时，求的值； （3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案 A卷（100分） 一、选择题 1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10.A 二、填空题 11. 12.13 13.且 14.1 15. 16. 17. 18.2 三、解答题 19.解：（1）解：原式 （2）解：原式 当时，原式 20.解：（1）（人） （2）（图略） （3） （4） 21.解：（1）由题意得： ∴， 又∵反比例函数图象经过第二、四象限 ∴， 当时，；当时，，解得 （2）或 （3）∵关于轴的对称点为， 又，则直线与轴的交点即为所求点. 设直线的解析式为 则解得 ∴直线的解析式为 ∴直线与轴的交点为. 即点的坐标为. （该题还有其它解法，只要合理，即可给分） B卷（50分） 四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程） 22.解：（1）作交的延长线于点 则， ∴ （2）设海里，则海里 海里 在中，∴ 解得：. ∴海监船继续向正东方向航行安全. 23.解：（1）与相切.理由如下： 连接，∵平分，∴ 又∵，∴ ∴∴∴ 又∵为的半径， ∴与相切. （该题还有其它证法，按正确解答给分即可）. （2）设的半径为，则，， 由（1）知，在中，， 即.解得. ∵∴. ∴ 24.解：性质探究（或） 解法提示：过点作于点， ∵是等腰三角形， ∴，， ∴ ∴ 理解运用（1） （2）解：∵， ∴ 又∵， ∴ 连接，∵ ∴为顶角为的等腰三角形 ∴. ∵、分别为、的中点， ∴为的中位线 ∴. 类比拓展 （或） 25.解：（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元. 依题意得，解得， 经检验是原方程的解且符合题意 当时，. 答：种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元； （2）设购进种商品件，购进种商品件， 依题意得 解得， ∵为整数∴. ∴该商店有5种进货方案； （3）设销售、两种商品总获利元， 则. ①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元； ②当时，，随的增大而增大， ∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大； ③当时，，随的增大而减小，∴当时，获利最大， 即在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大. 26.解：（1）由题意得，解得 故抛物线的函数表达式为 （2）过点作轴于点，交于点，过点作交的延长线于点. ∵点的坐标为，∴ ∵点的坐标为∴ ∴ ∴ 当时，， 解得，.∴ 设直线的函数表达式为 则，解得， ∴直线的函数表达式为. 则点的坐标为，点的坐标为， ∴ ∵点的坐标为，∴. ∴ . 则有 解得（不合题意，舍去），. ∴的值为3. （该题还有其它解法，按正确解答给分即可） （3）存在，点的坐标为，，， 解法提示：在中， 当时，，∴. 分三种情况讨论： ①当为对角线时，如图（1）， 易知点与点关于直线对称. ∴，，∴， 又∵，∴ ②当为对角线时，如图（2）， ，，∴. 又∵，∴ ③当为对角线时，∵，易知点的纵坐标为. 将代入中，得， 解得，. 当时，点的位置如图（3）所示，则 分别过点作轴的垂线，垂足分别为点，易证. ∵，∴， 又∵，∴ 当时，点的位置如图（4）所示，则. 同理易得点的坐标为 综上所述，点的坐标为，，，.