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2020年台州市中考数学试卷 一、选择题 1.计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据减法法则计算即可. 【详解】1-3=1+（-3）=-2. 故选B. 【点睛】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解答本题的关键. 2.用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三视图的相关知识直接找出主视图即可． 【详解】主视图即从图中箭头方向看，得出答案为A， 故答案选：A． 【点睛】此题考查立体图形的三视图，理解定义是关键． 3.计算2a2•3a4的结果是（　　） A. 5a6 B. 5a8 C. 6a6 D. 6a8 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：2a2•3a4=6a6． 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式与单项式的乘法，其运算法则为：数字与数字相乘，字母为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，掌握运算法则是解题关键． 4.无理数在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 分析】 根据被开方数的范围，确定出所求即可． 【详解】∵9＜10＜16， ∴3＜＜4， 则在整数3与4之间． 故选：B． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是熟知无理数估算的方法． 5.在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分折得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】 根据中位数的定义即可判断． 【详解】∵小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩， 由此可得所用的统计量是中位数； 故选A． 【点睛】此题主要考查中位数的意义，解题的关键是熟知中位数的定义． 6.如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，-1）对应点的坐标为（ ） A. （0，0） B. （1，2） C. （1，3） D. （3，1） 【答案】D 【解析】 【分析】 先找到顶点C的对应点为F，再根据直角坐标系的特点即可得到坐标． 【详解】∵顶点C的对应点为F， 由图可得F的坐标为（3，1）， 故选D． 【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知直角坐标系的特点． 7.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ） A. AB平分∠CAD B. CD平分∠ACB C. AB⊥CD D. AB=CD 【答案】D 【解析】 【分析】 根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案 【详解】解：由作图知AC=AD=BC=BD， ∴四边形ACBD是菱形， ∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD， 不能判断AB=CD， 故选：D． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定方法等，解题的关键是掌握菱形的判定与性质． 8.下是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ） A. 由②推出③，由③推出① B. 由①推出②，由②推出③ C. 由③推出①，由①推出② D. 由①推出③，由③推出② 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正方形和矩形的性质定理解题即可． 【详解】根据正方形特点由②可以推理出③，再由矩形的性质根据③推出①， 故选A． 【点睛】此题考查正方形和矩形的性质定理，难度一般． 9.如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t （单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由图2知小球速度先是逐渐增大，后来逐渐减小，则随着时间增加，小球刚开始路程增加较快，后来增加较慢，由此得出正处答案． 【详解】由图2知小球速度不断变化，因此判定小球运动速度v与运动时间t之间的函数关系是（为前半程时间，为后半程时间）， ∴前半程路程函数表达式为：，后半程路程为， ∵，即前半段图像开口向上，后半段开口向下 ∴C项图像满足此关系式， 故答案为：C． 【点睛】此题考查根据函数式判断函数图像的大致位置． 10.把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 如图，过点M作MH⊥A'R于H，过点N作NJ⊥A'W于J．想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题． 【详解】解：如图，过点M作MH⊥A'R于H，过点N作NJ⊥A'W于J． 由题意△EMN是等腰直角三角形，EM=EN=2，MN= ∵四边形EMHK是矩形， ∴EK= A'K=MH=1，KH=EM=2， ∵△RMH是等腰直角三角形， ∴RH=MH=1，RM=，同法可证NW=， 题意AR=R A'= A'W=WD=4， ∴AD=AR+RM+MN+NW+DW=4++++4=. 故答案为：D. 【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题． 二、填空题 11.因式分解：x2﹣9=_____． 【答案】（x+3）（x﹣3） 【解析】 【分析】 原式利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式=（x+3）（x﹣3）， 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键． 12.计算结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 先通分，再相加即可求得结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考察分式的加法，先通分化为同分母分式再相加即可． 13.如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_____ ． 【答案】6 【解析】 【分析】 先说明△DEF是等边三角形，再根据E，F是边BC上的三等分求出BC的长，最后求周长即可. 【详解】解：∵等边三角形纸片ABC ∴∠B=∠C=60° ∵DE∥AB，DF∥AC ∴∠DEF=∠DFE=60° ∴△DEF是等边三角形 ∴DE=EF=DF ∵E，F是边BC上的三等分点,BC=6 ∴EF=2 ∴DE=EF=DF=2 ∴△DEF= DE+EF+DF=6 故答案为6． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三等分点的意义，灵活应用等边三角形的性质是正确解答本题的关键． 14.甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个），各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为s甲2与S乙2，则s甲2_____S乙2．（填“＞”、“=”、“＜“中的一个） 【答案】＜ 【解析】 【分析】 利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲、乙的方差的大小． 【详解】解：由折线统计图得乙同学的成绩波动较大， ∴s甲2＜S乙2． 故答案为：＜． 【分析】本题考查了方差的意义，掌握知识点是解题关键． 15.如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE=55°，则∠C的度数为_____________ ． 【答案】55° 【解析】 【分析】 根据AD是直径可得∠AED=90°，再根据BC是⊙O切线可得∠ADC=90°，再根据直角的定义及角度等量替换关系即可得到∠C=∠ADE=55°． 【详解】∵AD是直径， ∴∠AED=90°， ∴∠ADE+∠DAE=90° ∵BC是⊙O的切线， ∴∠ADC=90°， ∴∠C+∠DAE=90° ∴∠C=∠ADE=55°． 故答案为：55°． 【点睛】此题主要考查圆内的角度求解，解题的关键是熟知切线的性质． 16.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为____________（用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】 如图，连接AE、AF，先证明△GAE≌△HAF，由此可证得，进而同理可得，根据正方形ABCD的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案． 【详解】解：如图，连接AE、AF， ∵点A为大正方形的中心， ∴AE=AF，∠EAF=90°， ∴∠AEF=∠AFE=45°， ∵∠GEF=90°， ∴∠AEG=∠GEF-∠AEF=45°， ∴∠AEG=∠AFE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAB=∠EAF=90°， ∴∠GAE=∠HAF， 在△GAE与△HAF中， ∴△GAE≌△HAF（ASA）， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴同理可得：， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键． 三、解答题 17.计算： 【答案】 【解析】 【分析】 按照绝对值的概念、平方根的概念逐个求解，然后再用二次根式加减运算即可. 【详解】解：原式=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了绝对值的概念、平方根的概念、二次根式的加减运算等，熟练掌握运算公式及法则是解决此类题的关键. 18.解方程组： 【答案】 【解析】 试题分析：首先将两式相加得出关于x的一元一次方程，求出x的值，然后将x的值代入第一个方程求出y的值，从而得出方程组的解. 试题解析： ①+②得：，所以 . 把代入①得：. 所以，该方程组的解为 19.人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB=AC，BD=140cm，∠BAC=40°，求点D离地面的高度DE．（结果精确到0.1cm；参考数据sin70°≈0. 94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94） 【答案】 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的三线合一性质得∠BAF的度数，进而得∠BDE的度数，再解直角三角形得结果． 【详解】解：过点A作AF⊥BC于点F，则AF∥DE， ∴∠BDE=∠BAF， ∵AB=AC，∠BAC=40°， ∴∠BDE=∠BAF=20°， ∴DE=BD×cos20°≈140×0.94=131.6（cm） 故点D离地面的高度DE约为131.6cm． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，关键是构造直角三角形求得∠BDE的度数． 20.小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1-y2）与（y2-y3）的大小： y1-y2 y2-y3． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 (1)设反比例函数解析式为，将点(3,400)代入求出即可，最后注意自变量的取值范围. (2) 分别将x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3的值求出，然后再比较大小求解. 【详解】解：(1) 设反比例函数解析式为 将点(3,400)代入，即得 故反比例函数的解析式为：. 故答案为：. (2)当x=6时，代入反比例函数中，解得， 当x=8时，代入反比例函数中，解得， 当x=10时，代入反比例函数中，解得， ∴ ∴. 故答案为：>. 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式求法、反比例函数的图像性质等，点在反比例函数上，则将点的坐标代入解析式中，得到等式进而求解. 21.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）判断△BOC的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】 （1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE； （2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论． 【详解】证明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）△BOC是等腰三角形， 理由如下： ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO， ∴△BOC是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键． 22.新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 参与度 人数 方式 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？ （3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？ 【答案】（1）“直播”教学方式学生的参与度更高，理由见解析；（2）30%；（3）50人 【解析】 【分析】 （1）根据表格数据得出两种教学方式参与度在0.6以上的人数，比较即可作出判断； （2）用表格中“直播”教学方式学生参与度在0.8以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率； （3）先根据“录播”和“直播”的人数之比为1：3及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案． 【详解】解：（1）“直播”教学方式学生参与度更高： 理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数， ∴“直播”教学方式学生的参与度更高； （2）12÷40=0.3=30%， 答：估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%； （3）“录播”总学生数为800×=200（人）， “直播”总学生数为800×=600（人）， ∴“录播”参与度在0.4以下的学生数为200×=20（人）， “直播”参与度在0.4以下的学生数为600×=30（人）， ∴参与度在0.4以下的学生共有20+30=50（人）． 【点睛】本题考查了概率的计算，弄清题意，正确分析，确定计算方法是解题关键． 23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF， （1）求证：△BEF是直角三角形； （2）求证：△BEF∽△BCA； （3）当AB=6，BC=m时，在线段CM正存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】 (1)想办法证明∠BEF=90°即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）． (2)根据两角对应相等两三角形相似证明． (3)证明四边形AFBE是平行四边形，推出FJ=BD=m，EF=m，由△ABC∽△CBM，可得BM=，由△BEF∽△BCA，推出，由此构建方程求解即可. 【详解】（1）证明：由折叠可知，∠ADB=∠ACB=90° ∵∠EFB=∠EDB，∠EBF=∠EDF， ∴∠EFB+∠EBF=∠EDB+∠EDF=∠ADB=90°， ∴∠BEF=90°， ∴△BEF是直角三角形． (2) 证明：∵BC=BD， ∴∠BDC=∠BCD， ∵∠EFB=∠EDB， ∴∠EFB=∠BCD， ∵AC=AD，BC=BD， ∴AB⊥CD， ∴∠AMC=90°， ∵∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠CAB=90°， ∴∠BCD=∠CAB， ∴∠BFE=∠CAB， ∵∠ACB=∠FEB=90°， ∴△BEF∽△BCA． (3) 设EF交AB于J．连接AE，如下图所示： ∵EF与AB互相平分， ∴四边形AFBE是平行四边形， ∴∠EFA=∠FEB=90°，即EF⊥AD， ∵BD⊥AD， ∴EF∥BD， ∵AJ=JB， ∴AF=DF， ∴ FJ= ∴ EF= ∵ △ABC∽△CBM ∴ BC:MB=AB:BC ∴ BM=， ∵ △BEJ∽△BME， ∴ BE:BM=BJ:BE ∴ BE=， ∵ △BEF∽△BCA， ∴ 即 解得(负根舍去). 故答案为： 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 24.用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）． 科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：m），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）． 应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔． （1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少? （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离． 【答案】（1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm 【解析】 【分析】 （1）将s2=4h(20-h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可； （2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a(20-a)=4b(20-b)，利用因式分解变形即可得出答案； （3）设垫高的高度为m，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：(1)∵s2=4h(H-h)， ∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400， ∴当h=10时，s2有最大值400， ∴当h=10时，s有最大值20cm． ∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm； 故答案为：最大射程是20cm. (2) ∵s2=4h(20-h)， 设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有： 4a(20-a)=4b(20-b)， ∴20a-a2=20b-b2， ∴a2-b2=20a-20b， ∴(a+b)(a-b)=20(a-b)， ∴(a-b)(a+b-20)=0， ∴a-b=0或a+b-20=0， ∴a=b或a+b=20. 故答案为：a=b或a+b=20. (3)设垫高的高度为m，则 ∴当时， ∴时，此时 ∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm． 故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm. 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．