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福建省2020年中考数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.有理数的相反数为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即得． 【详解】A选项与的符号和符号后的数值均不相同，不符合题意； B选项与只有符号不同，符合题意，B选项正确； C选项与完全相同，不符合题意； D选项与符号相同，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查相反数的定义，解题关键是熟知相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数． 2.如图所示的六角螺母，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图示确定几何体的三视图即可得到答案． 【详解】由几何体可知，该几何体的三视图依次为． 主视图为： 左视图为： 俯视图为： 故选：B． 【点睛】此题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键． 3.如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是． 【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形, ∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE, ∴△DEF的面积是． 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质． 4.下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C. 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合. 5.如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ） A. 10 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD的长． 【详解】∵是等腰三角形的顶角平分线 ∴CD=BD=5． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识． 6.如图，数轴上两点所对应的实数分别为，则的结果可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 分析】 根据数轴确定和的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择． 【详解】解：根据数轴可得＜＜1，＜＜，则1＜＜3 故选：C 【点睛】本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确和的范围，然后再确定的范围即可． 7.下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据整式的加减乘除、完全平方公式、逐个分析即可求解． 【详解】解：选项A：，故选项A错误； 选项B：，故选项B错误； 选项C：，故选项C错误； 选项D：，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查整式的加减乘除及完全平方公式、负整数指数幂等运算公式，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键． 8.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答． 【详解】解：由题意得：， 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键． 9.如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案． 【详解】∵为中点， ∴, ∴∠ADB=∠ABD，AB=AD， ∵， ∴∠CBD=∠ADB=∠ABD， ∵四边形内接于， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴3∠ADB+60°=180°， ∴=40°， 故选：A． 【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补． 10.已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】 分别讨论a>0和a<0的情况，画出图象根据图象的增减性分析x与y的关系． 【详解】根据题意画出大致图象： 当a>0时，x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离， 由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同， 当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越大，由此可知A、C正确． 当a<0时， x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离， 由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同， 当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越小，由此可知B、C正确． 综上所述只有C正确． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，关键在于画出图象，结合图象增减性分类讨论． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11.计算：__________. 【答案】8 【解析】 【分析】 根据绝对值的性质解答即可． 【详解】|﹣8|=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解答本题的关键． 12.若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：从甲、乙、丙3位同学中随机选取1人进行在线辅导功课共有3种等可能结果，其中甲被选中的只有1种可能， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 13.一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】 根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为90°， ∴扇形的面积是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算．熟记扇形的面积公式是解题的关键． 14.2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为_________米． 【答案】 【解析】 【分析】 海平面以上的高度用正数表示，海平面以下的高度用负数表示．据此可求得答案． 【详解】解：∵高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为米， ∴“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，可记为-10907， 故答案为：-10907． 【点睛】本题考查了正数，负数的意义及其应用，解题的关键是掌握正数、负数的意义． 15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则等于_______度． 【答案】30 【解析】 【分析】 先证出内部的图形是正六边形，求出内部小正六边形的内角，即可得到∠ACB的度数，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成， 可得BD=AC，BC=AF， ∴CD=CF， 同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形， ∴∠1=， ∴∠2=180°-120°=60°， ∴∠ABC=30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查正多边形的证明、多边形的内角和以及三角形的内角和，熟练掌握多边形内角和的计算是解题的关键． 16.设是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论： ①四边形可以是平行四边形； ②四边形可以是菱形； ③四边形不可能是矩形； ④四边形不可能是正方形． 其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】 利用反比例函数的对称性，画好图形，结合平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定可以得到结论，特别是对②的判断可以利用反证法． 【详解】解：如图， 反比例函数图象关于原点成中心对称， 四边形是平行四边形，故①正确， 如图，若四边形是菱形， 则 显然：＜ 所以四边形不可能是菱形，故②错误， 如图， 反比例函数的图象关于直线成轴对称， 当垂直于对称轴时， 四边形是矩形，故③错误， 四边形不可能是菱形， 四边形不可能是正方形，故④正确， 故答案：①④． 【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，反比例函数的对称性，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.解不等式组： 【答案】． 【解析】 【分析】 分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可求解． 【详解】解：由①得， ， ． 由②得， ， ． ∴原不等式组的解集是． 【点睛】本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识，解题的关键是熟知不等式的性质． 18.如图，点分别在菱形的边，上，且． 求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 根据菱形的性质可知AB=AD，∠B=∠D，再结合已知条件BE=DF即可证明后即可求解． 【详解】解：证明：∵四边形是菱形， ∴，． 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 19.先化简，再求值：，其中． 【答案】, 【解析】 【分析】 根据分式运算法则即可求出答案． 【详解】原式 ； 当时，原式. 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 20.某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元． 【解析】 【分析】 （1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答； （2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答. 【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨， 依题意，得， 解得，则， 经检验符合题意， 所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨； （2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且， 公司获得的总利润， 因为，所以随着的增大而增大， 又因为， 所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元， 故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元. 【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题. 21.如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，． （1）求的大小； （2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切． 【答案】（1）60°；（2）详见解析 【解析】 【分析】 (1)连接OB，在Rt△AOB中由求出∠A=30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED的值； (2)连接OF，在Rt△OBF中，由可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°，再证明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°． 【详解】解：(1)连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，∴， ∴，则． 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知： ． 故答案为：． (2)连接， 由(1)得，， ∵，，∴， ∴，∴． 在与中， ∴， ∴． 又点在上，故与相切． 【点睛】本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 22.为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如下图所示的条形图． （1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数； （2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值； （3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如下面的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元． 已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫． 【答案】（1）120；（2）2.4千元；（3）可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫，理由详见解析 【解析】 【分析】 （1）用2000乘以样本中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的频率即可； （2）利用加权平均数进行计算； （3）求出当地农民2020年家庭人均年纯收入与4000进行大小比较即可. 【详解】解：（1）依题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元的户数为． （2）依题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为 （千元）． （3）依题意，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下： 月份 1 2 3 4 5 6 人均月纯收入（元） 500 300 150 200 300 450 月份 7 8 9 10 11 12 人均月纯收入（元） 620 790 960 1130 1300 1470 由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于 ． 所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫． 【点睛】本小题考查频数和频数分布的意义、加权平均数、条形图、折线图等基础知识，考查运算能力、推理能力、数据分析观念、应用意识，考查统计与概率思想． 23.如图，为线段外一点． （1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，求证：三点在同一条直线上． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）按要求进行尺规作图即可； (2)通过证明角度之间的大小关系，得到，即可说明三点在同一条直线上． 【详解】解：（1） 则四边形就是所求作的四边形． （2）∵，∴，， ∴，∴． ∵分别为，的中点， ∴，，∴． 连接，，又∵， ∴，∴， ∵点在上∴，∴， ∴三点在同一条直线上． 【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想． 24.如图，由绕点按逆时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，，相交于点． （1）求的度数； （2）是延长线上的点，且． ①判断和的数量关系，并证明； ②求证：． 【答案】（1）90°；（2）①，证明详见解析；②详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据旋转的性质，得出，进而得出,求出结果； （2）①由旋转的性质得出，，进而得出，再根据已知条件得出，最后得出结论即可； ②过点作交于点，得出，由全等得出，，最后得出结果． 【详解】解：（1）由旋转的性质可知，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）①． 证明：由旋转的性质可知，，， 在中，， ∵，， ∴， 即， ∴． ②过点作交于点， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识，解题的关键是熟练运用这些性质． 25.已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有． （1）求二次函数的表达式； （2）若直线，求证：当时，； （3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）的最小值为． 【解析】 【分析】 （1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式； （2）利用反证法证明即可； （3）先求出q的值，利用，得出，设，然后用含t的式子表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）对于， 当时，，所以； 当时，，，所以， 又因为，所以或， 若抛物线过，则当时，随的增大而减少，不符合题意，舍去． 若抛物线过，则当时，必有随的增大而增大，符合题意． 故可设二次函数的表达式为， 依题意，二次函数的图象过，两点， 所以，解得 所求二次函数的表达式为． （2）当时，直线与直线不重合， 假设和不平行，则和必相交，设交点为， 由得， 解得，与已知矛盾，所以与不相交， 所以． （3）如图， 因为直线过，所以， 又因为直线，所以，即， 所以，， 所以，所以， 设，则， ， 所以， 所以 所以当时，的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．