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湖北省黄冈市2020年中考数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小題3分，共24分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的） 1.的相反数是 ( ) A. 6 B. －6 C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 根据相反数的定义解答即可． 【详解】根据相反数的定义有：的相反数是． 故选D． 【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 2.下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 分别根据合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除逐一分析即可． 【详解】解：A．，该项不符合题意； B．，该项不符合题意； C．，该项符合题意； D．，该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除，掌握运算法则是解题的关键． 3.如果一个多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】 根据多边形的外角的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数． 【详解】∵一个多边形的每个外角都是36°，∴n=360°÷36°=10． 故选D． 【点睛】本题考查了多边形外角与边数的关系，利用外角求正多边形的边数的方法，熟练掌握多边形外角和公式是解决问题的关键． 4.甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如右表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选___________去． 甲 乙 丙 丁 平均分 85 90 90 85 方差 50 42 50 42 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先可通过四位同学的平均分比较，择高选取；继而根据方差的比较，择低选取求解本题． 【详解】通过四位同学平均分的比较，乙、丙同学平均数均为90，高于甲、丁同学，故排除甲、丁；乙、丙同学平均数相同，但乙同学方差更小，说明其发挥更为稳定，故选择乙同学． 故选：B． 【点睛】本题考查平均数以及方差，平均数表示其平均能力的高低；方差表示数据波动的大小，即稳定性高低，数值越小，稳定性越强，考查对应知识点时严格按照定义解题即可． 5.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意分别画出各项三视图即可判断． 【详解】各选项主视图、左视图、俯视图如下: A．,满足题意; B．,不满足题意; C．,不满足题意; D． ,不满足题意; 故选A． 【点睛】本题考查几何体三视图,关键在于牢记三视图的画法． 6.在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 根据点在第三象限，可得，，进而判定出点B横纵坐标的正负，即可解决． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，， ∴， ∴， ∴点B在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握点的坐标特征． 7.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值． 【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2， ∵菱形的周长为16， ∴AB＝4， 在Rt△ABH中，sinB＝＝， ∴∠B＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝150°， ∴∠C：∠B＝5：1． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了正弦的定义及应用． 8.2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平，自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液霱求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销．下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间（天）之间函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 正确理解函数图象与实际问题的关系，题目中的脱销时库存量为0． 【详解】根据题意：一开始销售量与生产量持平，此时图象为平行于x轴的线段， 当下列猛增是库存随着时间的增加而减小， 时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0． 故选：D． 【点睛】本题要求能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢． 二、填空题（本题共8小题，每小題3分，共24分） 9.计算：=　 ▲ 　． 【答案】﹣2． 【解析】 立方根． 【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根： ∵（－2）3=－8，∴． 10.已知是一元二次方程的两根，则____________． 【答案】-1 【解析】 【分析】 根据根与系数的关系得到x1x2＝-1，代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2−2x−1＝0的两根为x1，x2， ∴x1x2＝-1， ∴-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝−，x1•x2＝． 11.若，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据非负数的性质进行解答即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0，是解题的关键． 12.已知：如图，在中，点在边上，，则_______度． 【答案】40 【解析】 【分析】 根据等边对等角得到，再根据三角形外角性质得到，故，由三角形的内角和即可求解的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和，熟练掌握几何知识并灵活运用是解题的关键． 13.计算：的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】 先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 14.已知：如图，，则_____________度． 【答案】30 【解析】 【分析】 本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC，继而根据邻补角定义求解∠CDE，最后根据外角定义求解∠BCD． 【详解】令BC与EF相交于G点，如下图所示： ∵， ∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°， 又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC， ∴∠BCD=75°-45°=30°， 故答案：30． 【点睛】本题考查直线平行的性质，外角以及邻补角定义，难度一般，掌握一些技巧有利于解题效率，例如见平行推角等． 15.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是_______________尺． 【答案】12 【解析】 【分析】 首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52=（x+1）2即可． 【详解】设这个水池深x尺， 由题意得，x2+52=（x+1）2， 解得：x=12 答：这个水池深12尺． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 16.如图所示，将一个半径，圆心角的扇形纸板放置在水平面的一条射线上．在没有滑动的情况下，将扇形沿射线翻滚至再次回到上时，则半径的中点P运动的路线长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】 仔细观察顶点P经过的路线可得，中点P经过的路线可以分为四段，分别求出四段的长，再求出其和即可． 【详解】连接BP，如图， ∵P为AO的中点，AO=10cm， ∴PO=5cm， 由勾股定理得，BP=， 中点P经过的路线可以分为四段，当弧AB切射线OM于点B时，有OB⊥射线OM，此时P点绕不动点B转过了90°，此时点P经过的路径长为：cm； 第二段：OB⊥射线OM到OA⊥射线OM，P点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于射线OM的，所以P与转动点的连线始终⊥射线OM，所以P点过的路线长=AB的弧长，即； 第三段：OB⊥射线OM到P点落在射线OM上，P点绕不动点A转过了90°，此时点P经过的路径长为：； 第四段：OA⊥射线OM到OB与射线OM重合，P点绕不动点O转过了90°，此时点P经过的路径长为：； 所以，P点经过的路线总长S=． 故答案为： 【点睛】本题考查了弧长的计算，关键是理解中点P经过的路线可得，中点P经过的路线总长为四个扇形的弧长． 三、解答题（本题共9題，满分72分） 17.解不等式，并在数轴上表示其解集． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】 先去分母、移项、合并同类项解不等式，得出解集后在数轴上表示即可． 【详解】解： 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，． ∴原不等式的解集为：． 解集在数轴上表示为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式是解题的关键． 18.已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 通过证明即可得证． 【详解】证明：∵点是的中点， ． 在中，， ． 在和中， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等内容，熟练运用平行四边形的性质及全等三角形的判定是解题的关键. 19.为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”．一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元．如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元．请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？ 【答案】每盒羊角春牌绿茶120元，每盒九孔牌藕粉60元 【解析】 【分析】 根据题意列出二元一次方程组解出即可． 【详解】解：设每盒羊角春牌绿茶x元，每盒九孔牌藕粉y元，依题意可列方程组： 解得： 答：每盒羊角春牌绿茶120元，每盒九孔牌藕粉60元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系． 20.为了解疫情期网学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”、“良好”、“一般”、“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共抽查了_________________人． （2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数． （3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率． 【答案】（1）200；（2）图见解析，；（3） 【解析】 【分析】 (1)用“良好”所占的人数80除以它所占的百分比40%即可得到调查的总人数； (2)用总分数减去“优秀”、“良好”、“一般”所占的人数即可计算出“不合格”的人数，然后补全条形统计图，用“一般”的人数除以总人数得到其所占的百分比，再乘以360°即可得到“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数； (3)画图树状图，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：(1)结合扇形统计图和条形统计图可知： 本次活动共调查了：80÷40%=200(人)， 故答案为：200． (2)“不合格”的人数为：200-40-80-60=20人， 故条形统计图补全如下所示： 学习效果“一般”的学生人数所占的百分比为：60÷200=30%， 故学习效果“一般”所在扇形的圆心角度数为30%×360°=108°， 故答案为：108°． (3)依题意可画树状图： 共有12种可能的情况，其中同时选中“良好”的情况由2种， (同时选中“良好”)． 故答案为：． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；树状图法可以展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，最后用概率公式求出P(A)=即可求出事件A的概率． 21.已知：如图，AB是的直径，点为上一点，点D是上一点，连接并延长至点C，使与AE交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若平分，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】 （1）利用为直径，得出，利用得出，从而得出，进而得出结论； （2）证出即可得出结论． 【详解】证明：（1）为直径， ， 在中，， 又， ， ，即, ， 又为的直径， 是的切线； （2）平分， ， 又， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定和性质；证明切线有两种情况（1）有交点，作半径，证垂直；（2）无交点，作垂直，证半径． 22.因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上处的临皋亭和处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向． （1）求A处到临皋亭P处的距离． （2）求临皋亭处与遗爱亭处之间的距离（计算结果保留根号） 【答案】（1）；（2）米 【解析】 【分析】 （1）过点作于点M．设，在中，得到，在中，得到，根据得到关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值，进而A处到临皋亭的距离即可求解； （2）过点作于点，在中，得到，在中，得到，根据求解即可． 详解】解：（1）依题意有． 过点作于点M．设，则 在中，． 在中，． 又， ∴点A处与点处临皋亭之间的距离为． （2）过点作于点． 在中，． ． 在中，． ． ． ． ∴点处临亭与点处遗爱亭之间的距离为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，作出合适的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 23.已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）点C的坐标为 【解析】 【分析】 （1）过点B作轴于点M，由设BM=x，MO=2x，由勾股定理求出x的值，得到点B的坐标，代入即可求解； （2）设点C的坐标为，则．设直线AB的解析式为：，将B点坐标代入AB的函数关系式，可得，令y=0得到，令，解得两个x的值，A点的横坐标为，由列出方程求解即可． 【详解】解：（1）过点B作轴于点M，则 在中． 设，则． 又． ． 又 ， ∴点B的坐标是 ∴反比例的解析式为． （2）设点C的坐标为，则．设直线AB的解析式为：． 又∵点在直线AB上将点B的坐标代入直线解析式中， ． ． ∴直线AB的解析式为：． 令，则． ． 令，解得． 经检验都是原方程的解． 又． ． ． ． ． 经检验，是原方程的解． ∴点C的坐标为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、分式方程、一元二次方程和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 24.网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）． （1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式 （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ （3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值． 【答案】（1）；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3） 【解析】 【分析】 （1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可； （2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果； （3）先求出当，即时的销售单价，得当，从而，得，可知，当时，元，从而有，解方程即可得到a的值． 【详解】解：（1）当，即， ． ∴当时， 当时， ． （2）当时，． ∵对称轴为， ∴当时，元． 当时，． ∵对称轴为， ∴当时，元． ∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元． （3）， ，则． 令，则． 解得：． 在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图． 观察示意图可知： ． 又， ． ． 对称轴为 ， 对称轴． ∴当时，元． ， ． 又， ． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键． 25.已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）若过点C的直线交线段AB于点E，且，求直线CE的解析式 （3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标； （4）已知点，在抛物线对称轴上找一点F，使的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为；（4）存在，点K的坐标为 【解析】 【分析】 （1）由于点A、B为抛物线与x轴的交点，可设两点式求解；也可将A、B、C的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可； （2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出，求出AE,根据点A坐标可解得点E坐标,进而求得直线CE的解析式； （3）分两种情况讨论①当四边形为平行四边形时；②当四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答； （4）根据抛物线的对称性，AF=BF，则HF+AF=HF+BF，当H、F、B共线时，HF+AF值最小，求出此时点F的坐标，设，由勾股定理和抛物线方程得，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为，则点S的坐标为，此时，,∴KF+KG=KS+KG,当S、K、G共线且平行y轴时，KF+KG值最小，由点G坐标解得，代入抛物线方程中解得，即为所求K的坐标． 【详解】解：（1）方法1：设抛物线的解析式为 将点代入解析式中，则有． ∴抛物线的解析式为． 方法二：∵经过三点抛物线的解析式为， 将代入解析式中，则有 ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）， ． ． ． ． 的坐标为． 又点坐标为． 直线的解析式为． （3）． ∴顶点D的坐标为． ①当四边形为平行四边形时，由DQ∥CP，DQ=CP得： ，即． ．令，则． ． ∴点P的坐标为． ②当四边形为平行四边形时，由CQ∥DP，CQ=DP得： ，即 ．令，则． ． ∴点P的坐标为． ∴综合得：点P的坐标为 （4）∵点A或点B关于对称轴对称 ∴连接与直线交点即为F点． ∵点H的坐标为，点的坐标为， ∴直线BH的解析式为：． 令，则． 当点F的坐标为时，的值最小．11分 设抛物线上存在一点，使得的值最小． 则由勾股定理可得：． 又∵点K在抛物线上， 代入上式中， ． 如图，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为． ∴点S的坐标为． 则． （两处绝对值化简或者不化简者正确．） ． 当且仅当三点在一条直线上，且该直线干行于y轴，的值最小． 又∵点G的坐标为， ，将其代入抛物线解析式中可得：． ∴当点K的坐标为时，最小． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．