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乐山市2020年初中学业水平考试 数学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第Ⅰ卷（选择题　共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1.的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据乘积是1的两个数叫做互为倒数，求解． 【详解】解：∵ ∴的倒数是2 故选：A． 【点睛】本题考查倒数的概念，掌握概念正确计算是解题关键． 2.某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、 “优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出“良”和“优”的人数所占的百分比，然后乘以2000即可． 【详解】解：“良”和“优”的人数所占的百分比：×100%=55%， ∴在2000人中成绩为“良”和“优”的总人数估计为2000×55%=1100（人）， 故选：A． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，求出“良”和“优”的人数所占的百分比是解题关键． 3.如图，是直线上一点，，射线平分，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据射线平分，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案． 【详解】∵， ∴∠CEF=140°， ∵射线平分， ∴∠CEB=∠BEF=70°， ∵， ∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键． 4.数轴上点表示的数是，将点在数轴上平移个单位长度得到点．则点表示的数是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可． 【详解】解：点A表示的数是−3，左移7个单位，得−3−7＝−10， 点A表示的数是−3，右移7个单位，得−3＋7＝4， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减． 5.如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作 于点，连结．则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知及菱形的性质求得∠ABD=∠CDB=30º，AO⊥BD，利用含30º的直角三角形边的关系分别求得AO、DO、OE、DE，进而求得四边形的周长. 【详解】∵四边形ABCD是菱形，是对角线的中点， ∴AO⊥BD ， AD=AB=4，AB∥DC ∵∠BAD=120º， ∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30º， ∵OE⊥DC， ∴在RtΔAOD中，AD=4 ， AO==2 ，DO=， 在RtΔDEO中，OE=，DE=， ∴四边形的周长为AO+OE+DE+AD=2++3+4=9+， 故选：B. 【点睛】本题考查菱形的性质、含30º的直角三角形、勾股定理，熟练掌握菱形的性质及含30º的直角三角形边的关系是解答的关键. 6.直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集． 【详解】解：根据图像得出直线经过（0，1），（2，0）两点， 将这两点代入得， 解得， ∴直线解析式为：， 将y=2代入得， 解得x=-2， ∴不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和用待定系数法求解析式，解不等式，求出直线解析式是解题关键． 7.观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据拼接前后图形的面积不变，求出拼成正方形的边长，再以此进行裁剪即可得． 【详解】由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为6，选项B、C、D阴影部分的面积均为5 如果能拼成正方形，那么选项A拼接成的正方形的边长为，选项B、C、D拼接成的正方形的边长为 观察图形可知，选项B、C、D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为的正方形 而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为的正方形 故选：A． 【点睛】本题考查了学生的动手操作能力、正方形的面积和正方形的有关画图、勾股定理，以拼接前后图形的面积不变为着手点是解题关键． 8.已知，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答． 【详解】∵， 依题意得：，． ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形． 9.在中，已知，，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出AC、AB，在根据求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵， ∴AC=2BC=2， ∴， ∵绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴ ∴ ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，熟记扇形面积公式，根据求解是解题关键． 10.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BP，证得OQ是△ABP的中位线，当P、C、B三点共线时PB长度最大，PB=2OQ=4，设 B点的坐标为（x，-x），根据点，可利用勾股定理求出B点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k的值． 【详解】解：连接BP， ∵直线与双曲线的图形均关于直线y=x对称， ∴OA=OB， ∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点 ∴OQ是△ABP的中位线， 当OQ的长度最大时，即PB的长度最大， ∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大， ∴当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4， ∵PC=1， ∴BC=3， 设B点的坐标为（x，-x）， 则， 解得（舍去） 故B点坐标为， 代入中可得：， 故答案为：A． 【点睛】本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题　共120分） 注意事项 1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11.用“”或“”符号填空：______． 【答案】 【解析】 【分析】 两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵|-7|=7，|-9|=9，7<9， ∴-7>-9， 故答案为：>． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个负数，绝对值大的其值反而小． 12.某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是______． 【答案】39 【解析】 【分析】 将数据从小到大进行排列即可得出中位数． 【详解】解：将数据从小到大进行排列为：37，37，38，39，40，40，40 ∴中位数为39， 故答案为：39． 【点睛】本题考查了求中位数，掌握计算方法是解题关键． 13.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】 先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案． 【详解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°， ∴∠ABC=30°， ∴∠ABC=∠BAC， ∴BC=AC=4， 在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出BC=AB=4是解题关键． 14.已知，且．则的值是_________． 【答案】4或-1 【解析】 【分析】 将已知等式两边同除以进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】 将两边同除以得： 令 则 因式分解得： 解得或 即的值是4或 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键． 15.把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________． 【答案】 【解析】 【分析】 连接CE，设CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x，AC=2x，BC=x，AB=3，再由已知证得CE∥AB，则有，由角平分线的性质得，进而求得的值. 【详解】连接CE，设CD=2x， 在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30º， ∴∠D=60º，AD=4x，AC=， BC==x，AB=x， ∵点E为AD的中点， ∴CE=AE=DE==2x， ∴ΔCED为等边三角形， ∴∠CED=60º， ∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30º+30º=60º， ∴∠CED=∠BAD， ∴AB∥CE， ∴， 在ΔBAE中，∵∠BAE=∠CAD=30º ∴AF平分∠BAE， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查了含30º的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算. 16.我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么： （1）当时，的取值范围是______； （2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是______． 【答案】 (1). (2). 或 【解析】 【分析】 （1）首先利用的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解x取值范围． （2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数． 【详解】（1）因为表示整数，故当时，的可能取值为0,1,2． 当取0时， ；当取1时， ；当=2时，． 故综上当时，x的取值范围为：． （2）令，，， 由题意可知：，． ①当时，=，，在该区间函数单调递增，故当时， ，得． ②当时，=0， 不符合题意． ③当时，=1， ，在该区间内函数单调递减，故当取值趋近于2时，，得， 当时，，因为 ，故，符合题意． 故综上：或． 【点睛】本题考查函数的新定义取整函数，需要有较强的题意理解能力，分类讨论方法在此类型题目极为常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非常规题型转化为常见题型． 三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分． 17.计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据绝对值，特殊三角函数值，零指数幂对原式进行化简计算即可． 【详解】解：原式= =． 【点睛】本题考查了绝对值，特殊三角函数值，零指数幂，掌握运算法则是解题关键． 18.解二元一次方程组： 【答案】 【解析】 【分析】 方程组利用加减消元法，由②-①即可解答； 【详解】解：， ②-①，得 ， 解得：， 把代入①，得 ； ∴原方程组的解为 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 19.如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度． 【答案】． 【解析】 【分析】 先根据矩形的性质、勾股定理求出，再根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∵， ， ∴ 在和中， ∴ ∴，即 解得 即的长度为． 【点睛】本题考查了矩形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分． 20.已知，且，求的值． 【答案】，1 【解析】 【分析】 先进行分式的加减运算，进行乘除运算，把式子化简为．将代入进行计算即可． 【详解】原式= = = ， ∵， ∴原式=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，关键在于通过已知用含的表达式表示出． 21.如图，已知点在双曲线上，过点的直线与双曲线的另一支交于点． （1）求直线的解析式； （2）过点作轴于点，连结，过点作于点．求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由点在双曲线上，求得反比例函数解析式，再由点B在双曲线上，求得点B坐标，利用待定系数法求直线AB的解析式即可； （2）用两种方式表示△ABC的面积可得，即可求出CD的长． 【详解】解：（1）将点代入，得，即， 将代入，得，即， 设直线的解析式为， 将、代入，得 ，解得 ∴直线的解析式为． （2）∵、， ∴， ∵轴， ∴BC=4， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数上点坐标的特征，待定系数法求一次函数解析式，两点距离公式，面积法等知识，面积法：是用两种方式表示同一图形的面积． 22.自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈． 如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图． 根据上面图表信息，回答下列问题： （1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 万人，扇形统计图中40-59岁感染人数对应圆心角的度数为 º ； （2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图； （3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率； （4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为、、、、，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4） 【解析】 【分析】 （1）利用岁感染的人数有万人，占比可求得总人数；利用总人数可求扇形统计图中40-59岁感染人数所占百分比，从而可求扇形图中所对应的圆心角； （2）先求解感染人数，然后直接补全折线统计图即可； （3）先求解患者年龄为60岁或60岁以上的人数，直接利用概率公式计算即可； （4）先求解全国死亡的总人数，再利用平均数公式计算即可． 【详解】解：（1）由岁感染的人数有万人，占比 截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为（万人）， 扇形统计图中40-59岁感染人数占比： 扇形统计图中40-59岁感染人数对应圆心角的度数为： 故答案为：，； （2）补全的折线统计图如图2所示； 感染人数为：万人， 补全图形如下： （3）该患者年龄为60岁及以上的概率为： ； （4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为： ． 【点睛】本题考查的是从扇形统计图，折线统计图中获取信息，考查了扇形统计图某部分所对应的圆心角的计算，考查总体数量的计算，考查了平均数的计算，同时考查简单随机事件的概率，掌握以上知识是解题的关键． 五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分． 23.某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表： 车型 每车限载人数（人） 租金（元/辆） 商务车 6 300 轿 车 4 （1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？ （2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 【答案】（1）租用一辆轿车的租金为元．（2）租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元． 【解析】 【分析】 （1）本题可假设轿车的租金为x元，并根据题意列方程求解即可． （2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以及两车混合租赁，方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二则需要利用枚举法求解本题． 【详解】解：（1）设租用一辆轿车的租金为元． 由题意得：． 解得 ， 答：租用一辆轿车的租金为元． （2）方法1：①若只租用商务车，∵， ∴只租用商务车应租6辆，所付租金为（元）； ②若只租用轿车，∵， ∴只租用轿车应租9辆，所付租金为（元）； ③若混和租用两种车，设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元． 由题意，得 由，得 ， ∴， ∵，∴， ∴，且为整数， ∵随的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时， 综上，租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元． 方法2：设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元． 由题意，得 由，得 ，∴， ∵为整数，∴只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有： 不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为（元）； 租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为（元）； 租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为（元）； 租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为（元）； 租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金（元）； 租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为（元）； 由此可见，最佳租车方案是租用商务车辆和轿车辆， 此时所付租金最少，为元． 【点睛】本题考查一次函数的实际问题以及信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求列一次函数，并结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以及分类讨论思想解答本题． 24.如图1，是半圆的直径，是一条弦，是上一点，于点，交于点，连结交于点，且． （1）求证：点平分； （2）如图2所示，延长至点，使，连结． 若点是线段的中点．求证：是⊙的切线． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）连接，由是直径得，由同角的余角相等证明，由直角三角形斜边中线性质证明，进而得出，即得出结论； （2）由已知可知DE是OA、HB垂直平分线，可得，，从而，，再由即可证明，由此即可得出可能． 【详解】证明：（1）连接、，如图3所示， 图3 ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵，即点是的斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即点平分 ； （2）如图4所示，连接、， 图4 ∵点是线段中点，，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴是⊙的切线． 【点睛】本题是圆的简单综合题目，考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形的性质知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分． 25.点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点． （1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ； （2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系． 【答案】（1）；（2）补图见解析，仍然成立，证明见解析；（3），证明见解析 【解析】 【分析】 （1）证明△AOE≌△COF即可得出结论； （2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论； （3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得，得出，，再根据，，推出，即可得证． 【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF； （2）补全图形如图所示，仍然成立， 证明如下：延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为， 证明如下：延长交的延长线于点，如图所示， 由（2） 可知 ， ∴，， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决． 26.已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示． （1）求抛物线的解析式； （2）设是抛物线的对称轴上的一个动点． ①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值； ②连结，求的最小值． 【答案】（1）；（2）①；②． 【解析】 【分析】 （1）先函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解； （2）①先求出BC的解析式，设E坐标为，则F点坐标为，进而用t表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值； ②过点作于，由可得，由此可知当BPH三点共线时的值最小，即过点作于点， 线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可． 【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：， ∵是抛物线的对称轴， ∴， 又∵， ∴， 即， 代入抛物线的解析式，得，解得 ， ∴二次函数的解析式为 或； （2）①设直线的解析式为 ， ∴ 解得 即直线的解析式为 ， 设E坐标为，则F点坐标为， ∴， ∴的面积 ∴， ∴当时，的面积最大，且最大值为； ②如图，连接，根据图形的对称性可知 ，， ∴， 过点作于，则在中， ， ∴， 再过点作于点，则， ∴线段的长就是的最小值， ∵， 又∵， ∴，即， ∴的最小值为． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出C点坐标，解（2）关键是由点E、F坐标表示线段EF长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将的最小值转化为点B到AC的距离．