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2020年山东省枣庄市中考数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分． 1．（3分）﹣的绝对值是（　　） A．﹣ B．﹣2 C． D．2 2．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（　　） A．10° B．15° C．18° D．30° 3．（3分）计算﹣﹣（﹣）的结果为（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（　　） A．|a|＜1 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．1﹣a＞1 5．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　） A．8 B．11 C．16 D．17 7．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（　　） A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2 8．（3分）如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是（　　） A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7 10．（3分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（　　） A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，2+） D．（﹣1，2+） 11．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论： ①ac＜0； ②b2﹣4ac＞0； ③2a﹣b＝0； ④a﹣b+c＝0． 其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分． 13．（4分）若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝　 　． 14．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝　 　． 15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝　 　． 16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是　 　m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 17．（4分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是　 　． 18．（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a+b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝　 　． 三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（8分）解不等式组并求它的所有整数解的和． 20．（8分）欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． （1）观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 　 　 棱数E 6 　 　 12 　 　 面数F 4 5 　 　 8 （2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：　 　． 21．（8分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 1.2≤x＜1.6 a 1.6≤x＜2.0 12 2.0≤x＜2.4 b 2.4≤x＜2.8 10 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题： （1）表中a＝　 　，b＝　 　； （2）样本成绩的中位数落在　 　范围内； （3）请把频数分布直方图补充完整； （4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？ 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A． （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，OB，求△ABO的面积． 23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF． 24．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N． （1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF； （2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE•CF恒成立； （3）若CD＝2，CF＝，求DN的长． 25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2020年山东省枣庄市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分． 1．【解答】解：﹣的绝对值为． 故选：C． 2．【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°， ∵AB∥CF， ∴∠ABD＝∠EDF＝45°， ∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°． 故选：B． 3．【解答】解：﹣﹣（﹣）＝＝﹣． 故选：A． 4．【解答】解：A、|a|＞1，故本选项错误； B、∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故本选项错误； C、a+b＜0，故本选项错误； D、∵a＜0，∴1﹣a＞1，故本选项正确； 故选：D． 5．【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下： 共有9种可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种， ∴P（两次都是白球）＝， 故选：A． 6．【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴△ACE的周长＝AC+CE+AE ＝AC+CE+BE ＝AC+BC ＝5+6 ＝11． 故选：B． 7．【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b， 则面积是（a﹣b）2． 故选：C． 8．【解答】解：由题意，选项A，C，D可以通过平移，旋转得到，选项B可以通过翻折，平移，旋转得到． 故选：B． 9．【解答】解：根据题意，得＝﹣1， 去分母得：1＝2﹣（x﹣4）， 解得：x＝5， 经检验x＝5是分式方程的解． 故选：B． 10．【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H． 在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°， ∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝， ∴OH＝2+1＝3， ∴B′（﹣，3）， 故选：A． 11．【解答】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处， ∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°， ∴EF⊥AC， ∵∠EAC＝∠ECA， ∴AE＝CE， ∴AF＝CF， ∴AC＝2AB＝6， 故选：D． 12．【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝﹣＝1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞0， 于是有：ac＜0，因此①正确； 由x＝﹣＝1，得2a+b＝0，因此③不正确， 抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确， 由对称轴x＝1，抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a﹣b+c＝0，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②④， 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分． 13．【解答】解：（a+b）2＝32＝9， （a+b）2＝a2+b2+2ab＝9． ∵a2+b2＝7， ∴2ab＝2， ab＝1， 故答案为：1． 14．【解答】解：把x＝0代入（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a＝±1， ∵a﹣1≠0， ∴a＝﹣1． 故答案为﹣1． 15．【解答】解：∵PA切⊙O于点A， ∴∠OAP＝90°， ∵∠P＝36°， ∴∠AOP＝54°， ∴∠B＝∠AOP＝27°． 故答案为：27°． 16．【解答】解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴AD＝AC•sin50°＝2×0.77≈1.5（m）， 故答案为1.5． 17．【解答】解：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC， ∵AE＝CF＝2， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF， ∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF， ∴四边形BEDF为菱形， ∴DE＝DF＝BE＝BF， ∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2， 由勾股定理得：DE＝＝＝2， ∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×＝8， 故答案为：8． 18．【解答】解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积， ∴a＝4，b＝6， ∴该五边形的面积S＝4+×6﹣1＝6， 故答案为：6． 三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19．【解答】解：， 由①得，x≥﹣3， 由②得，x＜2， 所以，不等式组的解集是﹣3≤x＜2， 所以，它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1， 所以，所有整数解的和为﹣5． 20．【解答】解：（1）填表如下： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 6 棱数E 6 9 12 12 面数F 4 5 6 8 （2）∵4+4﹣6＝2， 6+5﹣9＝2， 8+6﹣12＝2， 6+8﹣12＝2， …， ∴V+F﹣E＝2． 即V、E、F之间的关系式为：V+F﹣E＝2． 故答案为：6，9，12，6，V+F﹣E＝2． 21．【解答】解：（1）由统计图得，a＝8，b＝50﹣8﹣12﹣10＝20， 故答案为：8，20； （2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.0≤x＜2.4组内， 故答案为：2.0≤x＜2.4； （3）补全频数分布直方图如图所示： （4）1200×＝240（人）， 答：该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有240人． 22．【解答】解：（1）联立y＝x+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2.4）， 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4＝，解得：k＝﹣8， 故反比例函数表达式为：y＝﹣②； （2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8， 当x＝﹣8时，y＝x+5＝1，故点B（﹣8，1）， 设y＝x+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N， 则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC•AMOC•BN＝． 23．【解答】（1）证明：连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． ∵AB＝AC， ∴2∠1＝∠CAB． ∵∠BAC＝2∠CBF， ∴∠1＝∠CBF ∴∠CBF+∠2＝90° 即∠ABF＝90° ∵AB是⊙O的直径， ∴直线BF是⊙O的切线； （2）解：过C作CH⊥BF于H， ∵AB＝AC，⊙O的直径为4， ∴AC＝4， ∵CF＝6，∠ABF＝90°， ∴BF＝＝＝2， ∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F， ∴△CHF∽△ABF， ∴＝， ∴＝， ∴CH＝， ∴HF＝＝＝， ∴BH＝BF﹣HF＝2﹣＝， ∴tan∠CBF＝＝＝． 24．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°， ∴∠DCF＝∠DCE＝135°， 在△DCF和△DCE中， ， ∴△DCF≌△DCE（SAS） ∴DE＝DF； （2）证明：∵∠DCF＝135°， ∴∠F+∠CDF＝45°， ∵∠FDE＝45°， ∴∠CDE+∠CDF＝45°， ∴∠F＝∠CDE， ∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE， ∴△FCD∽△DCE， ∴＝， ∴CD2＝CE•CF； （3）解：过点D作DG⊥BC于G， ∵∠DCB＝45°， ∴GC＝GD＝CD＝， 由（2）可知，CD2＝CE•CF， ∴CE＝＝2， ∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG， ∴△ENC∽△DNG， ∴＝，即＝， 解得，NG＝， 由勾股定理得，DN＝＝． 25．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，4）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4； 设点M（m，0），则点P（m，﹣m2+m+4），点Q（m，﹣m+4）， ∴PQ＝﹣m2+m+4+m﹣4＝﹣m2+m， ∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°， ∴∠PQN＝∠BQM＝45°， ∴PN＝PQsin45°＝（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+， ∵﹣＜0，故当m＝2时，PN有最大值为； （3）存在，理由： 点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5， ①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E， 则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25， 解得：m＝±（舍去负值）， 故点Q（，）； ②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5， 在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0）， 故点Q（1，3）； ③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m＝（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m＝（舍去）； 综上，点Q的坐标为（1，3）或（，）．