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2019年辽宁省本溪市中考数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）（2019•本溪）下列各数是正数的是　　 A．0 B．5 C． D． 2．（3分）（2019•本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 3．（3分）（2019•本溪）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 4．（3分）（2019•本溪）2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 5．（3分）（2019•本溪）下表是我市七个县（区今年某日最高气温的统计结果： 县（区 平山区 明山区 溪湖区 南芬区 高新区 本溪县 恒仁县 气温 26 26 25 25 25 23 22 则该日最高气温的众数和中位数分别是　　 A．25，25 B．25，26 C．25，23 D．24，25 6．（3分）（2019•本溪）不等式组的解集是　　 A． B． C． D． 7．（3分）（2019•本溪）如图所示，该几何体的左视图是　　 A． B． C． D． 8．（3分）（2019•本溪）下列事件属于必然事件的是　　 A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国” B．若原命题成立，则它的逆命题一定成立 C．一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小 D．在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数 9．（3分）（2019•本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 10．（3分）（2019•本溪）如图，点是以为直径的半圆上的动点，，于点，连接，设，，则下列函数图象能反映与之间关系的 是　　 A． B． C． D． 二、填空题（本題共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）（2019•本溪）若在实数范围内有意义，则的取值范围为　　． 12．（3分）（2019•本溪）函数的图象经过的象限是　　． 13．（3分）（2019•本溪）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是　 　． 14．（3分）（2019•本溪）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，以点为位似中心，相们比为，把缩小，得到△，则点的对应点的坐标为　　． 15．（3分）（2019•本溪）如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，，使；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为　　． 16．（3分）（2019•本溪）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为　　． 17．（3分）（2019•本溪）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边，都在轴上，点在边上，，反比例函数的图象经过点，则的值为　　． 18．（3分）（2019•本溪）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过作，交轴于点，以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形延长交轴于点；；按照这个规律进行下去，点的横坐标为　　（结果用含正整数的代数式表示） 三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分） 19．（10分）（2019•本溪）先化简，再求值，其中满足． 20．（12分）（2019•本溪）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：．机器人，．围棋，．羽毛球，．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　　人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； （4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分） 21．（12分）（2019•本溪）如图，在四边形中，，，，延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 22．（12分）（2019•本溪）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆，箱长，拉杆的长度都相等，，在上，在上，支杆，，，，请根据以上信息，解决下列向题． （1）求的长度（结果保留根号）； （2）求拉杆端点到水平滑杆的距离（结果保留根号）． 五、解答题（满分12分） 23．（12分）（2019•本溪）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价（元与一次性批发量（件为正整数）之间满足如图所示的函数关系． （1）直接写出与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 六、解答题（满分12分） 24．（12分）（2019•本溪）如图，点为正方形的对角线上的一点，连接并延长交于点，交的延长线于点，是的外接圆，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，正方形的边长为4，求的半径和线段的长． 七、解答题（满分12分） 25．（12分）（2019•本溪）在中，，，是边上一点，且，是的中点，是的中线． （1）如图，连接，请直接写出和的数量关系：　　； （2）点是射线上的一个动点，将射线绕点逆时针旋转得射线，使，与射线交于点． ①如图，猜想并证明线段和线段之间的数量关系； ②若，，当时，请直接写出线段的长度（用含的代数式表示）． 八、解答题（满分14分） 26．（14分）（2019•本溪）抛物线与轴交于，两点，顶点为，对称轴交轴于点，点为抛物线对称轴上的一动点（点不与，重合）．过点作直线的垂线交于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当的面积为5时，求点的坐标； （3）当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 2019年辽宁省本溪市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列各数是正数的是　　 A．0 B．5 C． D． 【分析】此题利用正数和负数的概念即可解答． 【解答】解：0既不是正数，也不是负数；5是正数；和都是负数． 故选：． 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断． 【解答】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：． 3．（3分）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案． 【解答】解：、，故此选项错误； 、，故此选项错误； 、，故此选项错误； 、，故此选项正确； 故选：． 4．（3分）2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：将数据9560000科学记数法表示为． 故选：． 5．（3分）下表是我市七个县（区今年某日最高气温的统计结果： 县（区 平山区 明山区 溪湖区 南芬区 高新区 本溪县 恒仁县 气温 26 26 25 25 25 23 22 则该日最高气温的众数和中位数分别是　　 A．25，25 B．25，26 C．25，23 D．24，25 【分析】根据众数和中位数的概念求解即可． 【解答】解：在这7个数中，出现了3次，出现的次数最多， 该日最高气温的众数是25； 把这组数据按照从小到大的顺序排列位于中间位置的数是25， 则中位数为：25； 故选：． 6．（3分）不等式组的解集是　　 A． B． C． D． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【解答】解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为， 故选：． 7．（3分）如图所示，该几何体的左视图是　　 A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看是一个矩形，中间有两条水平的虚线， 故选：． 8．（3分）下列事件属于必然事件的是　　 A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国” B．若原命题成立，则它的逆命题一定成立 C．一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小 D．在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数 【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案． 【解答】解：、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件，不合题意； 、若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意； 、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意； 、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意； 故选：． 9．（3分）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】设甲种型号机器人每台的价格是万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于的分式方程． 【解答】解：设甲型机器人每台万元，根据题意，可得：， 故选：． 10．（3分）如图，点是以为直径的半圆上的动点，，于点，连接，设，，则下列函数图象能反映与之间关系的是　　 A． B． C． D． 【分析】设圆的半径为，连接，则，则，即可求解． 【解答】设：圆的半径为，连接， 则， ，即是圆的切线，则， 则， 则， 图象为开口向下的抛物线， 故选：． 二、填空题（本題共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）若在实数范围内有意义，则的取值范围为　　． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12．（3分）函数的图象经过的象限是　一、三　． 【分析】利用这个比例函数的性质结合比例系数的符号直接回答即可． 【解答】解：函数的图象经过一三象限， 故答案为：一、三 13．（3分）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是　　． 【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【解答】解：根据题意得：△， 解得：． 故答案为：． 14．（3分）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，以点为位似中心，相们比为，把缩小，得到△，则点的对应点的坐标为　或　． 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：以点为位似中心，相们比为，把缩小，点的坐标是， 则点的对应点的坐标为，或，，即或， 故答案为：或． 15．（3分）如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，，使；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为　3　． 【分析】首先结合作图的过程确定是的平分线，然后根据角平分线的性质求得点到的距离即可． 【解答】解：结合作图的过程知：平分， ，， 点到的距离等于的长，为3， 故答案为：3． 16．（3分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为　　． 【分析】如图所示，与直线的交点为，与直线的交点为，分别求出、所占边长的比例即可解答． 【解答】解：如图所示，与直线的交点为，与直线的交点为， 根据题意可知，， ， 小球停留在阴影区域的概率为：． 故答案为： 17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边，都在轴上，点在边上，，反比例函数的图象经过点，则的值为　　． 【分析】连接，由是等边三角形，得到，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，得到，得到，求得，推出，过作于，由等边三角形的性质得到，求得，于是得到结论． 【解答】解：连接， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 过作于， ， ， 反比例函数的图象经过点， 的值为， 故答案为：． 18．（3分）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过作，交轴于点，以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形延长交轴于点；；按照这个规律进行下去，点的横坐标为　　（结果用含正整数的代数式表示） 【分析】根据点的横坐标为2，在直线上，可求出点的坐标，由作图可知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是，然后依次利用相似三角形的性质计算出、、、的横坐标，根据规律得出答案． 【解答】解：过点、、、、分别作轴，轴，轴，轴，轴，垂足分别为、、、、 点在直线上，点的横坐标为2， 点的纵坐标为1， 即：，， 图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是， 点的横坐标为：， 点的横坐标为： 点的横坐标为： 点的横坐标为： 点的横坐标为： 故答案为： 三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分） 19．（10分）先化简，再求值，其中满足． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据，可以求得所求式子的值． 【解答】解： ， ， ， 原式． 20．（12分）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：．机器人，．围棋，．羽毛球，．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　200　人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； （4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【分析】（1）由类有20人，所占扇形的圆心角为，即可求得这次被调查的学生数； （2）首先求得项目对应人数，即可补全统计图； （3）该校1000学生数参加了羽毛球社团的人数所占的百分比即可得到结论； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）类有20人，所占扇形的圆心角为， 这次被调查的学生共有：（人； 故答案为：200； （2）项目对应人数为：（人； 补充如图． （3）（人 答：这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团； （4）画树状图得： 共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种， （选中甲、乙）． 四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分） 21．（12分）如图，在四边形中，，，，延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得结论； （2）由平行四边形的性质可求，即可求四边形的面积． 【解答】证明：（1）， ， ，且 四边形是平行四边形 （2）四边形是平行四边形 四边形的面积 22．（12分）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆，箱长，拉杆的长度都相等，，在上，在上，支杆，，，，请根据以上信息，解决下列向题． （1）求的长度（结果保留根号）； （2）求拉杆端点到水平滑杆的距离（结果保留根号）． 【分析】（1）过作于，解直角三角形即可得到结论； （2）过作交的延长线于，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）过作于， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）过作交的延长线于， ， ， 答：拉杆端点到水平滑杆的距离为． 五、解答题（满分12分） 23．（12分）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价（元与一次性批发量（件为正整数）之间满足如图所示的函数关系． （1）直接写出与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数； （2）根据利润（售价成本）件数，列出利润的表达式，求出最值． 【解答】解：（1）当且为整数时，； 当且为整数时，； 当且为整数时，； （2）设所获利润（元， 当且为整数时，， 元， 当且为整数时，， 当且为整数时，， ， ， ， ， 当时，最大，最大值为578元． 答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元． 六、解答题（满分12分） 24．（12分）如图，点为正方形的对角线上的一点，连接并延长交于点，交的延长线于点，是的外接圆，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，正方形的边长为4，求的半径和线段的长． 【分析】（1）连接，可证，可得，由，，可证出，则是的切线； （2）先求出长，在中可求出长，证明，由比例线段可求出长，则可求出． 【解答】（1）连接， 正方形中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ． 七、解答题（满分12分） 25．（12分）在中，，，是边上一点，且，是的中点，是的中线． （1）如图，连接，请直接写出和的数量关系：　　； （2）点是射线上的一个动点，将射线绕点逆时针旋转得射线，使，与射线交于点． ①如图，猜想并证明线段和线段之间的数量关系； ②若，，当时，请直接写出线段的长度（用含的代数式表示）． 【分析】（1）结论：．理由直角三角形斜边中线定理，三角形的中位线定理解决问题即可． （2）①只要证明，即可解决问题． ②分两种情形：如图中，当点在的延长线上时，如图中，当点在线段上时，作于．分别求解即可解决问题． 【解答】解：（1）结论：． 理由：如图1中，连接． ，，， ，， ， ，， ，， ． ， ． 故答案为：． （2）如图2中， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图中，当点在的延长线上时， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ． 如图中，当点在线段上时，作于． ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或． 八、解答题（满分14分） 26．（14分）抛物线与轴交于，两点，顶点为，对称轴交轴于点，点为抛物线对称轴上的一动点（点不与，重合）．过点作直线的垂线交于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当的面积为5时，求点的坐标； （3）当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）函数的表达式为：，即可求解； （2）确定、的表达式，联立求得点，，，即可求解； （3）分当、、三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）函数的表达式为：； （2）抛物线的对称轴为，则点， 设点， 将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得： 函数的表达式为：①， ，故直线表达式中的值为， 将点的坐标代入一次函数表达式， 同理可得直线的表达式为：②， 联立①②并解得：， 故点，， ， 解得：或（舍去， 故点； （3）由（2）确定的点的坐标得： ，，， ①当时，即：，解得：或（均舍去）， ②当时，，解得：或3（舍去， ③当时，同理可得：（舍去， 故点或． 第31页（共31页）