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江西省2020年中等学校招生考试数学试题卷 一、选择题 1.－3的倒数是（ ） A. 3 B. －3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据倒数的定义求解． 【详解】-3的倒数为． 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求倒数的关键． 2.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分别利用合并同类项法则以同底数幂的乘除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：A、，不能合并，故此选项错误； B、，无法计算，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除法运算以及合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键． 3.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报，经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%，将50175亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数的绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】解：将数字50175亿用科学记数法表示为 故本题选A． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a与n的值． 4.如图，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由可对A进行判断；根据三角形外角的性质可对B进行判断；求出∠C，根据大角对大边，小角对小边可对D进行判断；求出可对C进行判断． 【详解】， ，故选项A正确； ， ， 又， ，故选项B正确； ， ， ， ，故选项D正确； ， ， 而 ，故选项C错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握性质与判定是解答此题的关键． 5.如图所示，正方体的展开图为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正方体的展开图的性质判断即可； 【详解】A中展开图正确； B中对号面和等号面是对面，与题意不符； C中对号的方向不正确，故不正确； D中三个符号的方位不相符，故不正确； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图考查，准确判断符号方向是解题的关键． 6.在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出A、B两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：当y=0时，，解得x1=-1，x2=3， 当x=0时，y=-3， ∴A（0，-3），B（3，0）， 对称轴为直线， 经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上， ∴三角形向右平移1个单位，即B′横坐标为3+1=4， 当x=4时，y=42-2×4-3=5， ∴B′（4，5），三角形向上平移5个单位， 此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2）， 设直线的表达式为y=kx+b， 代入A′（1，2），B′（4，5）， 可得 解得：， 故直线的表达式为， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质． 二、填空题 7.计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】 运用完全平方公式展开，即可完成解答. 【详解】解： 【点睛】本题考查了平方差公式，即；灵活运用该公式是解答本题的关键. 8.若关于一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】 由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题． 【详解】解：将x=1代入一元二次方程有：，k=-1， 方程 即方程的另一个根为x=-2 故本题的答案为-2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键． 9.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是__________． 【答案】25 【解析】 【分析】 根据所给图形可以看出左边是2个尖头，表示2个10，右边5个钉头表示5个1，由两位数表示法可得结论． 【详解】根据图形可得：两位数十位上数字是2，个位上的数字是5， 因此这个两位数是2×10+5×1=25， 故答案为：25． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的数字的表示法是解本题的关键． 10.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】 众数：众数数样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值，即在一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数． 【详解】解：由题目的频数分布表可观察到数字9的频数为14，出现次数最多； 故本题答案为9． 【点睛】本题主要考查众数的定义，即一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数． 11.如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 如图，连接，延长与交于点利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到：从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长与交于点 平分，， 是的垂直平分线， 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 12.矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为__________厘米． 【答案】或 【解析】 【分析】 分∠ABE=30°和∠AEB=30°两种情况求解即可． 【详解】当∠ABE=30°时， ∵AB=4cm，∠A=90°， ∴AE=AB·tan30°=厘米； 当∠AEB=30°时，则∠ABE=60° ∵AB=4cm，∠A=90°， ∴AE=AB·tan60°=厘米； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键． 三、解答题 13.（1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）3；（2）1≤x＜3． 【解析】 【分析】 （1）先根据零次幂、绝对值和负整数次幂化简，然后计算即可； （2）先分别求出各不等式的解集，然后再求不等式组的解集． 【详解】解：（1） = =3； （2） 由①得：x≥1 由②得：x＜3 所以该不等式组的解集为：1≤x＜3． 【点睛】本题考查了实数的运算和不等式组的解法，掌握实数的运算法则和解不等式的方法是解答本题的关键． 14.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】 先进行分式减法的计算，在进行除法计算，化简之后带值计算即可； 【详解】原式=， =， = =， 把代入上式得， 原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，准确进行分式化简是解题的关键． 15.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ； （2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）直接利用概率公式可得答案； （2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可． 【详解】解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为， 故答案为： （2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为， 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能， 所以：两名同学均来自八年级的概率 【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键． 16.如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作关于点对称的； （2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】 （1）分别作出A，B，C三点关于O点对称的点，，，然后顺次连接即可得； （2）计算得出AB=，AC=5，再根据旋转作图即可． 【详解】（1）如图1所示； （2）根据勾股定理可计算出AB=，AC=5，再作图，如图2所示． 【点睛】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 17.放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元． （1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格； （2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明． 【答案】（1）5元，3元； （2）当两人共同购买笔芯，享受整盒购买的优惠时，能让两人既买到各自的文具又都买到小工艺品． 【解析】 【分析】 （1）根据小贤买3支笔芯，2本笔记本花费19元，可知等量关系：笔芯的单价×3+笔记本单价×2=小贤花费金额，同样可得小艺的等量关系，这两个等量关系可列方程组解答； （2）小贤买3支笔芯，小艺4支笔芯，凑起来即为一盒，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，可知优惠5元，再加上小贤剩余两元即可让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品． 【详解】（1）设单独购买一支笔芯的价格为x元，一本笔记本的价格为y元， 有，解得； 故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元． （2）两人共有金额19+26+2=47元， 若两人共购买10支笔芯（一盒），3本笔记本，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元， 故两人买到各自的文具需要花费10×2.5+3×5=40（元），剩余47-40=7（元），可购买两件单价为3元的小工艺品； 故只有当两人一同购买笔芯，享受整盒购买优惠，即可能让他们既买到各自的文具，又都买到小工艺品． 【点睛】（1）本题主要考查了二元一次方程组的求解，其中根据题目信息找到等量关系，；列出方程组是解题的关键； （2）本题主要是对题目中关键信息的理解以及应用，其中观察到整盒购买享受优惠是成功让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品的关键． 18.如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据勾股定理求得AD=OD=2，A(2，2)，代入函数关系式求解即可； （2）先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CE=BE，∠AEC=2∠ECB，又由OA=AE可得∠AOE=∠AEO=2∠ECB，由平行线的性质可知∠ECB=∠EOD，所以∠EOD=∠AOD，代入求解即可． 【详解】（1）∵AD⊥x轴，∠AOD=45°，OA=， ∴AD=OD=2， ∴A(2，2)， ∵点A在反比例函数图象上， ∴k=2×2=4， 即反比例函数的解析式为． (2)∵△ABC为直角三角形，点E为AB的中点， ∴AE=CE=EB，∠AEC=2∠ECB， ∵AB=2OA ， ∴AO=AE， ∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB， ∵∠ACB=90°，AD⊥x轴， ∴BC//x轴， ∴∠ECB=∠EOD， ∴∠AOE=2∠EOD， ∵∠AOD=45°， ∴∠EOD=∠AOD=． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，根据题意找出角之间的关系是解题的关键． 19.为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1） 复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表： 成绩 人数 1 3 3 8 15 6 根据以上图表信息，完成下列问题： （1） ； （2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）； （3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有 人，至多有 人； （4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数． 【答案】（1）14；（2）折线图见详解，通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70以下，复学后线下学习的成绩大部分在70以上，说明线下上课的情况比线上好；（3）20，34；（4）320人 【解析】 【分析】 （1）根据图1求出本次测评的总人数，用总人数减去第二次测评各成绩段的人数可得出m的值； （2）根据第一次和第二次测试的各分数段人数，可在图2中画出折线图，根据折线图可得出线上教学与线下教学的效果对比； （3）由第二次测试的成绩统计表可判断出分数高于78分的至少有多少人，至多有多少人； （4）样本估计总体，样本中数学成绩优秀的人数占测试人数的 ，因此估计总体800名的是成绩优秀的人数． 【详解】解：（1）由图1可知总人数为：2+8+10+15+10+4+1=50人， 所以m=50－1－3－3－8－15－6=14人； （2） 通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70分以下，复学后线下学习的成绩大部分在70分以上，说明线下上课的情况比线上好； （3）由统计表可知，至少14+6=20人，至多15+14+6－1=34人； （4）800×（人） 答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数为320人． 【点睛】本题考察了条形统计图，折线统计图与统计表，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 20.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位） （1）若，，求点到直线的距离； （2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）过点A作，，，根据已知条件分别求出AP和PM，再相加即可； （2）根据已知条件可得，根据三角函数的定义进行判断求解即可得到结论； 【详解】（1）如图所示，过点A作，，， 则, ∵，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴, ∴， 又∵,， ∴mm， ∴． ∴点到直线的距离是． （2）如图所示， 根据题意可得，，， ∴， ∴， 根据（1）可得， ∴旋转的角度=． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确的构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键． 21.已知的两边分别与圆相切于点，，圆的半径为． （1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数； （2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由； （3）若交圆于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）． 【答案】（1）50°；（2）当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形，理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】 （1）连接OA、OB，根据切线的性质和多边形内角和定理可得∠AOB+∠APB=180°，然后结合已知求得∠AOB，最后根据圆周角定理即可解答； （2）连接OA、OB，先观察发现当∠APB=60°时，四边形APBC可能为菱形；然后利用∠APB=60°结合（1）的解答过程可得∠ACB=∠APB=60°，再根据点C运动到PC距离最大，即PC经过圆心；再说明四边形APBC为轴对称图形结合已知条件得到PA =PB=CA =CB，即可得到四边形APBC为菱形； （3）由于⊙O的半径为r，则OA=r、OP=2 r，再根据勾股定理可得AP=r、PD=r，然后根据弧长公式求得的弧长，最后根据周长公式计算即可． 【详解】解：（1）如图1，连接OA、OB ∵PA，PB为⊙O的切线 ∴∠PAO=∠PBO=90° ∴∠AOB+∠MPN=180° ∵∠MPN=80° ∴∠AOB=180°-∠MPN=100° ∴∠AOB=100°=∠ACB=50°； （2）当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形，理由如下： 如图2：连接OA、OB 由（1）可知∠AOB+∠APB=180° ∵∠APB=60° ∴∠AOB=120° ∴∠ACB=60°=∠APB ∵点C运动到PC距离最大 ∴PC经过圆心 ∵PA、PB为⊙O的切线 ∴四边形APBC为轴对称图形 ∵PA=PB，CA=CB，PC平分∠APB和∠ACB ∴∠APB=∠ACB=60° ∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30° ∴PA =PB=CA =CB ∴四边形APBC为菱形； （3）∵⊙O的半径为r ∴OA=r，OP=2 r ∴AP=r，PD=r ∵∠AOP=60° ∴ ∴C阴影． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、菱形的判定、弧长公式以及有关圆的最值问题，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键． 22.已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … -2 -1 0 1 2 … … 0 -3 -3 … （1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； （2）求抛物线的表达式及的值； （3）请在图1中画出所求的抛物线，设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？ （4）设直线（）与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，，，之间的数量关系 ． 【答案】（1）上，；（2），；（3）图象见解析，中点的轨迹为抛物线；（4）． 【解析】 【分析】 （1）由表中数据分析即可得到开口方向，及对称轴； （2）代入，解方程组，即可求得表达式；代入即可得到的值； （3）根据要求画出函数图象，并观察猜想即可； （4）根据题目要求，画出图象，观察得结论即可． 【详解】（1）由表可知：；，x=2,y=-3可知抛物线开后方向向上； 由表可知：；，可知抛物线的对称轴为： 故答案为：上， （2）由表可知：代入点得 ，解得 ∴抛物线的表达式为： 当时， 当时， （3）作图如下： OP中点连接后的图象如图所示：为抛物线 （4）如图所示：可得 【点睛】本题考查了二次函数的探究题，能根据表格求出抛物线的解析式，是解题的关键． 23.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题”进行了以下探究： 类比探究 （1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 ； 推广验证 （2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用 （3）如图4，在五边形中，，，，，点在上，，，求五边形面积． 【答案】（1）；（2）结论成立，证明看解析；（3） 【解析】 【分析】 （1）由题目已知△ABD、△ACE、△BCF、△ABC均为直角三角形，又因为，则有∽∽，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，找到从而找到面积之间的关系； （2）在△ABD、△ACE、△BCF中，，，可以得到∽∽，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，从而找到面积之间的关系； （3）将不规则四边形借助辅助线转换为熟悉的三角形，过点A作AHBP于点H，连接PD，BD，由此可知，，即可计算出，根据△ABP∽△EDP∽△CBD，从而有，由（2）结论有，最后即可计算出四边形ABCD的面积． 【详解】（1）∵△ABC是直角三角形， ∴， ∵△ABD、△ACE、△BCF均为直角三角形，且， ∴∽∽， ∴，， ∴ ∴得证． （2）成立，理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴， ∵在△ABD、△ACE、△BCF中，，， ∴∽∽， ∴，， ∴ ∴得证． （3）过点A作AHBP于点H，连接PD，BD， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴PH=AH=， ∴，， ∴， ∵，ED=2， ∴，， ∴， ∵， ∴△ABP∽△EDP， ∴，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴△ABP∽△EDP∽△CBD ∴ 故最后答案为． 【点睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性质，若两三角形相似，则有面积的比值为边长的平方，根据此性质找到面积与边长的关系即可；（3）主要考查了不规则四边形面积的计算以及（2）的结论，其中合理正确利用前面得出的结论是解题的关键．