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数学 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1.－2的绝对值是（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：−2的绝对值是2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键． 2.如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据左视图的定义“从主视图的左边往右边看得到的视图就是左视图”进一步分析即可得到答案． 【详解】从主视图的左边往右边看得到的视图为： 故选：D. 【点睛】本题考查了左视图的识别，熟练掌握相关方法是解题关键． 3.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 故选：． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，确定与的值是解题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 4.在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加”，即可解答． 【详解】解：将点P向下平移2个单位长度所得到的点坐标为，即， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 5.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A．不是同类项，不能合并，选项A错误； B．； 选项B错误； C．，选项C正确； D．，选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式运算的法则，涉及了合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方、同底数幂除法，解题关键是熟记运算法则． 6.成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 5人，7人 B. 5人，11人 C. 5人，12人 D. 7人，11人 【答案】A 【解析】 【分析】 根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断． 【详解】解：将数据从小到大排列为：5，5，7，11，12 所以这组数据的众数为5，中位数为7. 故选：A． 【点睛】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义． 7.如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线，据此可得解． 【详解】解：由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线， ∴BD=CD=AC-AD=6-2=4， 故选：C 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一性质添加辅助线是解题的关键． 8.已知是分式方程的解，那么实数的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 将代入原方程，即可求出值． 【详解】解：将代入方程中，得 解得： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这类题的解题通法． 9.如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴. ∵AB=5，BC=6，EF=4， ∴. ∴DE=. 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 10.关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的对称轴在轴的右侧 B. 图象与轴的交点坐标为 C. 图象与轴的交点坐标为和 D. 的最小值为－9 【答案】D 【解析】 【分析】 先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】∵ ∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，故选项A错误； 令x=0，则y=-8，所以图象与轴的交点坐标为，故选项B错误； 令y=0，则，解得x1=2，x2=-4，图象与轴交点坐标为和，故选项C错误； ∵，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共70分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11.分解因式：___________. 【答案】 【解析】 . 12.一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据一次函数的性质得2m-1＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：因为一次函数的值随值的增大而增大， 所以2m-1＞0． 解得. 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降. 13.如图，，，是上的三个点，，，则的度数为_________． 【答案】30° 【解析】 【分析】 根据圆的基本性质以及圆周角定理，分别求出∠OCB=55°，∠ACB=∠AOB=25°，即可求出∠OCA=30°，再求出∠A即可． 【详解】解：∵OB=OC， ∴∠B=∠OCB=55°， ∵∠AOB=50°， ∴∠ACB=∠AOB=25°， ∴∠OCA=∠OCB-∠AOB=55°-25°=30°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA=30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了圆的基本性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆的性质以及圆周角定理． 14.《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 设1头牛值金两，1只羊值金两，根据等量关系 “①5头牛，2只羊共值10两金；②2头牛，5只羊共价值8两金”，分别列出方程即可求解． 【详解】设1头牛值金两，1只羊值金两，由题意可得， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键． 三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15.（1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂性质、绝对值的性质及二次根式的化简分别求出各数的值，由此进一步计算即可； （2）首先将原不等式组中各个不等式的解集求出来，然后进一步分析得出答案即可. 【详解】（1）原式= = =； （2）解不等式可得：， 解不等式可得：， ∴原不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查了含有特殊角的三角函数值的实数的混合运算以及解不等式组，熟练掌握相关概念及方法是解题关键. 16.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】 括号内先通分进行分式减法运算，然后再进行分式除法运算，化简后代入x的值进行计算即可． 【详解】 = = = =． 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的加减法、乘除法、实数的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 17.2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有_________人； （2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为_________； （3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）180；（2）126°；（3）． 【解析】 【分析】 （1）根据跳水的人数及其百分比求得总人数； （2）先求出田径及游泳的人数，再用总人数减去田径人数、游泳人数、跳水人数即可得到篮球人数，求出其所占总数的百分比，最后乘以360°即可得到结果； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．. 【详解】（1）54÷30%=180（人） 故答案为：180； （2）田径人数：180×20%=36（人）， 游泳人数：180×15%=27（人）， 篮球人数为：180-54-36-27=63（人） 图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：126°； （3）画树状图如下： 由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种． 所以P（恰好选中甲、乙两位同学）=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 18.成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为45°，塔底部处的俯角为22°．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值． （结果精确到1米；参考数据：，，） 【答案】观景台的高约为214米． 【解析】 【分析】 过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得四边形DCBM是矩形，由矩形的性质可得BM=CD=61米；在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米，由此可得tan22°=，即可求得DM=152.5米；再证明△ADM为等腰直角三角形，可得DM=AM=152.5米，由此即可求得观景台的高的长． 【详解】过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得四边形DCBM是矩形， ∴BM=CD=61米， 在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米， tan∠BDM=， ∴tan22°=， 解得，DM=152.5米； ∵∠ADM=45°，DM⊥AB， ∴△ADM为等腰直角三角形， ∴DM=AM=152.5米， ∴AB=BM+AM=61+152.5=213.5≈214（米）． 答：观景台的高约为214米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构建直角三角形是解决问题的关键． 19.在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】 （1）根据题意将点A坐标代入原反比例函数解析式，由此进一步求解即可； （2）根据题意，将直线解析式分以及两种情况结合的面积为的面积的2倍进一步分析求解即可. 【详解】（1）∵反比例函数()的图象经过点A(3，4)， ∴， 解得：， ∴原反比例函数解析式为：； （2）①当直线的时，函数图像如图所示， 此时，不符合题意，舍去； ②当直线的时，函数图像如图所示， 设OC的长度为m，OB的长度为n， ∵的面积为的面积的2倍 ∴， ∴， ∴OC的长为2， ∴当C点在y轴正半轴时，点C坐标为(0，2)， ∴ ∵点A坐标为(3，4)， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 当C点在y轴负半轴时，点C坐标为(0，−2)， ∴ ∵点A坐标为(3，4)， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 综上所述，直线解析式为：或. 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 20.如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画⊙O，⊙O与边相切于点，，连接交⊙O于点，连接，并延长交线段于点． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径； （3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【解析】 【分析】 （1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得结论； （2）由锐角三角函数可设AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解； （3）连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，可得∠DEF=∠DFE，可证DE=DF=CE，可得结论． 【详解】解：（1）如图，连接OD， ∵⊙O与边AB相切于点D， ∴OD⊥AB，即∠ADO=90°， ∵AO=AO，AC=AD，OC=OD， ∴△ACO≌△ADO（SSS）， ∴∠ADO=∠ACO=90°， 又∵OC是半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）在Rt△ABC中，tanB==， ∴设AC=4x，BC=3x， ∵AC2+BC2=AB2， ∴16x2+9x2=100， ∴x=2， ∴BC=6， ∵AC=AD=8，AB=10， ∴BD=2， ∵OB2=OD2+BD2， ∴（6-OC）2=OC2+4， ∴OC=， 故⊙O的半径为； （3）连接OD，DE， 由（1）可知：△ACO≌△ADO， ∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD， 又∵CO=DO，OE=OE， ∴△COE≌△DOE（SAS）， ∴∠OCE=∠ODE， ∵OC=OE=OD， ∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE， ∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE， ∵点F是AB中点，∠ACB=90°， ∴CF=BF=AF， ∴∠FCB=∠FBC， ∴∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE， ∴∠DEF=∠DFE， ∴DE=DF=CE， ∴AF=BF=DF+BD=CE+BD． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 21.已知，则代数式的值为_________． 【答案】49 【解析】 【分析】 先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：49． 【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换． 22.关的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：由题意知，△=≥0， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 23.如图，六边形是正六边形，曲线…叫做“正六边形的渐开线”，，，，,,，…的圆心依次按，，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当时，曲线的长度是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用弧长公式，分别计算出，，，,,的长，然后将所有弧长相加即可. 【详解】解：根据题意，得=； =； =； =； =； =. 曲线的长度是=. 故答案是：. 【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟练运用弧长公式进行计算是解题得关键. 24.在平面直角坐标系中，已知直线（）与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线（）与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】 首先根据题意求出点A坐标为(，)，从而得出，然后分两种情况：①当点B在第二象限时求出点B坐标为(，)，从而得出，由此可知，再利用平面直角坐标系任意两点之间距离公式可知：，所以，据此求出，由此进一步通过证明四边形ABCD是菱形加以分析求解即可得出答案；②当点B在第四象限时，方法与前者一样，具体加以分析即可. 【详解】∵直线()与双曲线交于，两点（点在第一象限）， ∴联立二者解析式可得：，由此得出点A坐标为(，)， ∴， ①当点B在第二象限时，如图所示： ∵直线（）与双曲线交于，两点， ∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)， ∴， ∵AC⊥BD， ∴， 根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知： ， ∴， 解得：， ∴， 根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴， ∴， 解得：或2， ∴A点坐标为(，)或(，)， ②当点B在第四象限时，如图所示： ∵直线（）与双曲线交于，两点， ∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)， ∴， ∵AC⊥BD， ∴， 根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知： ， ∴， 解得：， ∴， 根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴， ∴， 解得：或2， ∴A点坐标为(，)或(，)， 综上所述，点A坐标为：(，)或(，)， 故答案为：(，)或(，). 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象及性质和菱形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 25.如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，由于，而PG=3，所以当GQ最大时PQ最大，由题意可得当P、A重合时GQ最大，据此即可求出PQ的最大值；设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，易证△FQM∽△EPM，则根据相似三角形的性质可得EM为定值2，于是BM的长度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，于是当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，最小值为DO－OH，为此只需连接DO，求出DO的长即可，可过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，构建Rt△DON，利用勾股定理即可求出DO的长，进而可得答案． 【详解】解：连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，则PE=GF，PG=AD=3， 设FQ=t，则GF=PE=2t，GQ=3t， 在Rt△PGQ中，由勾股定理得：， ∴当t最大即EP最大时，PQ最大， 由题意知：当点P、A重合时，EP最大，此时EP=2，则t=1， ∴PQ的最大值=； 设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2， ∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM， ∴， ∵EF=3， ∴FM=1，ME=2， ∴， ∵∠BHM=∠BEM=90°， ∴B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O， ∴， ∴当D、H、O三点共线时，DH的长度最小， 连接DO，过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，则OK=BK=1， ∴NO=2，CN=1，∴DN=3， 则在Rt△DON中，， ∴DH的最小值=DO－OH=． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆以及线段的最值等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有相当的难度，属于中考压轴题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分解答过程写在答题卡上） 26.在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元/件，）满足一次函数的关系，部分数据如下表： （1）求与的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 【答案】（1）；（2）当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元． 【解析】 【分析】 （1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可； （2）设线上和线下月利润总和为w元，则w=400（x-2-10）+y（x-10）=400x-4800+（-100x+2400）（x-10）=-100（x-19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）因为y与x满足一次函数的关系，所以设y=kx+b. 将点（12，1200），（13，1100）代入函数解析式得 解得 ∴与的函数关系式为． （2）设商家线上和线下的月利润总和为元，则可得 =400（x-12）+（-100x+2400）（x-10） =-100x2+3800x-28800 =， 因为-100<0， 所以当x=19时，w有最大值，为7300， 所以当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式等知识；弄清题意，找准各量间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27.在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 【答案】（1）15°；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到； （2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则； （3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解． 【详解】（1）∵矩形， ∴， 由折叠性质可知BF=BC=2AB，， ∴， ∴， ∴ （2）由题意可得， ， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； （3）过点作于点． ∴ 又∵ ∴． ∴． ∵，即 ∴， 又∵BM平分，， ∴NG=AN， ∴， ∴ 整理得：． 【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题． 28.在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式 （2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，则可得△AEK∽△DEF，继而可得，先求出BC的解析式，继而求得AK长，由可得，设点，进而可得，从而可得，再利用二次函数的性质即可求得答案； （3）先确定出∠ACB=90°，再得出直线的表达式为．设点的坐标为，然后分点在直线右侧，点在直线左侧两种情况分别进行讨论即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点． 则DG//AK， ∴△AEK∽△DEF， ∴， 设直线BC的解析式为y=kx+n， 将、代入则有：， 解得， ∴直线的表达式为， 当x=-1时，， 即K（-1，）， ∴． ∵． ∴ 设点，则F点坐标为（m，）， ∴． ∴， 当时，有最大值． （3）∵，，． ∴AC=，BC=，AB=5， ∴AC2+BC2=25=52=AB2， ∴∠ACB=90°， ∵过点作直线，直线的表达式为， ∴直线的表达式为． 设点的坐标为． ①当点在直线右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M， ∴∠M=∠PNB=90°， ∴∠BPN+∠PBN=90°， ∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°， ∴∠QPM=∠PBN， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵NB=t-4，PN=， ∴， ∴QM=，PM=， ∴MN=+，， ∴点的坐标为． 将点的坐标为代入，得 ， 解得：，t2=0（舍去）， 此时点的坐标为． ②当点在直线左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M， ∴∠M=∠PNB=90°， ∴∠BPN+∠PBN=90°， ∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°， ∴∠QPM=∠PBN， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵NB=4-t，PN=， ∴， ∴QM=，PM=， ∴MN=+，， ∴点的坐标为． 将点的坐标为代入，得 ， 解得：，<0（舍去）， 此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键．