2019年湖北省鄂州市中考数学试卷.doc

2019年湖北省鄂州市中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）（2019•达州）﹣2019的绝对值是（　　） A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣ 2．（3分）（2019•鄂州）下列运算正确的是（　　） A．a3•a2 ＝a6 B．a7÷a3 ＝a4 C．（﹣3a）2 ＝﹣6a2 D．（a﹣1）2＝a2 ﹣1 3．（3分）（2019•鄂州）据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人．数据1031万用科学记数法可表示为（　　） A．0.1031×106 B．1.031×107 C．1.031×108 D．10.31×109 4．（3分）（2019•鄂州）如图是由7个小正方体组合成的几何体，则其左视图为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）（2019•鄂州）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝ 35°，则∠1的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 6．（3分）（2019•鄂州）已知一组数据为7，2，5，x，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为（　　） A．3 B．4.5 C．5.2 D．6 7．（3分）（2019•鄂州）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（　　） A． B． C． D．0 8．（3分）（2019•鄂州）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）（2019•鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（3分）（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（　　） A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3 二.填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）（2019•鄂州）因式分解：4ax2﹣4ax+a＝　 　． 12．（3分）（2019•鄂州）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是　 　． 13．（3分）（2019•鄂州）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是　 　． 14．（3分）（2019•鄂州）在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为：d＝，则点P（3，﹣3）到直线y＝﹣x+的距离为　 　． 15．（3分）（2019•鄂州）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝　 　． 16．（3分）（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为　 　． 三.解答题（17～21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分） 17．（8分）（2019•鄂州）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值． （﹣）÷ 18．（8分）（2019•鄂州）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）当DE＝DF时，求EF的长． 19．（8分）（2019•鄂州）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 类别 A B C D E 类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 11 20 40 m 4 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中m的值为　 　，统计图中n的值为　 　，A类对应扇形的圆心角为　 　度； （2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数； （3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率． 20．（8分）（2019•鄂州）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值． 21．（8分）（2019•鄂州）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行． （1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）； （2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）． 22．（10分）（2019•鄂州）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）求证：E为△PAB的内心； （3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长． 23．（10分）（2019•鄂州）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 24．（12分）（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标； （3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒． ①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值； ②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 2019年湖北省鄂州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）（2019•达州）﹣2019的绝对值是（　　） A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣ 【考点】绝对值．菁优网版权所有 【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案． 【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019． 故选：A． 2．（3分）（2019•鄂州）下列运算正确的是（　　） A．a3•a2 ＝a6 B．a7÷a3 ＝a4 C．（﹣3a）2 ＝﹣6a2 D．（a﹣1）2＝a2 ﹣1 【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式．菁优网版权所有 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝a5，不符合题意； B、原式＝a4，符合题意； C、原式＝9a2，不符合题意； D、原式＝a2﹣2a+1，不符合题意， 故选：B． 3．（3分）（2019•鄂州）据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人．数据1031万用科学记数法可表示为（　　） A．0.1031×106 B．1.031×107 C．1.031×108 D．10.31×109 【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【解答】解：将1031万用科学记数法可表示为1.031×107． 故选：B． 4．（3分）（2019•鄂州）如图是由7个小正方体组合成的几何体，则其左视图为（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左主视图中． 【解答】解：从左面看易得其左视图为： 故选：A． 5．（3分）（2019•鄂州）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【考点】平行线的性质．菁优网版权所有 【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可． 【解答】解：如图， 作EF∥AB∥CD， ∴∠2＝∠AEF＝35°，∠1＝∠FEC， ∵∠AEC＝90°， ∴∠1＝90°﹣35°＝55°， 故选：B． 6．（3分）（2019•鄂州）已知一组数据为7，2，5，x，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为（　　） A．3 B．4.5 C．5.2 D．6 【考点】算术平均数；方差．菁优网版权所有 【分析】先由平均数是5计算x的值，再根据方差的计算公式，直接计算可得． 【解答】解：∵一组数据7，2，5，x，8的平均数是5， ∴5＝（7+2+5+x+8）， ∴x＝5×5﹣7﹣2﹣5﹣8＝3， ∴s2＝[（7﹣5）2+（2﹣5）2+（5﹣5）2+（3﹣5）2+（8﹣5）2]＝5.2， 故选：C． 7．（3分）（2019•鄂州）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（　　） A． B． C． D．0 【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可． 【解答】解：∵x1+x2＝4， ∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5， ∴x2＝， 把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0， 解得：m＝， 故选：A． 8．（3分）（2019•鄂州）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象．菁优网版权所有 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的，本题得以解决． 【解答】解：∵函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0）， ∴当k＞0时，y＝﹣x+k经过第一、二、四象限，y＝经过第一、三象限，故选项A、B错误， 当k＜0时，y＝﹣x+k经过第二、三、四象限，y＝经过第二、四象限，故选项C正确，选项D错误， 故选：C． 9．（3分）（2019•鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有 【分析】①由抛物线开口方向得到a＞0，对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，又抛物线与y轴正半轴相交，得到c＜0，可得出abc＞0，选项①错误； ②把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确； ③由x＝1时对应的函数值＜0，可得出a+b+c＜0，得到a+c＜﹣b，由a＞0，c＞0，﹣b＞0，得到（　　）a+c）2﹣b2＜0，选项③正确； ④由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0 ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，①错误； ②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0， ∵，∴b＝﹣2a， 把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确； ③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0， ∴a+c＜﹣b， ∵a＞0，c＞0，﹣b＞0， ∴（a+c）2＜（﹣b）2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c， ∴a+b+c≤am2+mb+c， 即a+b≤m（am+b），所以④正确． 故选：C． 10．（3分）（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（　　） A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3 【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 【分析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，再由面积公式即可求解； 【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形， ∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°， ∴∠OB1A1＝30°， ∴OA1＝A1B1， ∵A1（1，0）， ∴A1B1＝1， 同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°， ∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1， 易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°， ∴B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n， ∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，Sn＝×2n﹣1×2n＝； 故选：D． 二.填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）（2019•鄂州）因式分解：4ax2﹣4ax+a＝　a（2x﹣1）2　． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有 【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式＝a（4x2﹣4x+1）＝a（2x﹣1）2， 故答案为：a（2x﹣1）2 12．（3分）（2019•鄂州）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是　m≤﹣2　． 【考点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式．菁优网版权所有 【分析】首先解关于x和y的方程组，利用m表示出x+y，代入x+y≤0即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【解答】解：， ①+②得2x+2y＝4m+8， 则x+y＝2m+4， 根据题意得2m+4≤0， 解得m≤﹣2． 故答案是：m≤﹣2． 13．（3分）（2019•鄂州）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是　　． 【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有 【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝5，高h＝10， ∴圆锥的母线长为＝5， ∴圆锥的侧面积为π×5×5＝， 故答案为：． 14．（3分）（2019•鄂州）在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为：d＝，则点P（3，﹣3）到直线y＝﹣x+的距离为　　． 【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 【分析】根据题目中的距离公式即可求解． 【解答】解：∵y＝﹣x+ ∴2x+3y﹣5＝0 ∴点P（3，﹣3）到直线y＝﹣x+的距离为：＝， 故答案为：． 15．（3分）（2019•鄂州）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝　　． 【考点】勾股定理．菁优网版权所有 【分析】分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【解答】解：∵AO＝OB＝2， ∴当BP＝2时，∠APB＝90°， 当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°， ∴AP＝OA•tan∠AOP＝2， ∴BP＝＝2， 当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°， ∴BP＝OB•tan∠1＝2， 故答案为：2或2或2． 16．（3分）（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为　16　． 【考点】坐标与图形性质；圆周角定理；切线的性质．菁优网版权所有 【分析】连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP＝8，则AB的最大长度为16． 【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大， ∵C（3，4）， ∴OC＝＝5， ∵以点C为圆心的圆与y轴相切． ∴⊙C的半径为3， ∴OP＝OA＝OB＝8， ∵AB是直径， ∴∠APB＝90°， ∴AB长度的最大值为16， 故答案为16． 三.解答题（17～21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分） 17．（8分）（2019•鄂州）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值． （﹣）÷ 【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有 【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝[﹣]÷ ＝[﹣]）÷ ＝• ＝x+2 ∵x﹣2≠0，x﹣4≠0， ∴x≠2且x≠4， ∴当x＝﹣1时， 原式＝﹣1+2＝1． 18．（8分）（2019•鄂州）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）当DE＝DF时，求EF的长． 【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有 【分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO＝∠BEO，根据全等三角形的性质得到DF＝BE，于是得到四边形BEDF是平行四边形； （2）推出四边形BEDF是菱形，得到DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠DFO＝∠BEO， 又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB， ∴△DOF≌△BOE（ASA）， ∴DF＝BE， 又因为DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形 ∴四边形BEDF是菱形， ∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF， 设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x 在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2 ∴x2+62＝（8﹣x）2， 解之得：x＝， ∴DE＝8﹣＝， 在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2 ∴BD＝， ∴OD＝ BD＝5， 在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2 ﹣OD2＝OE2， ∴OE＝， ∴EF＝2OE＝． 19．（8分）（2019•鄂州）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 类别 A B C D E 类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 11 20 40 m 4 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中m的值为　25　，统计图中n的值为　25　，A类对应扇形的圆心角为　39.6　度； （2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数； （3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率． 【考点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有 【分析】（1）先根据B类别人数及其百分比求出总人数，再由各类别人数之和等于总人数求出m，继而由百分比概念得出n的值，用360°乘以A类别人数所占比例即可得； （2）利用样本估计总体思想求解可得． 【解答】解：（1）∵样本容量为20÷20%＝100， ∴m＝100﹣（11+20+40+4）＝25，n%＝×100%＝25%，A类对应扇形的圆心角为360°×＝39.6°， 故答案为：25、25、39.6． （2）1500×＝300（人） 答：该校最喜爱体育节目的人数约有300人； （3）画树状图如下： 共有12种情况，所选2名同学中有男生的有6种结果， 所以所选2名同学中有男生的概率为． 20．（8分）（2019•鄂州）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值． 【考点】根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有 【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可； （2）根据根与系数的关系得出方程解答即可． 【解答】（1）解：∵原方程有实数根， ∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0 ∴k≤1 （2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2k﹣1 又∵+＝x1•x2， ∴ ∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2 ∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2 解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根 ∵k≤1 ∴． 21．（8分）（2019•鄂州）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行． （1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）； （2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有 【分析】（1）过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；得到四边形DEFG是矩形；根据矩形的性质得到FG＝DE；解直角三角形即可得到结论； （2）解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）过点F作FG⊥EC于G， 依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90° ； ∴四边形DEFG是矩形； ∴FG＝DE； 在Rt△CDE中， DE＝CE•tan∠DCE； ＝6×tan30 o ＝2 （米）； ∴点F到地面的距离为2 米； （2）∵斜坡CF i＝1：1.5． ∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3， ∴FD＝EG＝3+6． 在Rt△BCE中， BE＝CE•tan∠BCE＝6×tan60 o ＝6． ∴AB＝AD+DE﹣BE． ＝3+6+2﹣6＝6﹣≈4.3 （米）． 答：宣传牌的高度约为4.3米． 22．（10分）（2019•鄂州）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）求证：E为△PAB的内心； （3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长． 【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形．菁优网版权所有 【分析】（1）连结OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明； （2）连结AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可； （3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】（1）证明：连结OB， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵AB⊥PO， ∴PO∥BC ∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC， OB＝OC， ∴∠OBC＝∠C， ∴∠AOP＝∠POB， 在△AOP和△BOP中， ， ∴△AOP≌△BOP（SAS）， ∴∠OBP＝∠OAP， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∴PB是⊙O的切线； （2）证明：连结AE， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠PAE+∠OAE＝90°， ∵AD⊥ED， ∴∠EAD+∠AED＝90°， ∵OE＝OA， ∴∠OAE＝∠AED， ∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD， ∵PA、PD为⊙O的切线， ∴PD平分∠APB ∴E为△PAB的内心； （3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°， ∴∠PAB＝∠C， ∴cos∠C＝cos∠PAB＝， 在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝， ∴AC＝，AO＝， ∵△PAO∽△ABC， ∴， ∴PO＝＝＝5． 23．（10分）（2019•鄂州）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．菁优网版权所有 【分析】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式； （2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值； （3）利用总利润＝4220+200，求出x的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得 y＝﹣5x+500； （2）由题意，得： w＝（x﹣40）（﹣5x+500） ＝﹣5x2+700x﹣20000 ＝﹣5（x﹣70）2+4500 ∵a＝﹣5＜0∴w有最大值 即当x＝70时，w最大值＝4500 ∴应降价80﹣70＝10（元） 答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元； （3）由题意，得： ﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200 解之，得：x1＝66，x2 ＝74， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70， ∴当66≤x≤74时，符合该网店要求 而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66 ∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 24．（12分）（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标； （3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒． ①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值； ②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）将A、B关坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求解； （2）确定直线BC的解析式为y＝﹣x+3，根据点E、F关于直线x＝1对称，即可求解； （3）①△AOC与△BMN相似，则，即可求解；②分OQ＝BQ、BO＝BQ、OQ＝OB三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1））∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∴C点坐标为（0，3）； （2）设直线BC的解析式为y＝mx+n， 则有：，解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， ∵点E、F关于直线x＝1对称， 又E到对称轴的距离为1， ∴EF＝2， ∴F点的横坐标为2，将x＝2代入y＝﹣x+3中， 得：y＝﹣2+3＝1， ∴F（2，1）； （3）①如下图， MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t， △AOC与△BMN相似，则， 即：， 解得：t＝或﹣或3或1（舍去、﹣、3）， 故：t＝1； ②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t）， ∵△BOQ为等腰三角形，∴分三种情况讨论， 第一种，当OQ＝BQ时， ∵QM⊥OB ∴OM＝MB ∴2t＝3﹣2t ∴t＝； 第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中 ∵∠OBQ＝45°， ∴BQ＝， ∴BO＝， 即3＝， ∴t＝； 第三种，当OQ＝OB时， 则点Q、C重合，此时t＝0 而t＞0，故不符合题意 综上述，当t＝或秒时，△BOQ为等腰三角形． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/9 8:38:34；用户：数学；邮箱：85886818-2@；学号：27755521 第27页（共27页）