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黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试 数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1．下列各运算中，计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列图标中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ） 主视图 左视图 A． B． C． D． 4．一组从小到大排列的数据：，，，，（为正整数），唯一的众数是，则该组数据的平均数是（ ） A． B．或 C．或 D．或 5．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．且 6．如图，菱形的两个顶点，在反比例函数的图象上，对角线，的交点恰好是坐标原点，已知，，则的值是（ ） A． B． C． D． 7．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A． B．且 C．且 D．且 8．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 9．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用元钱购买、、三种奖品，种每个元，种每个元，种每个元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 10．如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论： ①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，是线段的中点． 其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 二、填空题（每题3分，满分30分） 11．信号的传播速度为，将数据用科学记数法表示为______． 12．在函数中，自变量的取值范围是______． 13．如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使和全等． 14．一个盒子中装有标号为、、、、的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于的概率为______． 15．若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是______． 16．如图，是的外接圆的直径，若，则______． 17．小明在手工制作课上，用面积为，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为______． 18．如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______． 19．在矩形中，，，点在边上，且，连接，将沿折叠．若点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为______． 20．如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为．过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，以为边作正方形，，则点的坐标______． 三、解答题（满分60分） 21．先化简，再求值：，其中． 22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上 （1）将向左平移个单位得到，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 23．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 24．为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟次，某班班长统计了全班名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）． 求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数； （2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围； （3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少． 25．为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离（单位：千米）与快递车所用时间（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早小时出发，到达武汉后用小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚小时． （1）求的函数解析式； （2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间． （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案） 26．如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、． 图① 图② 图③ （1）与的数量关系是______． （2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？ 写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明． 27．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元． （1）该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元．求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案 （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值． 28．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是方程的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒 （1）线段______； （2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式； （3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标． 黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1-5：ABBCB 6-10：CBADD 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11． 12． 13．（或或等） 14． 15． 16． 17． 18． 19．或 20．（本题结果如有其它表示方法只要正确都给分） 三、解答题 21．解：原式 当时， 原式 22．（1）画出正确的图形 （2）画出正确的图形 （3） 23．解：（1）由题意得： 抛物线的解析式为 ， 24．（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少为 超过全校的平均数． （2）该生跳绳成绩所在范围为 （3）该班跳绳超过全校平均数的概率是 25．解：（1）设的解析式经过， 的解析式为 （2）设的解析式经过， 设的解析式经过， 得 同理得 答：货车返回时与快递车途中相遇的时间， （3） 26．（1） （2）图（2）：图（3）： 证明：如图（2） 连接，延长交于，交于 ， ， 、、分别是、、的中点 ， ， 是等腰直角三角形 图② 27．解：（1）由题意得 解得 答：、的值分别为和 （2）根据题意 解得：， 因为是整数 所以为、、 共3种方案分别为 方案一购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克， 方案二购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克 方案三购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克 （3）方案一的利润为元，方案二的利润为元，方案三的利润为元 利润最大值为元，甲售出，乙售出 解得： 答：的最大值为 28、解：（1） （2）四边形是矩形 过作于，则 当时， 当时， （3） （本试卷试题如有其它正确解法，可酌情给分）